詹銀虎，鄭 勇，張 超，馬高峰，駱亞波

1.信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，河南鄭州450001；2.信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州450001；3.鄭州大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，河南 鄭州450001

1 引 言

太陽(yáng)敏感器是一種通過(guò)觀測(cè)太陽(yáng)方向矢量確定載體姿態(tài)的傳感器，在航空航天領(lǐng)域應(yīng)用極其廣泛。美國(guó)勇氣號(hào)和機(jī)遇號(hào)火星車上均搭載有高精度的太陽(yáng)敏感器，用于確定車體的絕對(duì)航向，從而改正IMU隨時(shí)間漂移帶來(lái)的航向誤差［1－3］。近地航天器上普遍搭載有太陽(yáng)敏感器，用于航天器初始姿態(tài)的快速捕獲［4］。太陽(yáng)圖像質(zhì)心提取是利用太陽(yáng)敏感器進(jìn)行天文導(dǎo)航的關(guān)鍵技術(shù)之一，圖像質(zhì)心提取的精度直接決定了太陽(yáng)敏感器的觀測(cè)精度，進(jìn)而影響載體的姿態(tài)確定精度。因此，如何精確、快速地提取太陽(yáng)圖像質(zhì)心是近些年的研究熱點(diǎn)。

太陽(yáng)圖像質(zhì)心提取算法主要分灰度質(zhì)心法和擬合法兩類?；叶荣|(zhì)心法包括固定閾值的灰度質(zhì)心法［5］，基于直方圖閾值分割的灰度質(zhì)心法［6］，基于Otsu閾值分割的灰度質(zhì)心法［7］等。擬合法首先采用邊緣檢測(cè)算法提取太陽(yáng)圖像的邊緣點(diǎn)，然后采用最小二乘法對(duì)邊緣點(diǎn)進(jìn)行圓擬合，圓心即為太陽(yáng)圖像的質(zhì)心。擬合法的關(guān)鍵是如何實(shí)現(xiàn)高精度的太陽(yáng)圖像邊緣檢測(cè)，文獻(xiàn)［8］提出采用Sobel算子進(jìn)行太陽(yáng)圖像邊緣的粗檢測(cè)，然后采用Zernike矩進(jìn)行亞像素重定位，最后擬合圓心作為圖像質(zhì)心。其對(duì)實(shí)測(cè)太陽(yáng)圖像的處理結(jié)果顯示，算法質(zhì)心提取精度達(dá)到0.08pixels。事實(shí)上，亞像素邊緣檢測(cè)算法很多，包括梯度法、插值法、擬合法、頻譜分析法、矩法等幾類［9－15］，均可應(yīng)用于太陽(yáng)圖像邊緣檢測(cè)。此外，文獻(xiàn)［16—17］分別針對(duì)電子經(jīng)緯儀測(cè)日、測(cè)月定向問(wèn)題，提出了基于水平角和高度角觀測(cè)量的太陽(yáng)視面中心擬合算法和月球視面中心擬合算法，用于確定太陽(yáng)質(zhì)心位置。雖然觀測(cè)儀器及基本觀測(cè)量不同，但算法原理仍值得借鑒。

灰度質(zhì)心法要求太陽(yáng)圖像均勻、對(duì)稱，且受噪聲的影響嚴(yán)重［18］，在處理退化的太陽(yáng)圖像時(shí)誤差較大，諸多文獻(xiàn)研究表明擬合法的精度要好于灰度質(zhì)心法［8］。太陽(yáng)敏感器的視場(chǎng)普遍較大，從幾十度到180°不等［19］。大視場(chǎng)的太陽(yáng)敏感器投影模型比較特殊，而且視場(chǎng)邊緣的畸變較大，會(huì)造成成像形變。當(dāng)太陽(yáng)在視場(chǎng)邊緣成像時(shí)，太陽(yáng)圖像不再是圓形，此時(shí)仍然采用圓擬合的方法提取圖像質(zhì)心顯然不再合適。

