林 丹，張 坤

（中南財經(jīng)政法大學(xué)a.會計學(xué)院；b.統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，武漢430073）

數(shù)學(xué)模型在管理會計中的應(yīng)用研究

林 丹a，張 坤b

（中南財經(jīng)政法大學(xué)a.會計學(xué)院；b.統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，武漢430073）

管理會計是一門會計學(xué)與現(xiàn)代管理學(xué)及高等數(shù)學(xué)相結(jié)合的交叉型學(xué)科。五類管理會計學(xué)中常用的典型模型（盈虧臨界、數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃、矩陣代數(shù)、概率統(tǒng)計模型）都建立在一些理想化的假設(shè)之上，對于實際情況，可以靈活修正一些限制條件以使情況符合；五類模型也并非完全獨立的，對于一個復(fù)雜具體的管理會計問題，往往需要綜合使用其中幾種模型。

數(shù)學(xué)模型；管理會計；數(shù)理原理；適用性

一、引言

會計學(xué)是一門反映經(jīng)濟活動中以價值表現(xiàn)的經(jīng)濟數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，管理會計是一門會計學(xué)與現(xiàn)代管理學(xué)及高等數(shù)學(xué)相結(jié)合的交叉型學(xué)科，它的理論基礎(chǔ)是成本性態(tài)、本量利分析，主要致力于利用先驗信息來控制經(jīng)濟活動、預(yù)測，最終提供決策參考，保證以最少的投入取得最大化的經(jīng)濟效益。現(xiàn)代管理會計的諸多理論和方法都是基于嚴密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)而形成，在此，主要討論在現(xiàn)代管理會計學(xué)中應(yīng)用較為廣泛的數(shù)學(xué)模型。

對于具體的管理會計問題，使用的數(shù)學(xué)模型在形式上具有較大差異，目前使用較多的模型有：邊際分析、回歸分析、馬爾可夫鏈預(yù)測、屬性數(shù)學(xué)、蒙特卡羅模擬等方法。如吳立煦（1981）將邊際分析、回歸分析等方法應(yīng)用于聯(lián)產(chǎn)品最優(yōu)產(chǎn)量的成本計算、未確定銷售量的保本分析、成本的估計和控制三個方面。宋小明（2009）分別利用回歸分析預(yù)測產(chǎn)品制造中的成本和銷售額，利用層次分析法評價企業(yè)財務(wù)狀況、投資效益，利用具有吸收狀態(tài)的馬爾可夫鏈預(yù)測經(jīng)營狀況。并提出“經(jīng)濟定貨量”模型、“經(jīng)濟生產(chǎn)量”模型、敏感分析、彈性分析等模型分析方法在管理會計中都有著不同的應(yīng)用。張秋生（2012）分別利用回歸直線模型預(yù)測混合成本分解及成本，利用導(dǎo)數(shù)進行企業(yè)存貨規(guī)劃決策，利用復(fù)利與年金對投資進行決策。孫麗艷，苗成林（2008）采用屬性數(shù)學(xué)模型對會計質(zhì)量對象空間的元素根據(jù)其測量的指標進行評價，將其元素等級劃分或歸為某一評價類，從而為加強會計質(zhì)量管理、提高會計質(zhì)量提供了良好的平臺，最后依據(jù)評價模型對今后需要做的工作提出建議。溫素彬，周鎏鎏（2014）認為現(xiàn)實投資決策具有時期長、風(fēng)險大、隨機性強等特征，基本的確定性投資決策模型很大程度上不具有決策相關(guān)性和操作可行性，于是，撰文運用Excel的高級計算功能，針對投資決策中的隨機性特征，設(shè)計投資決策的蒙特卡羅模擬模型，以便為同類決策提供借鑒。由此可見，數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)代管理會計領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，但目前尚沒有一篇文獻對這些文獻進行歸納整理，即時有一些文獻做了整理的工作，也只是簡單羅列，并沒有陳述依據(jù)、進行深入分析。

以上模型雖在形式上具有較大差異，但其本質(zhì)都可以歸為五類：盈虧臨界、數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃、矩陣代數(shù)、概率統(tǒng)計模型。

二、五類典型的數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用

（一）盈虧臨界模型

盈虧臨界模型運用一般代數(shù)的分析方法對企業(yè)生產(chǎn)過程中的“盈虧平衡點”進行分析，考慮當“總成本等于總收益”時的臨界情況，求出盈虧臨界點的銷量，并據(jù)此做出是否進行生產(chǎn)以及產(chǎn)量的決策，下面對該模型的求解過程進行詳細論述。

