劉濤+吳煒+史濟(jì)濤+蔡國(guó)平

摘要：以軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁為對(duì)象，采用Hamilton原理建立了軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，采用復(fù)模態(tài)分析方法推導(dǎo)了兩端簡(jiǎn)支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程離散化，進(jìn)行系統(tǒng)在外激勵(lì)作用下的響應(yīng)分析，并在頻域空間導(dǎo)出了隨機(jī)外部激勵(lì)的功率譜與系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，開(kāi)展了激勵(lì)功率譜的辨識(shí)工作。仿真結(jié)果表明，本文所給方法能夠有效地對(duì)外部激勵(lì)的功率譜進(jìn)行辨識(shí)。

關(guān)鍵詞：軸向運(yùn)動(dòng)梁；功率譜辨識(shí)；復(fù)模態(tài)分析；Ritz法；隨機(jī)激勵(lì)

中圖分類號(hào)：O326；TB123文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673-5048（2014）04-0045-04

0引言

工程中存在著許多的軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)，例如：?jiǎn)嗡骷埽ㄋ鞯?、帶鋸、?dòng)力傳送帶、導(dǎo)彈等等，均可以簡(jiǎn)化軸向運(yùn)動(dòng)梁（弦）；這類裝置的橫向振動(dòng)一般會(huì)帶來(lái)負(fù)面效果。因此研究軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題存在較大的理論意義與工程應(yīng)用價(jià)值。

軸向運(yùn)動(dòng)梁（弦）的研究最早可以追溯到20世紀(jì)60年代。1965年，Mote[1]首先建立了軸向運(yùn)動(dòng)梁的數(shù)學(xué)模型，并采用Galerkin截?cái)喾ㄑ芯苛撕?jiǎn)支梁的前三階固有頻率和運(yùn)動(dòng)模態(tài)振型；1990年，Wicker和Mote[2]提出采用復(fù)模態(tài)分析法進(jìn)行軸向運(yùn)動(dòng)梁的研究，并應(yīng)用該方法得出了軸向運(yùn)動(dòng)梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)；2000年，Pellicano和Vestroni[3]推導(dǎo)了在超臨界速度范圍，簡(jiǎn)支邊界下軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。國(guó)內(nèi)學(xué)者也積極開(kāi)展了軸向運(yùn)動(dòng)梁的受迫振動(dòng)、非線性振動(dòng)、穩(wěn)定性等問(wèn)題。陳立群等[4]研究了粘彈性軸向運(yùn)動(dòng)梁在混合邊界條件下的振動(dòng)與穩(wěn)定性問(wèn)題；李德雙等[5]研究了軸向運(yùn)動(dòng)帶的橫向與縱向運(yùn)動(dòng)的耦合問(wèn)題；王亮等[6]研究了高速軸向運(yùn)動(dòng)梁的模態(tài)及頻率特征；李彪等[7]研究了兩端自由邊界的軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題。

上述文獻(xiàn)中，軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題的研究多是考慮兩端簡(jiǎn)支梁和兩端固支梁的邊界條件，較少考慮其他邊界條件；另外關(guān)于軸向運(yùn)動(dòng)梁的激勵(lì)功率譜辨識(shí)的研究也較少。本文依據(jù)Hamilton原理建立軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，推導(dǎo)兩端簡(jiǎn)支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行離散化，研究定點(diǎn)隨機(jī)激勵(lì)下的功率譜辨識(shí)問(wèn)題。

1動(dòng)力學(xué)方程

（E為楊氏模量，I為慣性矩）本文考慮等截面柔性梁的橫向彎曲振動(dòng)，如圖1所示。假定有恒定軸向運(yùn)動(dòng)速度v，恒定張力P，分布式外部載荷f（x，t），柔性梁截面面積為A，彎曲剛度EI，長(zhǎng)度l。則在x方向的應(yīng)變?chǔ)舩x為[5]

4數(shù)值仿真

數(shù)值仿真考慮兩端簡(jiǎn)支和兩端自由梁兩種邊界條件。梁為均質(zhì)鋼制材料[9]，長(zhǎng)度L=2m，圓形截面半徑R=0.05m，材料密度ρ=7850kg/m3，彈性模量E=196GPa，梁的軸向運(yùn)動(dòng)速率為v=10m/s，軸向壓力P=-10kN（負(fù)號(hào)表示梁處于軸向受壓狀態(tài)）。考慮梁初始處于靜平衡狀態(tài)，梁上xf=0.4m處定點(diǎn)施加集中力f（t），得出點(diǎn)xs=1.8m處的響應(yīng)，由此進(jìn)行功率譜的辨識(shí)。數(shù)值仿真中，Ritz法的階數(shù)n取為10。