本文首先研究太陽(yáng)在超大視場(chǎng)太陽(yáng)敏感器中的成像形狀，提出圖像平面內(nèi)的橢圓擬合算法，在一定程度上解決了非圓形太陽(yáng)圖像質(zhì)心提取的問(wèn)題。然后提出球面圓擬合算法，在物方空間確定真實(shí)太陽(yáng)的質(zhì)心位置。最后采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)圓、橢圓和球面圓擬合算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明在一定的觀測(cè)條件下，兩種新算法具有更高的質(zhì)心提取精度。

2 太陽(yáng)投影原理

常用的超大視場(chǎng)鏡頭的投影模型主要有4種：等立體角投影、等距投影、體視投影和正交投影［20］。本文采用尼康公司生產(chǎn)的 AF DX Fisheye－Nikkor魚(yú)眼鏡頭（標(biāo)稱焦距為10.5mm，視場(chǎng)為180°），采用美國(guó)Apogee儀器公司生產(chǎn)的Alta U9000CCD，二者組合構(gòu)建了魚(yú)眼相機(jī)，即太陽(yáng)敏感器。該鏡頭采用等立體角投影模型，投影成像公式為

式中，f為焦距；θ為物方半視場(chǎng)角；R為像點(diǎn)至像主點(diǎn)的極距。取太陽(yáng)的物方角半徑為16′，太陽(yáng)質(zhì)心的方位角A＝45°，半視場(chǎng)角θ＝0～89°，模擬不同半視場(chǎng)角對(duì)應(yīng)的太陽(yáng)邊緣點(diǎn)，不考慮畸變影響，按等距投影模型將太陽(yáng)的邊緣點(diǎn)投影到像平面。圖1給出了焦距f＝10.5mm時(shí)，不同半視場(chǎng)角處太陽(yáng)邊緣點(diǎn)的理想成像形狀。

圖1 等立體角投影下太陽(yáng)的理想成像形狀Fig.1 Sun’s perfect image shape under solid angle projection

由圖1及等立體角投影公式可知，當(dāng)半視場(chǎng)角θ＝0時(shí)，太陽(yáng)圖像為正圓。此后，隨著半視角的增大，太陽(yáng)越來(lái)越接近視場(chǎng)的邊緣，此時(shí)太陽(yáng)逐漸演化了“橢圓形”圖像。太陽(yáng)的半視場(chǎng)角越大，太陽(yáng)圖像的“橢圓性”越明顯。

事實(shí)上，太陽(yáng)在視場(chǎng)邊緣的成像并非理想的橢圓，只是近似橢圓。根據(jù)圓錐曲線的定義可知，當(dāng)平面與圓錐面相切，且平面既不與圓錐的母線垂直也不與其平行時(shí)，平面與圓錐面的交線才為橢圓。因此，當(dāng)且僅當(dāng)鏡頭為小孔成像投影模型時(shí)，太陽(yáng)邊緣經(jīng)過(guò)投影后才可能形成圓錐曲面，與像平面相交后形成標(biāo)準(zhǔn)的橢圓形成像。若相機(jī)的鏡頭采用小孔成像投影，當(dāng)物方半視場(chǎng)角達(dá)到90°，即成像視場(chǎng)達(dá)到180°時(shí)，要求CCD的物理尺寸為無(wú)限大，因此小孔成像投影一般不用于超大視場(chǎng)成像。

考慮到太陽(yáng)的角半徑僅為16′，其上下邊緣的角距差也只有32′，因此基本可以認(rèn)為等立體角投影獲取的視場(chǎng)邊緣太陽(yáng)圖像為橢圓形。圖2、圖3分別為采用本文的魚(yú)眼相機(jī)拍攝半視場(chǎng)角分別為70°和84°（即仰角20°和6°）太陽(yáng)獲得的圖像，并采用Sobel＋Zernike矩算法進(jìn)行亞像素邊緣檢測(cè)。算法的基本思想是：首先采用Sobel算子對(duì)太陽(yáng)圖像進(jìn)行像素級(jí)的邊緣粗檢測(cè)，然后對(duì)每一個(gè)像素級(jí)邊緣點(diǎn)5×5或7×7鄰域的像素灰度值與模板進(jìn)行卷積運(yùn)算得到Zernike矩，最后實(shí)現(xiàn)邊緣的亞像素精確定位［8］。本文采用中科院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所高世一推導(dǎo)的7×7 Zernike矩模板系數(shù)［13］。兩幅太陽(yáng)圖像的亞像素邊緣檢測(cè)效果如圖2所示，均類似于橢圓形。