假設(shè)企業(yè)的整個經(jīng)營過程僅包含生產(chǎn)、銷售兩個環(huán)節(jié)，不考慮稅收、營業(yè)外收支等額外因素。并且有以下基本量：總成本C（其中固定總成本為C0，單位變動成本為V）、利潤L、收益R、價格p、產(chǎn)品銷量q，則L=R-C，企業(yè)有生產(chǎn)積極性的條件是L>0。此時考慮當L=0的臨界情況，此時有如下方程組成立

解之，即得盈虧臨界點的銷量為q0=C0/(p-V)。因此，當q0>C0/(p-V)時，企業(yè)的利潤大于0，為盈利狀態(tài)；當時q0

（二）數(shù)學(xué)分析模型

管理會計學(xué)中常用的幾個函數(shù)是需求、供給、收益、成本、利潤函數(shù)，而邊際、彈性分析是常用的兩種數(shù)學(xué)分析模型，下面以企業(yè)的供給過程以及利潤函數(shù)來說明邊際、彈性分析的經(jīng)濟學(xué)含義。

1.邊際分析

微積分學(xué)中用導(dǎo)數(shù)來解釋“邊際”的概念，下面以由總成本求導(dǎo)計算邊際成本的過程來說明“邊際”的經(jīng)濟學(xué)含義。

邊際成本的經(jīng)濟學(xué)含義為：當既有產(chǎn)量為q時，再增加生產(chǎn)1單位產(chǎn)品應(yīng)增加的總成本。即總成本對產(chǎn)量的變化率。

根據(jù)邊際成本的意義和導(dǎo)數(shù)的概念，一般有以下結(jié)論：

（1）邊際成本僅與變動成本有關(guān)，與固定成本無關(guān)；

（2）如果某產(chǎn)品的單價為p，則當C′(q)p，則應(yīng)立即停止增產(chǎn)，要致力于改進產(chǎn)品質(zhì)量，提高出廠價格或降低生產(chǎn)成本。

對于邊際收益、邊際利潤的概念均有以上類似的推導(dǎo)模式。

根據(jù)盈虧臨界模型中的分析，利潤L=R-C，那么，對于一般的利潤最大化的最優(yōu)化問題，可以令L′=R′-C′＝0，求出對應(yīng)的產(chǎn)量就是使得企業(yè)獲得最大化利潤的臨界產(chǎn)量。

2.彈性分析

“彈性”的概念最初由阿爾弗萊德·馬歇爾提出，是指一個變量相對于另一個變量發(fā)生的一定比例的改變的屬性。供給價格彈性是反映當價格變動時，相應(yīng)商品的供給量變動對價格變動的靈敏程度；類似的，需求價格彈性是反映當價格變動時，相應(yīng)商品的需求量變動對價格變動的靈敏程度。

一般情況，因假設(shè)供給函數(shù)q=f(p)是單調(diào)增加的，即f′(p)>0，又p>0，f(p)＞0，所以，供給價格彈性ES取正值。設(shè)商品價格為p時，供給量為q，供給價格彈性的經(jīng)濟學(xué)含義是：在價格為時，若價格提高或降低1%，供給量將由q起增加或減少%。

（三）數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

數(shù)學(xué)規(guī)劃模型又稱為最優(yōu)化模型，主要包括：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標規(guī)劃、多目標規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃模型、層次分析法等。其中較為典型的就是線性規(guī)劃模型、層次分析法。

1.線性規(guī)劃法

線性規(guī)劃模型的一般形式為

其中，（1）式為決策目標，（2）式為約束條件，是線性規(guī)劃問題兩個必不可少的要素，因此，在實際運用過程中，線性規(guī)劃模型必須滿足如下3個條件：決策目標可以用數(shù)據(jù)指標進行衡量；實現(xiàn)決策目標有多種可選方案；決策目標的實施有若干約束條件并且也是可以量化的。

線性規(guī)劃模型主要應(yīng)用于如下幾個領(lǐng)域：制定銷售計劃（如競爭性定價等）、制定生產(chǎn)計劃（如配料、產(chǎn)量決策等）、庫存管理（如物資庫存量的合理分配等）、投資管理（如預(yù)算、成本分析、證券管理等）。線性規(guī)劃模型的求解需要用到數(shù)學(xué)分析模型的相關(guān)方法，如線性規(guī)劃中的影子價格、靈敏度分析就屬于偏導(dǎo)數(shù)的一種應(yīng)用，因此，線性規(guī)劃法并非是一種完全獨立的方法。