首先考慮兩端簡(jiǎn)支梁邊界條件下的軸向運(yùn)動(dòng)梁的功率譜辨識(shí)，其響應(yīng)考慮為在隨動(dòng)坐標(biāo)系下的響應(yīng)值。在xf處施加集中載荷f（t）=[12sin（5t）+17sin（7t）+rand（t）]（N），其中rand（t）為取樣時(shí)間內(nèi)的隨機(jī)載荷，其方差為1。通過(guò)對(duì)式（8）和式（10）進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為48.88Hz，196.07Hz，441.36Hz，而采用Ritz法計(jì)算得到的前三階固有頻率的相對(duì)誤差在10-7以內(nèi)，說(shuō)明Ritz法的分析是有效的。圖2為數(shù)值仿真結(jié)果，其中圖2（a）為xs處的響應(yīng)，圖2（b）為施加的載荷的功率譜與辨識(shí)功率譜。由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點(diǎn)隨機(jī)外載荷的功率譜辨識(shí)。

時(shí)間內(nèi)的隨機(jī)載荷，其方差為1。通過(guò)對(duì)式（8）和式（10）進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為111.92Hz，306.42Hz，600.74Hz，采用Ritz法計(jì)算得到前三階固有頻率分別為110.78Hz，306.30Hz，600.72Hz，相對(duì)誤差在0.002以內(nèi)，而采用Galerkin方法計(jì)算得到的前三階固有頻率分別為111.09Hz，306.32Hz，600.72Hz，對(duì)比迭代結(jié)果，Ritz法得到的結(jié)果相對(duì)誤差略小，說(shuō)明Ritz法的分析是有效的。圖3為數(shù)值仿真結(jié)果，其中圖3（a）為xs處的響應(yīng)；圖3（b）為施加的載荷的功率譜與辨識(shí)功率譜。由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點(diǎn)隨機(jī)外載荷的功率譜辨識(shí)。

5結(jié)束語(yǔ)

本文以軸向運(yùn)動(dòng)梁為研究對(duì)象，采用復(fù)模態(tài)分析方法進(jìn)行了梁的固有頻率分析，采用Ritz法建立了梁的運(yùn)動(dòng)數(shù)值分析模型，并基于此導(dǎo)出了定點(diǎn)載荷的功率譜辨識(shí)方法。仿真結(jié)果表明，本文的方法能夠有效地對(duì)定點(diǎn)隨機(jī)外載荷進(jìn)行功率譜辨識(shí)。endprint

摘要：以軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁為對(duì)象，采用Hamilton原理建立了軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，采用復(fù)模態(tài)分析方法推導(dǎo)了兩端簡(jiǎn)支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程離散化，進(jìn)行系統(tǒng)在外激勵(lì)作用下的響應(yīng)分析，并在頻域空間導(dǎo)出了隨機(jī)外部激勵(lì)的功率譜與系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，開(kāi)展了激勵(lì)功率譜的辨識(shí)工作。仿真結(jié)果表明，本文所給方法能夠有效地對(duì)外部激勵(lì)的功率譜進(jìn)行辨識(shí)。

關(guān)鍵詞：軸向運(yùn)動(dòng)梁；功率譜辨識(shí)；復(fù)模態(tài)分析；Ritz法；隨機(jī)激勵(lì)

中圖分類號(hào)：O326；TB123文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673-5048（2014）04-0045-04

0引言

工程中存在著許多的軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)，例如：?jiǎn)嗡骷埽ㄋ鞯?、帶鋸、?dòng)力傳送帶、導(dǎo)彈等等，均可以簡(jiǎn)化軸向運(yùn)動(dòng)梁（弦）；這類裝置的橫向振動(dòng)一般會(huì)帶來(lái)負(fù)面效果。因此研究軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題存在較大的理論意義與工程應(yīng)用價(jià)值。

