黃梁松，李玉霞，張志獻(xiàn)，朱蘇寧

(山東科技大學(xué)，青島266590)

0 引 言

傳統(tǒng)PID 控制器由于其自身的局限性，在一些諸如需要快速響應(yīng)、高精度軌跡跟蹤的應(yīng)用場合，或含有強(qiáng)非線性、大時滯等特征的控制系統(tǒng)中不能很好地滿足應(yīng)用需求。為此，一些學(xué)者開始在傳統(tǒng)PID 控制器中引入過程更柔和細(xì)膩的分?jǐn)?shù)階微積分項來代替整數(shù)階微積分項，形成了分?jǐn)?shù)階PID 控制器。從1993 年Oustaloup 首次提出的CRONE 控制器［1］到1999 年P(guān)odlubny 提出的PIλDμ控制器［2］，分?jǐn)?shù)階PID 控制器在短短幾年時間內(nèi)便形成了較為完善的結(jié)構(gòu)形式。分?jǐn)?shù)階控制器增加了微積分階次參數(shù)λ 和μ，對控制過程的描述更為精確，且在一定范圍內(nèi)對參數(shù)變化不敏感，其穩(wěn)定性、動態(tài)特性和魯棒性相比于傳統(tǒng)PID 控制器具有較大的優(yōu)勢［2］。然而，參數(shù)的增加在給控制器帶來更佳性能和靈活性的同時，也給控制器參數(shù)的整定帶來了難度。對于分?jǐn)?shù)階PID 控制器，目前比較常用的參數(shù)整定方法是在穩(wěn)定性裕度整定的基礎(chǔ)上增加增益魯棒條件，或靈敏度和互補(bǔ)靈敏度函數(shù)等約束條件，構(gòu)建以參數(shù)為自變量的規(guī)范約束方程組，并通過求解方程組來得到最優(yōu)參數(shù)值［3－5］。但是這些方程組都是非線性超越方程組，采用傳統(tǒng)方法無法求解，這也是分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計的難點(diǎn)之一。

人工蜂群算法是由土耳其學(xué)者提出的一種基于蜜蜂覓食行為的群智能優(yōu)化算法［6］。與蟻群算法、粒子群算法等其他智能算法相比，人工蜂群不僅參數(shù)少，魯棒性強(qiáng)，易于實(shí)現(xiàn)，而且在每次迭代過程中都會進(jìn)行全局和局部搜索，增加了找到最優(yōu)解的概率，并在一定程度上避免了陷入局部最優(yōu)的可能［7－9］。對于分?jǐn)?shù)階PID 控制器參數(shù)的整定，可以采用人工蜂群算法對規(guī)范約束方程組的解進(jìn)行尋優(yōu)，并確定一組最優(yōu)解，通過這種方式可極大簡化分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計的復(fù)雜性，提高其實(shí)用性和易用性。但標(biāo)準(zhǔn)的人工蜂群算法也存在不足，主要表現(xiàn)在收斂速度慢、缺乏局部精細(xì)搜索能力、計算精度不高等問題，其算法還有很大的改進(jìn)空間。

對于諸如數(shù)控機(jī)床、工業(yè)機(jī)器人等需要快速響應(yīng)、高精度軌跡跟蹤性能的伺服控制系統(tǒng)，速度環(huán)的設(shè)計是體現(xiàn)其運(yùn)動性能的關(guān)鍵。目前商業(yè)化的伺服電機(jī)速度控制器標(biāo)準(zhǔn)以PI 控制為主，控制性能鮮有提升空間，如何設(shè)計高性能的速度控制器也是目前許多伺服系統(tǒng)生產(chǎn)商研發(fā)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。本文提出了一種伺服電機(jī)速度控制器的設(shè)計方法，該方法采用分?jǐn)?shù)階PIλ控制器，利用人工蜂群算法進(jìn)行參數(shù)整定，充分發(fā)揮分?jǐn)?shù)階控制器的優(yōu)異性能和人工蜂群算法的求解復(fù)雜方程的能力，具有較好的實(shí)用性。

