陳占龍，馮齊奇，吳信才

1.中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）信息工程學(xué)院，湖北 武漢430074；2.地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710054

1.Department of Information Engineering，China University of Geosciences，Wuhan 430074，China；2.State Key Laboratory of Geography Information Engineering，Xi’an 710054，China

1 引 言

在人們的衣食住行等日常生活中，大約有70%～80%的數(shù)據(jù)都與空間位置相關(guān)，大量空間信息的存在使得信息查詢和綜合成為目前GIS的基本組成部分。文獻(xiàn)［1］總結(jié)了地球空間信息學(xué)的七大理論問題，而這七大理論問題中有4個(gè)涉及空間關(guān)系，說明空間關(guān)系在GIS基礎(chǔ)理論研究中的重要地位?？臻g關(guān)系包括了拓?fù)潢P(guān)系、度量關(guān)系和距離關(guān)系，其中拓?fù)潢P(guān)系是空間關(guān)系理論中最重要的部分。復(fù)雜對(duì)象間的拓?fù)潢P(guān)系描述分析作為地理信息科學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)研究問題，對(duì)完善空間關(guān)系理論體系、空間推理、人工智能等具有重要意義。

當(dāng)前在GIS中，空間區(qū)域拓?fù)潢P(guān)系的描述模型主要是基于文獻(xiàn)［2—3］提出的9－交集模型（nine－intersection model，9IM）及其一些擴(kuò)展，如維擴(kuò)展的9－交集模型（dimensionally extended nine－intersection model，DE－9IM）［4－6］等。它 們描述了簡單區(qū)域間的8種基本拓?fù)潢P(guān)系，但現(xiàn)實(shí)中的空間對(duì)象往往是復(fù)雜的，如一個(gè)區(qū)域包括分開的子部分、洞等。例如海南島與中國大陸是分開的，南非的領(lǐng)土是帶洞的，因?yàn)樗耆R索托，因此對(duì)于這些復(fù)合面狀對(duì)象僅僅使用簡單面狀對(duì)象不能完全模擬現(xiàn)實(shí)世界。文獻(xiàn)［7］把有洞區(qū)域分為區(qū)域整體和其包含的洞，擴(kuò)展了4交集模型，但代價(jià)是對(duì)一切細(xì)節(jié)進(jìn)行單調(diào)枚舉；文獻(xiàn)［8］同樣通過擴(kuò)展4交集模型，使其能夠判斷由任意多個(gè)二維區(qū)域（可能帶洞）組成的復(fù)雜區(qū)域之間的拓?fù)潢P(guān)系，但沒有考慮到分離的部分；文獻(xiàn)［9—10］分別基于9－交集模型研究了復(fù)雜空間對(duì)象之間的關(guān)系；文獻(xiàn)［11］通過計(jì)算不確定線狀目標(biāo)與面狀目標(biāo)各組成部分之間的相交程度組成的空間向量與9－交集模型確定的空間關(guān)系向量之間的相關(guān)度，確定線狀目標(biāo)和面狀目標(biāo)之間拓?fù)潢P(guān)系的描述模型，但是適用范圍較?。晃墨I(xiàn)［12—13］基于混合幾何對(duì)象模型和維擴(kuò)展9－交集模型，提出了混合幾何對(duì)象拓?fù)潢P(guān)系判斷模型，但是沒有研究分開的區(qū)域或帶洞區(qū)域；文獻(xiàn)［14］給出了“蛋－黃”模型的鄰近拓?fù)潢P(guān)系之間的動(dòng)態(tài)變化圖和相對(duì)應(yīng)的93種拓?fù)潢P(guān)系；文獻(xiàn)［15］針對(duì)復(fù)雜空間關(guān)系擴(kuò)展9－交集模型，給出了新的語法、語義和推理規(guī)則。文獻(xiàn)［16］通過擴(kuò)展9－交集模型，將9－交集矩陣的元素?cái)U(kuò)展為二進(jìn)制編碼，分別研究了帶雙洞區(qū)域和簡單區(qū)域［17］、帶單洞區(qū)域和簡單區(qū)域［18］及3個(gè)簡單區(qū)域［19］間的拓?fù)潢P(guān)系。綜合已有的研究成果可知，基于簡單區(qū)域的9－交集模型表達(dá)不夠簡潔、明確，不能統(tǒng)一表達(dá)復(fù)合面狀對(duì)象的拓?fù)潢P(guān)系，無法保證復(fù)合面狀對(duì)象間拓?fù)潢P(guān)系的唯一性，同一9－交集矩陣可能對(duì)應(yīng)多種物理解釋。雖然學(xué)者們?cè)趶?fù)合面狀對(duì)象拓?fù)潢P(guān)系的表達(dá)模型方面做了不少研究，但大多都是基于一種特定的面狀對(duì)象，如帶單洞區(qū)域和簡單區(qū)域、3個(gè)簡單區(qū)域等，并不能擴(kuò)展到所有復(fù)合面狀對(duì)象，適用范圍有限。