軸向運(yùn)動(dòng)梁（弦）的研究最早可以追溯到20世紀(jì)60年代。1965年，Mote[1]首先建立了軸向運(yùn)動(dòng)梁的數(shù)學(xué)模型，并采用Galerkin截?cái)喾ㄑ芯苛撕?jiǎn)支梁的前三階固有頻率和運(yùn)動(dòng)模態(tài)振型；1990年，Wicker和Mote[2]提出采用復(fù)模態(tài)分析法進(jìn)行軸向運(yùn)動(dòng)梁的研究，并應(yīng)用該方法得出了軸向運(yùn)動(dòng)梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)；2000年，Pellicano和Vestroni[3]推導(dǎo)了在超臨界速度范圍，簡(jiǎn)支邊界下軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。國(guó)內(nèi)學(xué)者也積極開(kāi)展了軸向運(yùn)動(dòng)梁的受迫振動(dòng)、非線性振動(dòng)、穩(wěn)定性等問(wèn)題。陳立群等[4]研究了粘彈性軸向運(yùn)動(dòng)梁在混合邊界條件下的振動(dòng)與穩(wěn)定性問(wèn)題；李德雙等[5]研究了軸向運(yùn)動(dòng)帶的橫向與縱向運(yùn)動(dòng)的耦合問(wèn)題；王亮等[6]研究了高速軸向運(yùn)動(dòng)梁的模態(tài)及頻率特征；李彪等[7]研究了兩端自由邊界的軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題。

上述文獻(xiàn)中，軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題的研究多是考慮兩端簡(jiǎn)支梁和兩端固支梁的邊界條件，較少考慮其他邊界條件；另外關(guān)于軸向運(yùn)動(dòng)梁的激勵(lì)功率譜辨識(shí)的研究也較少。本文依據(jù)Hamilton原理建立軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，推導(dǎo)兩端簡(jiǎn)支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行離散化，研究定點(diǎn)隨機(jī)激勵(lì)下的功率譜辨識(shí)問(wèn)題。

1動(dòng)力學(xué)方程

（E為楊氏模量，I為慣性矩）本文考慮等截面柔性梁的橫向彎曲振動(dòng)，如圖1所示。假定有恒定軸向運(yùn)動(dòng)速度v，恒定張力P，分布式外部載荷f（x，t），柔性梁截面面積為A，彎曲剛度EI，長(zhǎng)度l。則在x方向的應(yīng)變?chǔ)舩x為[5]

4數(shù)值仿真

數(shù)值仿真考慮兩端簡(jiǎn)支和兩端自由梁兩種邊界條件。梁為均質(zhì)鋼制材料[9]，長(zhǎng)度L=2m，圓形截面半徑R=0.05m，材料密度ρ=7850kg/m3，彈性模量E=196GPa，梁的軸向運(yùn)動(dòng)速率為v=10m/s，軸向壓力P=-10kN（負(fù)號(hào)表示梁處于軸向受壓狀態(tài)）?？紤]梁初始處于靜平衡狀態(tài)，梁上xf=0.4m處定點(diǎn)施加集中力f（t），得出點(diǎn)xs=1.8m處的響應(yīng)，由此進(jìn)行功率譜的辨識(shí)。數(shù)值仿真中，Ritz法的階數(shù)n取為10。

首先考慮兩端簡(jiǎn)支梁邊界條件下的軸向運(yùn)動(dòng)梁的功率譜辨識(shí)，其響應(yīng)考慮為在隨動(dòng)坐標(biāo)系下的響應(yīng)值。在xf處施加集中載荷f（t）=[12sin（5t）+17sin（7t）+rand（t）]（N），其中rand（t）為取樣時(shí)間內(nèi)的隨機(jī)載荷，其方差為1。通過(guò)對(duì)式（8）和式（10）進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為48.88Hz，196.07Hz，441.36Hz，而采用Ritz法計(jì)算得到的前三階固有頻率的相對(duì)誤差在10-7以內(nèi)，說(shuō)明Ritz法的分析是有效的。圖2為數(shù)值仿真結(jié)果，其中圖2（a）為xs處的響應(yīng)，圖2（b）為施加的載荷的功率譜與辨識(shí)功率譜。由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點(diǎn)隨機(jī)外載荷的功率譜辨識(shí)。