圖2 太陽(yáng)70°半視場(chǎng)角圖像及其亞像素邊緣檢測(cè)結(jié)果Fig.2 A real image of the sun of 70°half angle of view and the result of subpixel edge detection

圖3 太陽(yáng)84°半視場(chǎng)角圖像及其亞像素邊緣檢測(cè)結(jié)果Fig.3 A real image of the sun of 84°half angle of view and the result of subpixel edge detection

從形狀上來(lái)看，實(shí)際拍攝的太陽(yáng)圖像與模擬的太陽(yáng)圖像有一定的差別，原因可能是仿真計(jì)算沒(méi)有考慮鏡頭畸變、成像色散等實(shí)際因素對(duì)太陽(yáng)成像的影響。此外，鏡頭的制作加工也很難使成像為嚴(yán)格的等立體角投影模型。

事實(shí)上，根據(jù)不同投影的定義可知，只有在體視投影模型下，太陽(yáng)的圖像才為理想的正圓。在其他投影模型下，太陽(yáng)的圖像為近似橢圓。因此，采用圓擬合的算法提取太陽(yáng)圖像質(zhì)心在理論上是不嚴(yán)密的。

3 像面橢圓擬合算法

太陽(yáng)在等立體角投影、等距投影和正交投影模型下的圖像均為近似橢圓，因此可以嘗試采用橢圓擬合的方法提取太陽(yáng)圖像的質(zhì)心。設(shè)采用亞像素邊緣檢測(cè)算法得到太陽(yáng)圖像邊緣點(diǎn)坐標(biāo)序列為（x1，y1）、（x2，y2）、…、（xn，yn），根據(jù)最小二乘法，在像平面擬合橢圓的誤差方程為

式中，（xc，yc）為待估圓心坐標(biāo)；a、b為待估的橢圓長(zhǎng)、短半軸。

給定待估參數(shù)的近似值，對(duì)誤差方程進(jìn)行線性化，即可求解圓心坐標(biāo)參數(shù)。根據(jù)殘差序列估計(jì)圓心坐標(biāo)的中誤差和，則圓心（即質(zhì)心）位置中誤差計(jì)算公式為

mc可作為衡量太陽(yáng)圖像質(zhì)心提取的內(nèi)符合精度指標(biāo)。

4 球面圓擬合算法

由于太陽(yáng)圖像只是近似橢圓，直接在像平面采用橢圓擬合算法仍然不嚴(yán)密。受文獻(xiàn)［16—17］的啟發(fā)，本節(jié)將根據(jù)相機(jī)鏡頭的投影和畸變模型，將太陽(yáng)圖像的邊緣點(diǎn)映射到物方空間，獲取真實(shí)太陽(yáng)邊緣點(diǎn)的方位角和半視場(chǎng)角，并在物方空間進(jìn)行球面圓擬合，確定太陽(yáng)的質(zhì)心位置。

如圖4所示，Z為相機(jī)的主光軸與天球的交點(diǎn)，Ek為真實(shí)太陽(yáng)的某一邊緣點(diǎn)在天球上的投影，C為真實(shí)太陽(yáng)的質(zhì)心在天球上的投影，它們構(gòu)成了球面三角形。邊緣點(diǎn)Ek的方位角和半視場(chǎng)角分別為Ak和θk，太陽(yáng)質(zhì)心C的方位角和半視場(chǎng)角分別為和，太陽(yáng)的視半徑為。根據(jù)球面三角形邊的余弦公式可得［21］