2.層次分析法

層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP）也是一種應(yīng)用較多的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，它是由美國匹茲堡大學(xué)教授A.L.Saaty于20世紀70年代提出的一種系統(tǒng)分析方法。層次分析法主要依靠整理和綜合人們的主觀判斷，使定性、定量分析有機結(jié)合，實現(xiàn)定量化決策，主要解決多因素復(fù)雜系統(tǒng)，特別是難以定量描述的社會系統(tǒng)的分析方法，體現(xiàn)了“先分解后綜合”的系統(tǒng)思想。

層次分析法的基本思想是：（1）將目標問題層次化，根據(jù)問題的性質(zhì)和要達到的總目標，將問題分解成不同的組成因素；（2）按照因素間的相互關(guān)系及隸屬關(guān)系，將因素按不同層次聚類組合，形成一個多層分析結(jié)構(gòu)模型；（3）歸結(jié)為最低層（方案、措施、指標等）相對于最高層（總目標）相對重要程度的權(quán)值或相對優(yōu)劣次序的問題。

不過，層次分析法也具有如下局限性：（1）只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案；（2）該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題；（3）從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀因素對整個過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。當然采取專家群體判斷的辦法是克服這個缺點的一種途徑。

（四）矩陣代數(shù)模型

投入產(chǎn)出模型是典型的矩陣代數(shù)模型，它是計劃經(jīng)濟時代的產(chǎn)物，主要應(yīng)用于宏觀經(jīng)濟中分析研究經(jīng)濟各部門之間的聯(lián)系和平衡關(guān)系。

投入產(chǎn)出模型主要研究一個經(jīng)濟系統(tǒng)各部門間的“投入”與“產(chǎn)出”關(guān)系，該方法最早由美國著名的經(jīng)濟學(xué)家沃西里·里昂惕夫（W.Leontief）提出，是目前比較成熟的經(jīng)濟分析方法，主要有產(chǎn)業(yè)關(guān)聯(lián)分析、價格影響分析、局部閉模型、投入產(chǎn)出乘數(shù)分析四個方面的建模方向。

“投入”即指從事一項經(jīng)濟活動的消耗，“產(chǎn)出”即指從事經(jīng)濟活動的結(jié)果。在會計學(xué)中，利潤即經(jīng)營成果為收入減費用。而在統(tǒng)計中，成果就為產(chǎn)出和投入間的差值。投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型就是通過編制“投入產(chǎn)出表”，運用線性代數(shù)工具建立數(shù)學(xué)模型，從而揭示國民經(jīng)濟各部門、再生產(chǎn)各環(huán)節(jié)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并據(jù)此進行經(jīng)濟分析、預(yù)測和安排預(yù)算計劃。按計量單位不同，該模型可分為價值型和實物型。圖1所示就是一種較為常見的投入產(chǎn)出表。

表1 一種常見的投入產(chǎn)出表

投入產(chǎn)出表描述了各經(jīng)濟部門在一定時期內(nèi)的投入產(chǎn)出情況，行表示某部門的產(chǎn)出，列表示相應(yīng)的投入。如表1所示，第一行x1表示部門1的總產(chǎn)出水平，x11為本部門的使用量，x1j(j=1，…，n)為部門1提供給部門j的使用量，各部門的供給最終產(chǎn)品為y1j(j=1，…，n)。這幾個方面投入的總和代表了該時期的總產(chǎn)出水平。

表1中存在兩個方向的平衡方程，分別是從上到下的投入平衡方程：轉(zhuǎn)移價值＋新創(chuàng)造價值＝總產(chǎn)出

從左到右的產(chǎn)出平衡方程：中間產(chǎn)品＋最終產(chǎn)品＝總產(chǎn)品

投入產(chǎn)出模型雖然產(chǎn)生于計劃經(jīng)濟時代，但仍適用于市場經(jīng)濟時代的經(jīng)濟活動。在計劃工作中，投入產(chǎn)出模型可以用于從最終產(chǎn)品出發(fā)編制各部門計劃方案，在計劃編制或計劃執(zhí)行中解決缺口或盈余問題，在經(jīng)濟分析中可以用于結(jié)構(gòu)分析、編制經(jīng)濟計劃和進行經(jīng)濟調(diào)整、研究工資（稅收）變動對各部門產(chǎn)品價格的影響，等等。李志軍（2013）認為投入產(chǎn)出模型是現(xiàn)代企業(yè)管理工作者對企業(yè)進行科學(xué)管理的非常適用而且實用的研究方法和依據(jù)，是現(xiàn)代經(jīng)營管理工作者所不可缺少的經(jīng)濟數(shù)學(xué)工具。投入產(chǎn)出模型在企業(yè)預(yù)測規(guī)劃、生產(chǎn)系統(tǒng)控制調(diào)整方面具有廣泛的應(yīng)用。