時(shí)間內(nèi)的隨機(jī)載荷，其方差為1。通過(guò)對(duì)式（8）和式（10）進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為111.92Hz，306.42Hz，600.74Hz，采用Ritz法計(jì)算得到前三階固有頻率分別為110.78Hz，306.30Hz，600.72Hz，相對(duì)誤差在0.002以內(nèi)，而采用Galerkin方法計(jì)算得到的前三階固有頻率分別為111.09Hz，306.32Hz，600.72Hz，對(duì)比迭代結(jié)果，Ritz法得到的結(jié)果相對(duì)誤差略小，說(shuō)明Ritz法的分析是有效的。圖3為數(shù)值仿真結(jié)果，其中圖3（a）為xs處的響應(yīng)；圖3（b）為施加的載荷的功率譜與辨識(shí)功率譜。由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點(diǎn)隨機(jī)外載荷的功率譜辨識(shí)。

5結(jié)束語(yǔ)

本文以軸向運(yùn)動(dòng)梁為研究對(duì)象，采用復(fù)模態(tài)分析方法進(jìn)行了梁的固有頻率分析，采用Ritz法建立了梁的運(yùn)動(dòng)數(shù)值分析模型，并基于此導(dǎo)出了定點(diǎn)載荷的功率譜辨識(shí)方法。仿真結(jié)果表明，本文的方法能夠有效地對(duì)定點(diǎn)隨機(jī)外載荷進(jìn)行功率譜辨識(shí)。endprint

摘要：以軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁為對(duì)象，采用Hamilton原理建立了軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，采用復(fù)模態(tài)分析方法推導(dǎo)了兩端簡(jiǎn)支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程離散化，進(jìn)行系統(tǒng)在外激勵(lì)作用下的響應(yīng)分析，并在頻域空間導(dǎo)出了隨機(jī)外部激勵(lì)的功率譜與系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，開(kāi)展了激勵(lì)功率譜的辨識(shí)工作。仿真結(jié)果表明，本文所給方法能夠有效地對(duì)外部激勵(lì)的功率譜進(jìn)行辨識(shí)。

關(guān)鍵詞：軸向運(yùn)動(dòng)梁；功率譜辨識(shí)；復(fù)模態(tài)分析；Ritz法；隨機(jī)激勵(lì)

中圖分類號(hào)：O326；TB123文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673-5048（2014）04-0045-04

0引言

工程中存在著許多的軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)，例如：?jiǎn)嗡骷埽ㄋ鞯馈т?、?dòng)力傳送帶、導(dǎo)彈等等，均可以簡(jiǎn)化軸向運(yùn)動(dòng)梁（弦）；這類裝置的橫向振動(dòng)一般會(huì)帶來(lái)負(fù)面效果。因此研究軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題存在較大的理論意義與工程應(yīng)用價(jià)值。

軸向運(yùn)動(dòng)梁（弦）的研究最早可以追溯到20世紀(jì)60年代。1965年，Mote[1]首先建立了軸向運(yùn)動(dòng)梁的數(shù)學(xué)模型，并采用Galerkin截?cái)喾ㄑ芯苛撕?jiǎn)支梁的前三階固有頻率和運(yùn)動(dòng)模態(tài)振型；1990年，Wicker和Mote[2]提出采用復(fù)模態(tài)分析法進(jìn)行軸向運(yùn)動(dòng)梁的研究，并應(yīng)用該方法得出了軸向運(yùn)動(dòng)梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)；2000年，Pellicano和Vestroni[3]推導(dǎo)了在超臨界速度范圍，簡(jiǎn)支邊界下軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。國(guó)內(nèi)學(xué)者也積極開(kāi)展了軸向運(yùn)動(dòng)梁的受迫振動(dòng)、非線性振動(dòng)、穩(wěn)定性等問(wèn)題。陳立群等[4]研究了粘彈性軸向運(yùn)動(dòng)梁在混合邊界條件下的振動(dòng)與穩(wěn)定性問(wèn)題；李德雙等[5]研究了軸向運(yùn)動(dòng)帶的橫向與縱向運(yùn)動(dòng)的耦合問(wèn)題；王亮等[6]研究了高速軸向運(yùn)動(dòng)梁的模態(tài)及頻率特征；李彪等[7]研究了兩端自由邊界的軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題。