圖4 球面三角形Fig.4 Spherical triangle

式（4）中，（Ak，θk）為觀測(cè)量為未知參數(shù)，構(gòu)建誤差方程

式中

假設(shè)有n個(gè)等精度的邊緣點(diǎn)數(shù)據(jù)，則可構(gòu)建n個(gè)誤差方程，不妨令

根據(jù)最小二乘法可得

未知參數(shù)的估值為

單位權(quán)中誤差μ及未知參數(shù)的權(quán)逆陣QX表示為

故未知參數(shù)的精度估計(jì)公式為

實(shí)際計(jì)算中，上述過(guò)程需要迭代，一般只需2～3次迭代即可使結(jié)果收斂到0.1″以內(nèi)。

根據(jù)投影模型，將mAc映射到像平面，即為質(zhì)心位置的切向中誤差

式（1）對(duì)θ求導(dǎo)數(shù)

將mθc映射到像平面，即為質(zhì)心位置的徑向中誤差

質(zhì)心位置的中誤差為

mc即為球面圓擬合算法的內(nèi)符合精度指標(biāo)。

下面總結(jié)給出采用球面圓擬合算法提取太陽(yáng)圖像質(zhì)心的步驟：

（1）采用Sobel＋Zernike算法精確檢測(cè)太陽(yáng)圖像的亞像素邊緣坐標(biāo)，其中Zernike矩的計(jì)算采用文獻(xiàn)［13］提供的7×7模板。

（2）根據(jù)相機(jī)的投影和畸變模型，將亞像素邊緣點(diǎn)映射到物方空間，得到物方空間太陽(yáng)邊緣點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系下的方位角和半視場(chǎng)角。其中相機(jī)參數(shù)采用恒星法檢校技術(shù)獲取，相機(jī)檢校模型采用文獻(xiàn)［20］提出的基于半視場(chǎng)角約束的等立體角投影多項(xiàng)式畸變模型。

（3）采用球面圓擬合算法，擬合物方空間太陽(yáng)質(zhì)心的方位角和半視場(chǎng)角。

（4）再次根據(jù)相機(jī)的投影和畸變模型，將物方空間太陽(yáng)質(zhì)心的方位角和半視場(chǎng)角映射到像平面，獲取太陽(yáng)圖像質(zhì)心坐標(biāo)，并進(jìn)行精度估計(jì)。

需要說(shuō)明的是，在實(shí)際應(yīng)用中，直接參與導(dǎo)航解算的觀測(cè)量為物方空間太陽(yáng)質(zhì)心的方位角和半視場(chǎng)角，因此球面圓擬合算法并不需要進(jìn)行第（4）步的計(jì)算，第（4）步的計(jì)算只是為了評(píng)價(jià)算法的精度。

從理論上講，本節(jié)提出的球面圓擬合算法不再需要考慮太陽(yáng)圖像形狀。無(wú)論太陽(yáng)圖像形狀為圓、橢圓或者是近似橢圓，將其映射到物方空間后，其形狀均為球面圓，球面圓擬合算法更為嚴(yán)謹(jǐn)。

5 算例分析

2014－10－14在鄭州地區(qū)利用本文的魚(yú)眼相機(jī)對(duì)太陽(yáng)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的跟蹤觀測(cè)，期間天氣狀況良好，相機(jī)全程保持靜止不動(dòng)，分兩個(gè)時(shí)段進(jìn)行：第1個(gè)時(shí)段觀測(cè)起止時(shí)間（北京UTC）約為10：07—16：25，太陽(yáng)的半視場(chǎng)角變化范圍大約為42°～73.6°，設(shè)置較低的采樣率獲取了108幅太陽(yáng)圖像；第2個(gè)時(shí)段觀測(cè)起止時(shí)間約為16：25—17：23，太陽(yáng)的半視場(chǎng)角變化范圍大約為73.6°～84°，設(shè)置較高的采樣率獲取了312幅太陽(yáng)圖像。因此，本次試驗(yàn)共獲取了420幅太陽(yáng)圖像。試驗(yàn)中，相機(jī)拍攝太陽(yáng)的極限半視場(chǎng)角只能達(dá)到84°，當(dāng)太陽(yáng)的半視場(chǎng)角進(jìn)一步增大時(shí)，太陽(yáng)接近于地平面，光照極弱，加之濾光片的減光作用，無(wú)法成像。

