劉連杰，張勁松，賀渝

（1重慶市建筑科學研究院，重慶 401147；2中國建筑科學研究院，北京 100013；3重慶市渝北區(qū)建設(shè)工程質(zhì)量監(jiān)督站，重慶 401120）

0 引言

結(jié)構(gòu)設(shè)計屬于非定值問題，其不定性可能是由參數(shù)的隨機性以及計算模型的理想程度等引起的。所以，結(jié)構(gòu)設(shè)計必須引入概率論的觀點，出于對工程結(jié)構(gòu)中存在的各種不確定性因素的認識，結(jié)構(gòu)可靠性理論應運而生。

20世紀40年代，可靠度概念開始應用于結(jié)構(gòu)設(shè)計中。1969年美國學者柯涅爾（Cornell）提出了與結(jié)構(gòu)失效概率相聯(lián)系的可靠度指標，作為衡量結(jié)構(gòu)安全度的一種統(tǒng)一數(shù)量指標，并提出了比較系統(tǒng)的一次二階矩的設(shè)計方法，使結(jié)構(gòu)安全度理論開始進入實用階段。直到1976年，西德的拉克維茨（Rackwitz R）和菲斯勒（Fiessler B）等人提出改進的驗算點方法以后，使考慮分布類型的結(jié)構(gòu)可靠度計算進入新的階段。它經(jīng)過系統(tǒng)改進后作為結(jié)構(gòu)安全度聯(lián)合委員（JCSS）的文件（結(jié)構(gòu)統(tǒng)一標準規(guī)范的國際體系第一卷）附錄推薦給土木工程界[1]，也稱JC法。

1946年，物理學家馮·諾依曼等人通過電子計算機隨即模擬了裂變物質(zhì)的中子連鎖反應，其所用的隨機模擬方法稱為蒙特卡羅法。因此該法成了隨機模擬方法的代名詞，并被廣泛應用至今。經(jīng)過之后的發(fā)展，蒙特卡羅法已成為通過隨機模擬來對自然客觀現(xiàn)象進行研究的一種方法。隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，用數(shù)值模擬法來計算結(jié)構(gòu)的失效概率已有取代一階二次矩法的趨勢。主要有：直接Monte Carlo法、重要抽樣法[2]和改進樣本法。普通的直接Monte Carlo法計算精度與計算時間存在矛盾，Shinozuka[3]于1983年率先將重要抽樣方法應用于結(jié)構(gòu)可靠性分析，盡可能減少了模擬抽樣數(shù)，提高了計算效率。

響應面法（Response surface method，RSM）[4]最早是由Box和Wilson在 1951年提出；用于利用統(tǒng)計學的綜合試驗技術(shù)處理復雜系統(tǒng)的輸入（基本變量）和輸出（系統(tǒng)響應）之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，用響應面函數(shù)（RSF）來擬合原有的隱式極限狀態(tài)函數(shù)。1984年Wong首次提出結(jié)構(gòu)可靠度計算的響應面法，并于1958年將其應用于土坡穩(wěn)定的可靠度計算。Bucher等于1990年將響應面法引入結(jié)構(gòu)可靠性分析中，建立結(jié)構(gòu)輸入與結(jié)構(gòu)響應之間的關(guān)系，然后進行結(jié)構(gòu)可靠性分析[4]。

在一次二階矩方法中，必須對非正態(tài)隨機變量進行當量正態(tài)化，產(chǎn)生的誤差隨機變量隨非線性程度的增加而提高，因此學者們提出了一種避免將隨機變量當量化，而直接計算可靠度指標的方法。Breitung K.W在1994出版的著作中詳細介紹漸近積分的方法[5-6]。

1 算法原理

1.1 Monte Carlo直接抽樣法

Monte-Carlo法又稱隨機抽樣技巧、概率模擬方法。其理論基礎(chǔ)是大數(shù)定律，基本思想是通過某種“試驗”的方法，得到某件事件出現(xiàn)的頻率，或者這個隨機變數(shù)的平均值，并用它們作為問題的解[7-8]。其特點是模擬的收斂速度與基本隨機向量維數(shù)無關(guān)，模擬過程與功能函數(shù)復雜程度無關(guān)，無需進行功能函數(shù)線性化或隨機變量的當量正態(tài)化，因此其應用范圍基本無限制。

對于失效概率較低或抽樣次數(shù)n較小的情況，結(jié)構(gòu)失效概率Pf值有相當?shù)牟淮_定性，但這可以通過增加模擬次數(shù)來解決。其缺點就是模擬次數(shù)相對很大，且獲得的信息有限，無法得到靈敏度系數(shù)和驗算點信息，所以該法在實際上較少運用，一般作為檢驗其他方法精度的指標。

1.2 Monte Carlo重要抽樣法

重要抽樣法與直接抽樣法原理無本質(zhì)上的區(qū)別，只不過改變了抽樣的重心，將抽樣的重心轉(zhuǎn)移至對結(jié)構(gòu)失效概率貢獻最大的區(qū)域，這樣可以減少抽樣次數(shù)，并獲得精度較高的解[9]。