1 分?jǐn)?shù)階速度控制器

1.1 控制對象及控制器數(shù)學(xué)模型

對于采用磁場定向矢量控制的交流伺服電機(jī)控制系統(tǒng)，電流環(huán)一般采用控制周期為20 ～50 μs 的PI 控制器。為方便設(shè)計，本文首先需要建立一個簡化的伺服電機(jī)控制系統(tǒng)電流環(huán)數(shù)學(xué)模型，該模型表達(dá)式:

式中:Kc是電流閉環(huán)系統(tǒng)的等效增益;T 是電流閉環(huán)系統(tǒng)等效的慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。因?yàn)镵c可以在不影響系統(tǒng)增益的情況下轉(zhuǎn)移到速度控制器的比例環(huán)節(jié)中，因此式(1)可改寫:

速度控制器采用PIλ控制器，其傳遞函數(shù)如下所示:

式中:Kp和Ki分別為控制器的比例項系數(shù)和積分項系數(shù);λ 為積分項指數(shù)，取值范圍為［0 ～1］。

1.2 參數(shù)整定方案

根據(jù)控制系統(tǒng)的頻率特性，利用幅值裕度、相角裕度和增益變化魯棒性等頻率性能指標(biāo)構(gòu)建分?jǐn)?shù)階控制器的規(guī)范約束方程［10］，性能指標(biāo)如下:

(1)幅值裕度

(2)相角裕度

(3)增益變化魯棒性

式中:C(jωc)，P(jωc)和G(jωc)分別為控制器傳函、控制對象傳函和系統(tǒng)開環(huán)傳函，ωc為截止頻率。

將S=jω 帶入式(3)中，PIλ控制器的傳遞函數(shù)

可以改寫:

其相位和幅值分別表示:

同理，式(2)中簡化的電流閉環(huán)系統(tǒng)傳函的相位和幅值分別:

伺服電機(jī)速度控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函可表示:

其中C(s)和P(s)分別為速度控制器和簡化電流閉環(huán)系統(tǒng)的傳函。聯(lián)立式(4)，式(5)，式(7)和式(12)，可得到其開環(huán)傳函的幅值和相位表達(dá)式分別:

將式(14)代入式(6)可得:

式(13)～式(15)組成了包含分?jǐn)?shù)階PIλ控制器3 個未知參數(shù)Kp，Ki和λ 的非線性超越方程組，該方程組無法采用傳統(tǒng)方式求解，因此，本文引入人工蜂群智能算法解決方程組的求解問題。

2 改進(jìn)的人工蜂群算法

2.1 改進(jìn)的搜索策略

標(biāo)準(zhǔn)的人工蜂群算法的搜索策略更適合全局搜索，而不擅長局部開發(fā)［11］，導(dǎo)致收斂速度和精度有待提高，為了提高蜂群的局部開發(fā)能力，并避免陷入局部最優(yōu)，本文提出了一種優(yōu)化搜索區(qū)域并增加最優(yōu)位置引導(dǎo)的搜索算法，表示式如下:

式中:m 為求解問題的維數(shù)，即蜜源位置的維數(shù)，由于分?jǐn)?shù)階PIλ控制器包含3 個未知量，因此其取值范圍為m∈ {1 ，2，3 };i 表示蜜源的編號，取值范圍為i∈{1 ，2，…，N };ymi 表示搜索到的新蜜源的第m維分量;xmi 表示當(dāng)前蜜源i 的第m 維分量表示優(yōu)化的搜索區(qū)域中蜜源j 的第m 維分量;為當(dāng)前適應(yīng)度值最高的蜜源的第m 維分量;φ 為取值范圍［0，1］的實(shí)數(shù);μ 為取值范圍［0，C］的實(shí)數(shù)，其中C 為正常數(shù)。