首先采用固定閾值對(duì)太陽(yáng)圖像進(jìn)行分割，然后利用Sobel＋Zernike矩算法檢測(cè)太陽(yáng)圖像的亞像素邊緣，最后分別采用以下3種算法提取太陽(yáng)圖像質(zhì)心：①圓擬合算法；②橢圓擬合算法；③球面圓擬合算法。3種算法的質(zhì)心位置中誤差mc（即內(nèi)符合精度）隨半視場(chǎng)角的變化如圖5所示。

圖5 質(zhì)心位置中誤差隨半視場(chǎng)角的變化圖Fig.5 Mean square errors of the centroids varies with the half angle of view

圖5顯示出兩個(gè)重要的交叉點(diǎn)，分別大約發(fā)生在半視場(chǎng)角70°和80.3°。當(dāng)太陽(yáng)的半視場(chǎng)角小于70°時(shí)，3種算法的平均內(nèi)符合精度分別為0.042pixels、0.043pixels和0.171pixels，橢圓擬合算法的內(nèi)符合精度略優(yōu)于圓擬合算法，球面圓擬合算法的精度最差。隨著半視場(chǎng)角的增大，橢圓擬合算法和圓擬合算法的內(nèi)符合精度比較穩(wěn)定，而球面圓擬合算法的內(nèi)符合精度不斷衰減。

當(dāng)太陽(yáng)的半視場(chǎng)角大于70°時(shí)，圓擬合算法和橢圓擬合算法的內(nèi)符合精度迅速衰減，而球面圓擬合算法的內(nèi)符合精度開(kāi)始不斷提高。橢圓擬合算法的內(nèi)符合精度總是優(yōu)于圓擬合算法，而且半視場(chǎng)角越大，這種優(yōu)勢(shì)越明顯。橢圓擬合算法與球面圓擬合算法存在一個(gè)交叉點(diǎn)，大約發(fā)生在半視場(chǎng)角80.3°。當(dāng)半視場(chǎng)角小于80.3°時(shí)，橢圓擬合算法的內(nèi)符合精度要明顯優(yōu)于球面圓擬合算法；當(dāng)半視場(chǎng)角大于80.3°時(shí)，球面圓擬合算法的內(nèi)符合精度要明顯優(yōu)于橢圓擬合算法。由此可以說(shuō)明，球面圓擬合算法更適合處理半視場(chǎng)角大于80.3°的太陽(yáng)圖像，而橢圓擬合算法更適合處理半視場(chǎng)角70°～80.3°的太陽(yáng)圖像。

將數(shù)據(jù)分為3段，第1段為半視場(chǎng)角小于70°的太陽(yáng)圖像，共計(jì)99張；第2段為半視場(chǎng)角大于70°小于80.3°的太陽(yáng)圖像，共計(jì)201張；第3段為半視場(chǎng)角大于80.3°的太陽(yáng)圖像，共計(jì)120張。采用16次多項(xiàng)式對(duì)3種算法的3段太陽(yáng)圖像質(zhì)心軌跡分別進(jìn)行擬合，擬合軌跡均平滑，統(tǒng)計(jì)殘差的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)一步評(píng)價(jià)3種算法的精度，結(jié)果如表1所示。

表1 分段質(zhì)心坐標(biāo)的RMS值Tab.1 RMS values of each piecewise centroid trajectory像素

由表1可知，當(dāng)太陽(yáng)的半視場(chǎng)角為42°～70°時(shí)，圓和橢圓擬合算法要明顯好于球面圓擬合算法；當(dāng)太陽(yáng)的半視場(chǎng)角為70°～80.3°時(shí)，橢圓擬合算法要好于圓和球面圓擬合算法；當(dāng)太陽(yáng)的半視場(chǎng)角為80.3°～84°時(shí)，球面圓擬合算法要好于圓和橢圓擬合算法?？紤]到半視場(chǎng)角越小，太陽(yáng)的圓形性越強(qiáng)，因此對(duì)于半視場(chǎng)角小于42°的太陽(yáng)圖像，建議采用圓擬合算法即可。此外，半視場(chǎng)角大于70°的太陽(yáng)圖像與半視場(chǎng)角小于70°的太陽(yáng)圖像相比，具有更好的擬合精度。分析原因，可能是因?yàn)楹?20幅圖像跟蹤觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)僅為1h，而前100幅圖像的跟蹤觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)達(dá)到6h。跟蹤觀測(cè)時(shí)間越長(zhǎng)，太陽(yáng)圖像質(zhì)心軌跡越長(zhǎng)，多項(xiàng)式模型越難逼近其軌跡，導(dǎo)致擬合后的殘差越大。