針對(duì)目前9－交集模型表達(dá)復(fù)合面狀對(duì)象拓?fù)潢P(guān)系時(shí)所存在的問題，本文采用“分解”思想，分解復(fù)合面狀對(duì)象，對(duì)現(xiàn)有的9－交集模型進(jìn)行改進(jìn)，擴(kuò)展到一般情況，并不只針對(duì)某一特定面狀對(duì)象，增強(qiáng)其適用范圍。方法1根據(jù)復(fù)合面狀對(duì)象的結(jié)構(gòu)分解成多個(gè)簡單區(qū)域，用多個(gè)9－交集矩陣表示拓?fù)潢P(guān)系；方法2根據(jù)空間區(qū)域劃分方法分解成點(diǎn)集，使9－交集矩陣的元素?cái)U(kuò)展為二進(jìn)制編碼。這樣9－交集矩陣的表示范圍變大，能夠準(zhǔn)確地區(qū)分復(fù)合面狀對(duì)象間的拓?fù)潢P(guān)系。最后比較了擴(kuò)展模型和9－交集模型的表達(dá)能力。

2 復(fù)合面狀對(duì)象

從應(yīng)用的觀點(diǎn)出發(fā)，空間應(yīng)用處理更多的是復(fù)合的幾何結(jié)構(gòu)，而不是當(dāng)前空間數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)、空間查詢語言和GIS中常見的簡單點(diǎn)、線、區(qū)。開放地理信息聯(lián)盟（OGC）在OGC抽象規(guī)范［6］及地理標(biāo)記語言GML中提出了稱為簡單要素的幾何結(jié)構(gòu)，對(duì)這些被稱為MultiPoint、MultiLineString和MultiPolygon的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行了非正式的描述。

復(fù)合面狀對(duì)象A是由n（n≥1）個(gè)區(qū)域組成，這些區(qū)域或分離，或相交于一個(gè)或多個(gè)邊界點(diǎn)，或帶洞，即A＝｛A1∪A2∪…∪An｝，如圖1所示。

圖1 復(fù)合面狀對(duì)象AFig.1 Complex geometric objects A

3 復(fù)合面狀對(duì)象的拓?fù)潢P(guān)系描述模型

針對(duì)復(fù)合面狀對(duì)象，9－交集模型雖然也能表達(dá)區(qū)域間的拓?fù)潢P(guān)系，但是其表達(dá)不夠準(zhǔn)確，無法將區(qū)域的子集、邊界、補(bǔ)集與另一個(gè)區(qū)域的相交情況的細(xì)節(jié)區(qū)分開，無法保證復(fù)合面狀對(duì)象間拓?fù)潢P(guān)系的唯一性，同一9－交集矩陣可能對(duì)應(yīng)多種物理解釋。例如，圖2中的兩種拓?fù)潢P(guān)系是不同的，但卻對(duì)應(yīng)同一個(gè)9－交集矩陣，用簡單9－交集模型表示為相離。

圖2 不同拓?fù)潢P(guān)系對(duì)應(yīng)同一個(gè)9－交集矩陣Fig.2 Different topological relations correspond to the same 9－intersection matrix