上述文獻(xiàn)中，軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題的研究多是考慮兩端簡(jiǎn)支梁和兩端固支梁的邊界條件，較少考慮其他邊界條件；另外關(guān)于軸向運(yùn)動(dòng)梁的激勵(lì)功率譜辨識(shí)的研究也較少。本文依據(jù)Hamilton原理建立軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，推導(dǎo)兩端簡(jiǎn)支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統(tǒng)固有頻率方程，采用Ritz法對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行離散化，研究定點(diǎn)隨機(jī)激勵(lì)下的功率譜辨識(shí)問(wèn)題。

1動(dòng)力學(xué)方程

（E為楊氏模量，I為慣性矩）本文考慮等截面柔性梁的橫向彎曲振動(dòng)，如圖1所示。假定有恒定軸向運(yùn)動(dòng)速度v，恒定張力P，分布式外部載荷f（x，t），柔性梁截面面積為A，彎曲剛度EI，長(zhǎng)度l。則在x方向的應(yīng)變?chǔ)舩x為[5]

4數(shù)值仿真

數(shù)值仿真考慮兩端簡(jiǎn)支和兩端自由梁兩種邊界條件。梁為均質(zhì)鋼制材料[9]，長(zhǎng)度L=2m，圓形截面半徑R=0.05m，材料密度ρ=7850kg/m3，彈性模量E=196GPa，梁的軸向運(yùn)動(dòng)速率為v=10m/s，軸向壓力P=-10kN（負(fù)號(hào)表示梁處于軸向受壓狀態(tài)）?？紤]梁初始處于靜平衡狀態(tài)，梁上xf=0.4m處定點(diǎn)施加集中力f（t），得出點(diǎn)xs=1.8m處的響應(yīng)，由此進(jìn)行功率譜的辨識(shí)。數(shù)值仿真中，Ritz法的階數(shù)n取為10。

首先考慮兩端簡(jiǎn)支梁邊界條件下的軸向運(yùn)動(dòng)梁的功率譜辨識(shí)，其響應(yīng)考慮為在隨動(dòng)坐標(biāo)系下的響應(yīng)值。在xf處施加集中載荷f（t）=[12sin（5t）+17sin（7t）+rand（t）]（N），其中rand（t）為取樣時(shí)間內(nèi)的隨機(jī)載荷，其方差為1。通過(guò)對(duì)式（8）和式（10）進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為48.88Hz，196.07Hz，441.36Hz，而采用Ritz法計(jì)算得到的前三階固有頻率的相對(duì)誤差在10-7以內(nèi)，說(shuō)明Ritz法的分析是有效的。圖2為數(shù)值仿真結(jié)果，其中圖2（a）為xs處的響應(yīng)，圖2（b）為施加的載荷的功率譜與辨識(shí)功率譜。由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點(diǎn)隨機(jī)外載荷的功率譜辨識(shí)。

時(shí)間內(nèi)的隨機(jī)載荷，其方差為1。通過(guò)對(duì)式（8）和式（10）進(jìn)行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為111.92Hz，306.42Hz，600.74Hz，采用Ritz法計(jì)算得到前三階固有頻率分別為110.78Hz，306.30Hz，600.72Hz，相對(duì)誤差在0.002以內(nèi)，而采用Galerkin方法計(jì)算得到的前三階固有頻率分別為111.09Hz，306.32Hz，600.72Hz，對(duì)比迭代結(jié)果，Ritz法得到的結(jié)果相對(duì)誤差略小，說(shuō)明Ritz法的分析是有效的。圖3為數(shù)值仿真結(jié)果，其中圖3（a）為xs處的響應(yīng)；圖3（b）為施加的載荷的功率譜與辨識(shí)功率譜。由圖中結(jié)果可以看出，本文的方法能夠有效地進(jìn)行定點(diǎn)隨機(jī)外載荷的功率譜辨識(shí)。

5結(jié)束語(yǔ)

本文以軸向運(yùn)動(dòng)梁為研究對(duì)象，采用復(fù)模態(tài)分析方法進(jìn)行了梁的固有頻率分析，采用Ritz法建立了梁的運(yùn)動(dòng)數(shù)值分析模型，并基于此導(dǎo)出了定點(diǎn)載荷的功率譜辨識(shí)方法。仿真結(jié)果表明，本文的方法能夠有效地對(duì)定點(diǎn)隨機(jī)外載荷進(jìn)行功率譜辨識(shí)。endprint