陳本菊，向玉玲，嚴(yán) 倩

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶401331）

C*代數(shù)的離散交叉積

陳本菊，向玉玲，嚴(yán) 倩

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶401331）

離散群G與C*代數(shù)A的交叉積A×αG構(gòu)成一個新的C*代數(shù)，兩個離散群G與H構(gòu)造的半直積G×H仍然構(gòu)成一個群.交叉積(A×αG)×H與交叉積A×α(G×H)是同構(gòu)的，因此在一定的條件下C*代數(shù)與離散群的交叉積滿足結(jié)合律.

離散群；C*代數(shù)；交叉積；結(jié)合律

C*代數(shù)主要是應(yīng)用在量子力學(xué)中可觀察量的模型代數(shù)中.這方面的研究始于維爾納·海森堡創(chuàng)立的矩陣力學(xué).二十世紀(jì)三四十年代Murray和VonNeumann開始算子代數(shù)的基礎(chǔ)性研究，建立了馮諾依曼代數(shù)的系統(tǒng)理論，他們關(guān)于中心單代數(shù)研究的主要結(jié)果之一就是引入交叉積的概念.隨后Nakamura開始著重分析研究算子代數(shù)的交叉積，特別是描述和構(gòu)造II1型因子的交叉積.二十世紀(jì)五十年代中期，Turumaru明確地給出了C*代數(shù)交叉積的概念[1].之后，Nakamura和Takeda緊接著對II1型因子的交叉積進行了一系列的研究[2-3].同時Suzuki研究了算子環(huán)的交叉積[4].數(shù)學(xué)物理學(xué)家Doplicher，Kas?tler和Robinson為描述一個物理系中的對稱性和時間演變過程，引入了共變代數(shù)的概念，從而開啟了對C*代數(shù)在連續(xù)群作用下所生成的交叉積的研究[5].交叉積理論不僅可用于算子代數(shù)，也可用于非交換幾何和物理學(xué).

G×H在如下定義的乘法運算下形成一個群:

其中g(shù),g′∈G,h,h′∈H.稱(G×H,°)為群G和H在作用σ下的半直積，并記為G×H.在不引起混淆的情況下，簡記(g,h)°(g ′,h′)為(g,h)(g ′,h′).在半直積G×H中單位元是(e,e),(g,h)的逆為:

設(shè)G是一個可數(shù)離散群，則G上的所有平方可和復(fù)值函數(shù)

1 準(zhǔn)備知識

希爾伯特空間.對于任意h∈G,ξ∈l2(G)，等式(λhξ)(g)=ξ(h-1g )定義了作用在l2(G)上的酉算子λh.此時，h→λh是群G的酉表示，稱為群G的左正則表示.稱所有算子λg,g∈G生成的C*代數(shù)為群

設(shè)G和H是有單位元e的可數(shù)離散群，σ是從H到G的自同構(gòu)群Aut(G)內(nèi)的同態(tài)映射.集合G的群C*代數(shù).

設(shè)A是作用在Hilbert空間H上的C*代數(shù)，α是群G在A上的作用.記定義在G上取值在H中的所有平方可和函數(shù)的集合

為l2(G,H)，那么l2(G,H)在如下定義的內(nèi)積:

下也形成一個希爾伯特空間.

定義1對于任意的A∈A，定義l2(G,H)上的算子π(A)如下:

(π(A)ξ)(g)=αg-1(A)ξ(g),g∈G,ξ∈l2(G ,H) π是A在希爾伯特空間l2(G,H)上的一個忠實的正規(guī)*-表示[6].

引理1l2(G,H)等距同構(gòu)于H?l2(G)[7].

定義2對任意的g∈G，定義l2(G,H)上的有界線性算子λ(g)為:λ(g)=I?λg.

定義3稱l2(G,H)上由π(A)和λ(G)生成的C*代數(shù)為A通過α的交叉積，記作A×αG.

2 主要結(jié)果

抽象交叉積與酉實現(xiàn)的交叉積是同構(gòu)的，因此只考慮酉實現(xiàn)的交叉積.G×H是有單位元e的可數(shù)離散群G和H的半直積，A是作用在希爾伯特空間H上的C*代數(shù)，α是群G×H在A上的作用.對任意h∈H，義l2(G)上的線性算子Uh為

σ是從H到G的自同構(gòu)群Aut(G)內(nèi)的同態(tài)映射，通過計算可以知道Uh為l2(G)上的酉算子，并且Uh1Uh2=Uh1h2,Uh-1=Uh-1,Ue=I.因此h→Uh是群H 在 l2(G)上的酉表示.類似地，在C*代數(shù)A?B(l2(G))上 ，對 于 任 意 h∈H ，定 義βh=α(e,h)?AdUh，其 中 AdUh(A)=UhAUh*. β∶h→βh是群H在A?B(l2(G))上的作用.