經(jīng)典9－交集模型出現(xiàn)這種問題的原因在于將區(qū)域劃分為內(nèi)部A0、邊界?A和外部A－3部分，而在復(fù)合面狀對(duì)象中，這幾部分包含了多個(gè)相離的子集，僅用這3部分的整體的相交程度無法區(qū)分各部分細(xì)節(jié)的拓?fù)潢P(guān)系。因此，研究復(fù)合面狀對(duì)象間的拓?fù)潢P(guān)系的關(guān)鍵是如何描述復(fù)合面狀對(duì)象各部分子集的拓?fù)潢P(guān)系。本文采用“分解”的思想，將復(fù)合面狀對(duì)象分解，以表現(xiàn)復(fù)合面狀對(duì)象各部分細(xì)節(jié)的拓?fù)潢P(guān)系。

3.1 分解成簡單區(qū)域的9－交集模型

根據(jù)OGC抽象規(guī)范［6］中對(duì)復(fù)合幾何結(jié)構(gòu)的描述，復(fù)合空間對(duì)象主要通過對(duì)基本空間對(duì)象或它們的拓?fù)洳糠诌M(jìn)行幾何組合如合并和求差生成，空間對(duì)象組成部分間的拓?fù)潢P(guān)系約束對(duì)于構(gòu)建對(duì)象間的拓?fù)淦鹬陵P(guān)重要的作用。對(duì)于區(qū)A和區(qū)B，約束條件為A包含B，集的差的閉包就形成了有著一個(gè)洞的閉合區(qū)域（圖3（a））；對(duì)于區(qū)C和區(qū)D，如果C與D相離，那么將會(huì)形成一個(gè)封閉的分離區(qū)域（圖3（b））；對(duì)于區(qū)E、F和G，約束條件為E包含F(xiàn)，且E與G相離，將會(huì)得到一個(gè)帶洞區(qū)且在區(qū)外有一個(gè)分離部分（圖3（c））。

圖3 復(fù)合面狀對(duì)象的構(gòu)成Fig.3 Constitute a complex geometric objects

因此，根據(jù)復(fù)合面狀對(duì)象的構(gòu)成方法，可以將復(fù)合面狀對(duì)象分解成多個(gè)簡單區(qū)域，如圖4所示。圖中在計(jì)算復(fù)合面狀對(duì)象A與B的拓?fù)潢P(guān)系時(shí)，可以分解成簡單區(qū)域A1、A2、A3、A4與B的拓?fù)潢P(guān)系。

圖4 分解成簡單區(qū)域Fig.4 Broken down into a simple regional

以圖2中幾何對(duì)象為例，研究圖2（a）與圖2（b）中A與B的拓?fù)潢P(guān)系。

先將幾何對(duì)象A與B分解。A分解后的簡單區(qū)域包括A1、A2、A3、A4，由于B是簡單區(qū)域，分解后還是B，故幾何對(duì)象A與B的拓?fù)潢P(guān)系可以通過A1、A2、A3、A4與B的4個(gè)9－交集矩陣表示。這樣，就有R1、R2、R3、R4共4個(gè)9－交集矩陣。通過分析這4個(gè)9－交集矩陣的值就可以判斷復(fù)合面狀對(duì)象A與B的拓?fù)潢P(guān)系。

則圖2（a）中，4個(gè)9－交集矩陣分別為

圖2（b）中，4個(gè)9－交集矩陣分別為

通過比較可以發(fā)現(xiàn)，雖然圖2（a）與圖2（b）中復(fù)合面狀對(duì)象A與B都對(duì)應(yīng)同一個(gè)經(jīng)典9－交集矩陣（相離），但通過分解表示后，R1、R2、R3相同，R4不同，也即圖2（a）與圖2（b）拓?fù)潢P(guān)系的不同點(diǎn)的細(xì)節(jié)通過R4反映了出來，區(qū)分了圖2（a）與圖2（b）的不同拓?fù)潢P(guān)系。

擴(kuò)展到一般情況，復(fù)合面狀對(duì)象A分解成p個(gè)簡單區(qū)域，復(fù)合面狀對(duì)象B分解成q個(gè)簡單區(qū)域，則總共需要p×q個(gè)9－交集矩陣。通過比較這p×q個(gè)9－交集矩陣來判別復(fù)合面狀對(duì)象A與復(fù)合面狀對(duì)象B的拓?fù)潢P(guān)系細(xì)節(jié)。需要指出的是，復(fù)合面狀對(duì)象分解成簡單區(qū)域后，需要對(duì)每個(gè)區(qū)域設(shè)定一個(gè)標(biāo)記，來指明簡單區(qū)域是否是洞。