圖5出現(xiàn)80.3°這一拐點(diǎn)，可能是由畸變模型誤差和太陽(yáng)圖像的橢圓性兩個(gè)因素共同決定的。其中畸變模型誤差是指所采用的畸變參數(shù)及模型不能準(zhǔn)確描述真是畸變情況所產(chǎn)生的誤差。當(dāng)太陽(yáng)的半視場(chǎng)角小于80.3°時(shí)，由于畸變較小，此時(shí)太陽(yáng)圖像的橢圓性較好，直接采用橢圓擬合算法精度較好。此時(shí)若采用球面圓擬合算法，不可避免地會(huì)引入畸變模型誤差，進(jìn)而影響球面圓擬合算法的精度。當(dāng)太陽(yáng)的半視場(chǎng)角大于80.3°時(shí)，畸變?cè)龃蟮揭欢ǔ潭群?，太?yáng)圖像的橢圓性變差，從而影響橢圓擬合算法精度。此時(shí)采用球面圓擬合算法雖然會(huì)引入畸變模型誤差，但大部分畸變已得到有效校正，因此球面圓擬合算法精度更好。

此外，本文在Matlab2010環(huán)境下統(tǒng)計(jì)了420張?zhí)?yáng)圖像質(zhì)心提取耗費(fèi)的時(shí)間。其中亞像素邊緣檢測(cè)總共耗時(shí)大約93.3s，單幅太陽(yáng)圖像平均耗時(shí)0.222 1s。圓擬合算法運(yùn)算總時(shí)間為0.136 4s，單幅太陽(yáng)圖像平均耗時(shí)0.328ms；橢圓擬合算法運(yùn)算總時(shí)間為0.144 6s，單幅太陽(yáng)圖像平均耗時(shí)0.348ms；球面圓圓擬合算法運(yùn)算總時(shí)間為0.219 6s，單幅太陽(yáng)圖像平均耗時(shí)0.528ms。球面圓擬合算法的運(yùn)算時(shí)間分別為圓和橢圓擬合算法的1.6倍和1.5倍。太陽(yáng)圖像質(zhì)心提取的絕大部分的耗費(fèi)在亞像素邊緣檢測(cè)上，占總時(shí)間的99.7%?？紤]到球面圓擬合算法對(duì)單幅太陽(yáng)圖像的運(yùn)算時(shí)間小于1ms，因此，在權(quán)衡算法的精度和時(shí)間的關(guān)系時(shí)，基本可以忽略球面圓擬合算法的復(fù)雜性。

6 結(jié) 論

根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算和分析結(jié)果，可以總結(jié)出3種太陽(yáng)圖像質(zhì)心提取算法的適用范圍：當(dāng)太陽(yáng)的半視場(chǎng)角小于70°時(shí)，建議采用圓擬合算法；當(dāng)太陽(yáng)的半視場(chǎng)角介于70°和80.3°時(shí)，建議采用橢圓擬合算法；當(dāng)太陽(yáng)的半視場(chǎng)角大于80.3°時(shí)，建議采用球面圓擬合算法。需要說(shuō)明的是，上述結(jié)論只適用于本文采用的等立體角投影模型的魚(yú)眼相機(jī)。對(duì)于其他不同種類的魚(yú)眼相機(jī)，由于投影、畸變、成像色散等因素不同，可能會(huì)有不同的結(jié)論，但本文提供的分析方法是通用的。

在攝影測(cè)量領(lǐng)域，圓形目標(biāo)的圖像質(zhì)心提取是經(jīng)常遇到的問(wèn)題。例如，近景攝影測(cè)量中經(jīng)常采用的回光標(biāo)志，航空攝影測(cè)量中的油罐、糧倉(cāng)等均為圓形目標(biāo)，本文提出的算法均可能適用。

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