記A在希爾伯特空間H?l2(G)上的正規(guī)忠實表示為π1，C*代數(shù)N=A×αG和A在希爾伯特空間H?l2(G )?l2(H )(= l2(G ×H,H) )上的正規(guī)忠實表示分別為π2和π.設(shè)ξ∈l2(G,H)，則(U ξ)(g,h)= ξ(σh(g),h),g∈G,h∈H定義了作用在希爾伯特空間l2(G,H)上的有界線性算子U.通過計算有(U*ξ)(g ,h)=ξ(σh-1(g),h).從而有U*U=UU*=I，因此U是一個酉算子.此時π1，π2和π之間有以下關(guān)系.

定理1對于任意算子A∈A，有(I?U)π(A)(I ?U*)=π2(π1(A)).

證明:對任意向量ξ∈H?l2(G,H)，(g,h)∈G×H有

定理2C*代數(shù)A在可數(shù)離散群G和H的半直積G×H的作用下生成的離散交叉積A×α(G×H)與交叉積(A×αG)×H是*同構(gòu)的.

證明:由交叉積的定義

對任意元素 g0∈G,h0∈H,ξ∈l2(G×H),(g,h)∈G×H，有

對任意c有

由定理1有

即A×α(G×H)與(A×αG)×H是酉等價的，也是*同構(gòu)的.

例1：設(shè)群G=Z2，群H=Z3，A是作用在Hilbert空間H上的C*代數(shù).則有 A×α(G×H)?(A×αG)×H.

證明:A在H?l2(G)上的正規(guī)忠實表示為π1，N=A×αG和A在Hilbert空間H?l2(G)?l2(H)上的正規(guī)忠實表示分別為π2和π.則由題設(shè)可知：

所以有：

在(A×αG)×H中稠密;

在A×α(G×H)中稠密.

因此，A×α(G×H)與(A×αG)×H是*同構(gòu)的.

[1]TURUMARUT.Crossedproductofoperatoralgebras[J].Tohoku Math,1958,10(3):355-365.doi:10.2748/tmj/1178244669.

[2]NAKAMURAM,TAKEDAZ.Onsomeelementarypropertiesof thecrossedproductsofvonNeumannalgebras[J].ProcJapanAcad, 1958,34(8):489-494.doi:10.3792/pja/1195524559.

[3]NAKAMURAM,TAKEDAZ.AGaloistheoryforfinitefactors[J]. ProcJapanAcad,1960,36(5):258-260.doi:10.3792/pja/ 1195524026.

[4]SUZUKIN.Crossedproductofringsofoperator[J].TohokaMath, 1959,11(1):113-124.doi:10.2748/tmj/1178244632.

[5]DOPLICHERS,KASTLERD,ROBINSOND.Covarianealgebras infieldtheoryandstatisticalmechanics[J].CommMathPhys,1966, 3(1):1-28.

[6]楊芳.關(guān)于離散群的半直積與VonNeumann代數(shù)的交叉積[J].宜賓學(xué)院學(xué)報,2006(12):13-14.

[7]吳文明,袁巍.馮·諾依曼代數(shù)交叉積的一點注記[J].數(shù)學(xué)學(xué)報, 2008,51(4):803-808.

【編校：許潔】

DiscreteCrossedProductofC*-Algebras

CHENBenju,XIANGYuling,YANQian
(CollegeofMathematicsSciences,ChongqingNormalUniversity,Chongqing401331,China)

Crossedproduct(A×αG)×HisstructuredbyA×αGandH,andcrossedproductA×α(G×H)isstructured byC*-algebrasAandsemi-directgroupsG×H.Itshowsthat(A×αG)×HandA×α(G×H)isisomorphic,andthey satisfytheassociativelow.

discretegroups;C*-algebra;crossedproduct;associativelaw

O177.5

A

1671-5365(2015)12-0095-03

陳本菊，向玉玲，嚴(yán)倩.C*代數(shù)的離散交叉積[J].宜賓學(xué)院學(xué)報，2015，15(12):95-97.

CHENBJ，XIANGYL，YANQ.DiscreteCrossedProductofC*-Algebras[J].JournalofYibinUniversity,2015,15(12):95-97.

2015-09-10修回：2015-10-19

陳本菊(1987-),女,碩士研究生,研究方向為算子代數(shù)

時間：2015-10-1911:20

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.z.20151019.1120.001.html