3.2 分解成點(diǎn)集的9－交集模型

按照空間區(qū)域劃分方法［20］，對(duì)任意區(qū)域A，令（包括A－和Ah）分別表示其內(nèi)部、內(nèi)邊界（當(dāng)A不帶洞時(shí)為空）、外邊界、外部、洞（當(dāng)A不帶洞時(shí)為空）、補(bǔ)集。根據(jù)復(fù)合面狀對(duì)象的定義，復(fù)合面狀對(duì)象是由n個(gè)分離的可能帶洞的區(qū)域組成，因此按照復(fù)合面狀對(duì)象A分離的構(gòu)成部分分解成n個(gè)子集區(qū)域（可能帶洞）A1、A2、…、An，然后按照空間區(qū)域劃分方法分解為分別表示復(fù)合面狀對(duì)象n個(gè)子集的內(nèi)部、內(nèi)邊界、外邊界、外部、洞、補(bǔ)集（如圖5所示）。

圖5 分解成點(diǎn)集模型Fig.5 Decomposed into point set model

對(duì)于任意的復(fù)合面狀對(duì)象A、B首先被分解成n、m個(gè)子集區(qū)域，并按照空間區(qū)域的劃分方法，分解成其子集的內(nèi)部、內(nèi)邊界、外邊界、外部、洞、補(bǔ)集。

用一個(gè)4nm＋1位的二進(jìn)制編碼Rij（i≥1、j≤3）代替9－交集矩陣中的值，用這個(gè)二進(jìn)制位中的每位數(shù)值來區(qū)分子集的相交關(guān)系，最后綜合表示復(fù)合面狀對(duì)象A、B的拓?fù)潢P(guān)系，即

Rij的取值根據(jù)劃分后的點(diǎn)集來確定?？紤]R11，取代的是因此有共n×m個(gè)數(shù)值，最后加上一個(gè)整體的相交情況A0∩B0。為了區(qū)分整體與細(xì)節(jié)，本文采用┐（A0∩B0），即R11需要n×m＋1位來表示。同理，R12取代的是A0∩?B。對(duì)于邊界分成了內(nèi)邊界和外邊界的情況，?B共有2m種情況，因此R12需要2nm＋1位來表示。依此類推，可以總結(jié)R11需要nm＋1位（最?。?；R12、R13、R21、R31需要2nm＋1位；R22、R23、R32、R33需要4nm＋1位（最大）。

為了使9－交集矩陣各元素的數(shù)值形式相同，則二進(jìn)制編碼Rij（i≥1、j≤3）需要4nm＋1位（最大）來表示，不足的用0來補(bǔ)充。Rij＝X4nmX4nm－1…X2nmX2nm－1…XnmXnm－1…X1X0。Rij（i≥1，j≤3）的取值如表1所示。

在實(shí)際情況中，根據(jù)分解后的n、m的值確定Rij元素取值表，然后根據(jù)表格確定Rij元素每位的值，形成二進(jìn)制編碼9－交集矩陣，為了表示方便，可以把二進(jìn)制編碼Rij轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)值表示。

這里同樣以圖2中的幾何對(duì)象為例，研究圖2（a）與圖2（b）中A與B的拓?fù)潢P(guān)系。

首先將復(fù)合面狀對(duì)象A與B分解，A包括A1、A2，B分解后只有B，故這里n＝2、m＝1。因此，二進(jìn)制編碼Rij（i≥1、j≤3）需要4nm＋1＝4×2×1＋1＝9位來表示。則Rij元素取值表如表2所示。