（五）概率統(tǒng)計模型

1.概率模型

影響事物變化的因素主要分為兩類：確定因素和隨機因素。如果根據(jù)建模背景、目的和手段可以確定主要因素，而可以忽略隨機因素，或者隨機因素的影響可以被簡單處理，那么就能夠建立確定性模型；如果隨機因素對研究對象的影響必須考慮并且是較為復(fù)雜的，就應(yīng)該根據(jù)隨機變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立隨機模型—概率模型（Probability Models）。

2.統(tǒng)計模型

由于人們認識程度的限制，客觀事物的內(nèi)部規(guī)律性常常很難被正確認知，因此也無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系、建立合乎機理規(guī)律的模型。那么通常要搜集大量的歷史數(shù)據(jù)，基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計學(xué)分析建立統(tǒng)計模型（Statistical Models），以期從對先驗信息中總結(jié)出一定的規(guī)律并對未來進行一定精度的預(yù)測。

概率模型與統(tǒng)計模型之間并不是完全獨立的兩種分析方法，實際的管理會計問題中，常常將兩者交互使用。財務(wù)的預(yù)算籌劃工作是企業(yè)的管理會計工作中的一項重要內(nèi)容，而歷史數(shù)據(jù)往往復(fù)雜繁多，缺乏規(guī)律性，同時由于隨機因素的存在，使各變量之間的關(guān)系具有某種不確定性而無法得到精確的關(guān)系表達式。這時常常需要使用概率統(tǒng)計的方法，在大量的試驗和觀察中，尋找隱藏在隨機變量后的統(tǒng)計規(guī)律性，即變量之間的相關(guān)關(guān)系。

回歸預(yù)測分析法是一種典型的統(tǒng)計方法，其主要建模步驟為：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)從常識和經(jīng)驗分析，輔之以作圖，決定回歸變量及函數(shù)形式（先取盡量簡單的形式)；（2）用軟件（如MATLAB統(tǒng)計工具箱）求解；（3）對結(jié)果作統(tǒng)計分析；R2、F、p、s2是對模型整體評價，回歸系數(shù)置信區(qū)間是否含零點檢驗其影響的顯著性；（4）模型改進，如增添二次項、交互項等；（5）對因變量進行預(yù)測。

3.統(tǒng)計量

統(tǒng)計量是概率統(tǒng)計模型中一個重要的概念，主要是指統(tǒng)計理論中用來對數(shù)據(jù)進行分析、檢驗的變量，主要包括：樣本均值、樣本方差、樣本標準差、樣本k階原點矩、樣本k階中心矩。其中，樣本均值和樣本方差是概率統(tǒng)計方法中使用較多的兩個重要的統(tǒng)計量，在風(fēng)險決策中具有廣泛的應(yīng)用，如風(fēng)險投資管理中的Markowitz模型。

[1]張俊瑞.略論數(shù)學(xué)與會計學(xué)的關(guān)系[J].陜西財經(jīng)學(xué)院學(xué)報，1986(1).

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[3]吳立煦.數(shù)學(xué)方法在管理會計中的一些應(yīng)用[J].外國經(jīng)濟參考資料，1981(2).

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[6]溫素彬，周鎏鎏.管理會計中Excel的高級應(yīng)用——長期投資決策的蒙特卡羅模擬模型的設(shè)計與應(yīng)用[J].財務(wù)與會計，2014(10).

[7]李志軍.基于投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的企業(yè)管理問題研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013(3).

［責(zé)任編輯：高 瑞］

F234.3

A

1005-913X（2015）03-0090-03

2015-01-21

湖北省經(jīng)濟管理大學(xué)生創(chuàng)新活動基地創(chuàng)新實驗與實踐項目（12EMSS24）

林 丹(1985-)，女，湖北黃岡人，碩士研究生，研究方向：會計學(xué)；張 坤(1992-)，男，浙江寧波人，碩士研究生，研究方向：數(shù)量經(jīng)濟理論及應(yīng)用。