由式(16)可知，與標(biāo)準(zhǔn)的人工蜂群算法的搜索策略相比，該搜索策略中引領(lǐng)蜂和跟隨蜂不再在全局范圍內(nèi)隨機(jī)挑選一個蜜源進(jìn)行搜索，而是在某一優(yōu)化的區(qū)域region 內(nèi)進(jìn)行搜索，該優(yōu)化區(qū)域內(nèi)的蜜源與適應(yīng)度值最高的蜜源的空間距離均大于平均距離，區(qū)域region 的確定方法如下:

設(shè)蜜源i 的位置矢量為(ix，iy，iz)，適應(yīng)度值最高的蜜源的位置矢量為(Bx，By，Bz)，兩者的空間距離li:

求取所有蜜源與適應(yīng)度值最高的蜜源的空間距離l1，l2，…，lN，計算平均距離Ml:

由此，如果li≤Ml，則蜜源i 屬于優(yōu)化的搜索區(qū)域region，反之亦然。

2.2 參數(shù)的取值范圍

利用人工蜂群算法進(jìn)行尋優(yōu)的關(guān)鍵問題之一是確定各個待求量的取值范圍，即需要提前確定蜂群尋優(yōu)的區(qū)間。

在分?jǐn)?shù)階PIλ控制系統(tǒng)中，λ 是0 到1 之間的一個實(shí)數(shù)，因此其取值范圍為［0，1］。

根據(jù)式(12)可得伺服電機(jī)速度環(huán)分?jǐn)?shù)階PIλ控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下:

其特征方程:

根據(jù)自動控制原理中的勞斯判據(jù)［12］，分別設(shè)λ=0和λ=1，可得到閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件如下:

由此可推出Ki的取值范圍:

因此Ki的取值范圍為［0，］。

設(shè)λ=0，式(19)可改寫:

根據(jù)上式可推得自然頻率ωn的表達(dá)式如下:

Kp可表示:

結(jié)合式(21)可推得Kp的取值范圍:

因此，Kp的取值范圍為［0，T］。

2.3 設(shè)置適應(yīng)度函數(shù)

由式(13)，式(14)和式(15)，可定義目標(biāo)函數(shù):

本文采用標(biāo)準(zhǔn)的人工蜂群算法中的適應(yīng)度值計算方法，如下:

3 仿真和實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證算法的可行性，本文分別進(jìn)行了MATLAB 環(huán)境下的仿真研究和在交流直驅(qū)伺服控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺上進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)對象為美國Parker 公司的三相交流永磁同步無框力矩電機(jī)，其定子和轉(zhuǎn)子如圖1 所示。

圖1 力矩電機(jī)的定子與轉(zhuǎn)子

力矩電機(jī)的技術(shù)參數(shù)如表1 所示。

表1 力矩電機(jī)技術(shù)參數(shù)

3.1 最優(yōu)參數(shù)值搜索

依照本文第2 節(jié)的內(nèi)容搭建伺服電機(jī)分?jǐn)?shù)階PIλ速度閉環(huán)控制系統(tǒng)模型，其中電流環(huán)采用式(2)中的簡化模型并根據(jù)電機(jī)參數(shù)設(shè)T =0.001 3，根據(jù)控制理論穩(wěn)定性設(shè)計規(guī)則［12］，設(shè)系統(tǒng)的ωc=200 rad/s，ψ=45°。在人工蜂群算法中，設(shè)蜜源數(shù)N=10，參數(shù)limit 為100，搜索循環(huán)次數(shù)為5 000，參數(shù)C =1.5。為了驗(yàn)證改進(jìn)的人工蜂群算法在收斂速度和精度上的優(yōu)勢，本文分別采用標(biāo)準(zhǔn)的人工蜂群算法和改進(jìn)的人工蜂群算法求取未知量Kp，Ki和λ，其迭代曲線分別如圖2 ～圖4 所示。

圖2、圖3 和圖4 分別顯示了采用標(biāo)準(zhǔn)的人工蜂群和改進(jìn)的人工蜂群尋優(yōu)方程組3 個參數(shù)的迭代對比曲線，具體的迭代結(jié)果如表2 所示。