則圖2（a）中，二進(jìn)制編碼Rij（i≥1、j≤3）分別為

R11＝000000001（二進(jìn)制）＝1（十進(jìn)制）

R12＝000000001（二進(jìn)制）＝1（十進(jìn)制）

R13＝000001010（二進(jìn)制）＝10（十進(jìn)制）

R21＝000000001（二進(jìn)制）＝1（十進(jìn)制）

R22＝000000001（二進(jìn)制）＝1（十進(jìn)制）

R23＝010101010（二進(jìn)制）＝170（十進(jìn)制）

R31＝000001010（二進(jìn)制）＝10（十進(jìn)制）

R32＝000100010（二進(jìn)制）＝34（十進(jìn)制）

R33＝010101010（二進(jìn)制）＝170（十進(jìn)制）

即圖2（a）中的9－交集矩陣為

同理，圖2（b）中的9－交集矩陣為

通過比較9－交集矩陣R1與R2，可以發(fā)現(xiàn)R1≠R2，也即圖2（a）與圖2（b）中的拓?fù)潢P(guān)系不同，區(qū)分了圖2（a）與圖2（b）的不同拓?fù)潢P(guān)系。

表1 Rij元素的取值Tab.1 The values of each element for Rij

表2 Rij元素的取值（n＝2，m＝1）Tab.2 The values of each element for Rij（n＝2，m＝1）

4 兩種擴(kuò)展交集模型及經(jīng)典9－交集模型表達(dá)能力的比較

針對(duì)同一組復(fù)合面狀對(duì)象，通過兩種擴(kuò)展交集模型及經(jīng)典9－交集模型來描述8種基本的拓?fù)潢P(guān)系，顯示擴(kuò)展交集模型對(duì)每一個(gè)9－交集矩陣的細(xì)化，這里仍然選取圖2中所示的兩個(gè)復(fù)合面狀對(duì)象，討論其8種基本的拓?fù)潢P(guān)系（由于同一拓?fù)潢P(guān)系可能的物理解釋較多，只列舉其中兩種不同物理解釋），如表3所示。

表3 兩種擴(kuò)展交集模型及經(jīng)典9－交集模型比較Tab.3 The intersection of the two expansion models and classic 9－intersection compare models

續(xù)表3

由于圖2中的兩個(gè)幾何對(duì)象不可能存在相等的拓?fù)洌珵榱吮憩F(xiàn)兩種擴(kuò)展交集模型及經(jīng)典9－交集模型的表達(dá)能力的區(qū)別，表3的相等拓?fù)潢P(guān)系選取了簡單的區(qū)域與一個(gè)帶洞的區(qū)域進(jìn)行比較。

由比較可知，相對(duì)于經(jīng)典的9－交集模型，兩種擴(kuò)展的交集模型都能更加準(zhǔn)確地表達(dá)出復(fù)合面狀對(duì)象各子部分之間的拓?fù)潢P(guān)系的細(xì)節(jié)。分析可知，分解成簡單區(qū)域和分解成點(diǎn)集兩種擴(kuò)展方式均采用“分解”的思想，化繁為簡，但分解成簡單區(qū)域是按照OGC抽象規(guī)范［6］中對(duì)復(fù)合幾何結(jié)構(gòu)描述分解的，簡單區(qū)域是原子量；分解成點(diǎn)集是按照空間區(qū)域劃分方法［20］分解，點(diǎn)集是原子量。

5 結(jié)束語

為了表達(dá)復(fù)合面狀對(duì)象間的細(xì)節(jié)拓?fù)潢P(guān)系，對(duì)經(jīng)典9－交集模型進(jìn)行了改進(jìn)，本文給出了兩種基于分解思想的交集模型，并且用示例比較了兩種擴(kuò)展交集模型及經(jīng)典9－交集模型的表達(dá)能力。結(jié)果表明，兩種擴(kuò)展交集模型均能準(zhǔn)確地表達(dá)出復(fù)合面狀對(duì)象各子部分之間的拓?fù)潢P(guān)系的細(xì)節(jié)。分解成簡單區(qū)域的9－交集模型9－矩陣較多，表現(xiàn)形式不夠簡潔，影響存儲(chǔ)和分析效率；分解成點(diǎn)集的9－交集模型需要建立Rij元素取值表，由1bit擴(kuò)充為（4nm＋1）bit，分析效率有待提高。因此，本研究下一步的工作主要集中于兩種擴(kuò)展交集模型的優(yōu)化，提高分析效率，同時(shí)研究基于兩種擴(kuò)展模型的相似性度量。

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