圖4 人工蜂群算法對λ 尋優(yōu)的收斂曲線

表2 兩種人工蜂群算法的迭代結(jié)果對比

通過表2 中達(dá)到最優(yōu)的循環(huán)次數(shù)可知，改進(jìn)的人工蜂群算法的收斂速度明顯快于標(biāo)準(zhǔn)的人工蜂群算法。

3.2 仿真研究

在MATLAB 環(huán)境下搭建伺服電機(jī)分?jǐn)?shù)階PIλ速度閉環(huán)控制系統(tǒng)模型，將兩個算法尋優(yōu)的結(jié)果代入PIλ速度閉環(huán)仿真模型中，并與傳統(tǒng)PI 控制器一起進(jìn)行速度階躍仿真實(shí)驗(yàn)，給定值設(shè)為50 r/min，其仿真結(jié)果如圖5 和表3 所示。

圖5 三種算法的速度階躍響應(yīng)曲線對比

表3 三種算法的仿真數(shù)據(jù)對比

3.3 實(shí)驗(yàn)研究

在直驅(qū)電機(jī)伺服控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺上進(jìn)行幾種算法的對比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)平臺如圖6 所示。

圖6 力矩電機(jī)伺服控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺

采用磁粉制動器給直驅(qū)電機(jī)加載2 N·m，將兩個算法尋優(yōu)的結(jié)果代入直驅(qū)電機(jī)伺服控制系統(tǒng)的PIλ速度控制器中，并與傳統(tǒng)PI 控制器一起進(jìn)行速度階躍實(shí)驗(yàn)，給定值設(shè)為50 r/min，采用LabVIEW的虛擬示波器顯示階躍響應(yīng)波形，并選擇一個最優(yōu)的傳統(tǒng) 控制的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行顯示，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖7 ～圖9 和表4 所示。

圖9 改進(jìn)的人工蜂群算法尋優(yōu)的PIλ 控制的階躍響應(yīng)曲線

表4 三種算法的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比

3.4 結(jié)果分析

通過表3 和表4 結(jié)果可知，采用分?jǐn)?shù)階PIλ結(jié)合人工蜂群算法的控制方式比單純的PI 控制具有更優(yōu)異的動態(tài)性能;同時，相比于標(biāo)準(zhǔn)的人工蜂群算法，改進(jìn)的人工蜂群算法的尋優(yōu)結(jié)果具有更好的動態(tài)性能。因此，分?jǐn)?shù)階PIλ控制器采用改進(jìn)的人工蜂群算法整定參數(shù)可提高整定精度，具有更好的控制效果。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，人工蜂群算法的仿真效果要好于實(shí)際實(shí)驗(yàn)，這主要是由于人工蜂群尋優(yōu)和仿真都依據(jù)簡化的電流環(huán)模型，而實(shí)際實(shí)驗(yàn)的電流環(huán)模型與簡化的模型存在較大的偏差，尋優(yōu)結(jié)果直接應(yīng)用于實(shí)際實(shí)驗(yàn)無法得到最優(yōu)的結(jié)果。因此，下一步研究的重點(diǎn)是采用該方法進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用時，如何采用更接近于實(shí)際系統(tǒng)的模型建立方程組并進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，以提高其實(shí)用性。

4 結(jié) 語

本文提出了一種針對伺服系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PIλ速度控制器的設(shè)計，針對分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)整定困難的問題，本文在建立伺服系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階PIλ速度控制器模型和參數(shù)整定策略的基礎(chǔ)上引入人工蜂群智能算法求解非線性超越方程組，并根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的人工蜂群算法的不足，提出了一種優(yōu)化搜索區(qū)域并增加最優(yōu)位置引導(dǎo)的搜索算法，增強(qiáng)了蜂群的局部開發(fā)能力，提高了人工蜂群算法的收斂速度和精度。仿真和實(shí)際實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性，該方法對于分?jǐn)?shù)階控制器的應(yīng)用具有較好的參考價值。

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