設(shè)構(gòu)件失效概率為：

式中X={X1,…，Xn}T，為n維隨機向量；fx(x)為X的聯(lián)合概率密度函數(shù)；Df為失效區(qū)域。設(shè)

則（1）可表示為：

式中萃為X的定義域。

取hx(x)為重要抽樣密度函數(shù)。作為概率密度函數(shù)，hx(x)滿足：

顯然，式（3）可表示為：

根據(jù)概率論有關(guān)隨機變量函數(shù)數(shù)學期望的定義，顯然，Pf可以視作隨機變量Y的數(shù)學期望μY。其無偏估計為：

1.3 JC法

JC法適用于隨機變量為任意分布下工程結(jié)構(gòu)可靠度指標的求解。因其通俗易懂，精度能滿足工程實際需求而被國際“結(jié)構(gòu)安全度聯(lián)合委員會”（JCSS）所采用。JC法的基本思路是：將非線性功能函數(shù)在驗算點處（失效邊界）作泰勒級數(shù)展開，保留至一次項。然后首先對隨機變量進行當量正態(tài)化[10]，把原來的非正態(tài)分布用正態(tài)分布代替，以近似計算平均值和標準差。隨機變量分布當量正態(tài)化后，即可與改進一次二階矩法的計算過程一樣，用迭代法來求解結(jié)構(gòu)的可靠指標。

當量正態(tài)化要求在設(shè)計驗算點坐標處，對于代替的正態(tài)分布函數(shù)值（CDF）和概率密度函數(shù)值（PDF）都和原來的分布函數(shù)的CDF值和PDF值相等。 即：

式中μ'xi，σ'xi分別表示等效正態(tài)變量X'i的均值、均方差。

利用式（10）和（11），可求得等效正態(tài)變量X'i的均值、均方差為：

式中Φ-1(·）為標準正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。

JC法適用于隨機變量為任意分布的功能函數(shù)，計算速度快，計算精度能滿足工程需要，有一套固定的程序步驟，適合一般工程技術(shù)人員應用。但其局限性在于：將極限狀態(tài)方程在驗算點處進行泰勒級數(shù)展開，可能會帶來顯著性的誤差，非正態(tài)隨機變量的當量正態(tài)化也會帶來誤差。

1.4 響應面法

對于某些復雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，隨機變量之間可能不存在明顯的解析式或是高度非線性，此類問題不可能預先確定分析模型，響應面法為解決復雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度分析提供了一種可靠的建模及計算方法。該方法用包含未知數(shù)的已知函數(shù)代替隱含或復雜的函數(shù)，用插值回歸的方法確定位置參數(shù)，插值點的確定一般以試驗設(shè)計為基礎(chǔ)，若隨機變量個數(shù)較多則試驗次數(shù)也會增多[11]。其優(yōu)勢在于：一般可以用二次多項式代替大型復雜的功能函數(shù)，并通過迭代插值展開點和系數(shù)進行調(diào)整，一般都能滿足工程精度的要求，具有較高的計算效率。

1.5 一次漸進法

在一次二階矩方法中，必須對非正態(tài)隨機變量進行當量正態(tài)化，產(chǎn)生的誤差隨隨機變量非線性程度的增加而提高，因此學者們提出了一種避免將隨機變量當量化，而直接計算可靠度指標的方法。由于對失效概率的貢獻主要是在結(jié)構(gòu)失效最大可能點附近的積分，因此只要將積分局部化，集中在該點附近的失效域內(nèi)進行，就能夠得到失效概率積分的近似結(jié)果。

在失效概率最大可能處，將基本變量概率函數(shù)的對數(shù)展開成泰勒級數(shù)并取至二次項，將功能函數(shù)也作為泰勒級數(shù)展開，用所得超切平面或二次超曲面來逼近實際失效面，再利用一次二階矩和二次二階矩法即可完成失效概率的漸近積分[12-13]。

漸進積分法無需進行空間變換，不用變量的累積分布函數(shù)，但要計算基本隨機變量概率密度函數(shù)的一階和二階導數(shù)，使程序顯得很繁瑣，但由于避免當量正態(tài)化，故而計算精度有所提高。

2 算法性能比較

2.1 變量類型的影響

為評估四種變量類型對各算法性能的影響，構(gòu)造功能函數(shù)：

各變量的統(tǒng)計參數(shù)均為：

依次假定X1和X2服從正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、極值I型分布以及Weibull分布，分別采用5種方法計算結(jié)構(gòu)的可靠度指標，結(jié)果見表1。本文以100萬次Monte Carlo直接抽樣模擬的結(jié)果作為標準解，以計算值與標準解的比值作為精度指標，結(jié)果見圖1。

從計算結(jié)果可以看出：（1）變量服從正態(tài)分布時，各算法的解與標準解十分吻合，這是由于此種情況下，既沒有進行變量的當量化，也沒有進行功能函數(shù)的線性化；（2）變量服從對數(shù)正態(tài)和極值I型分布時，各算法雖不能完全與標準解吻合，但精度也較好，誤差在2%以內(nèi)；由于此時的功能函數(shù)為線性，且未考慮統(tǒng)計參數(shù)的影響，因此尚不能得出各算法在對數(shù)正態(tài)和極值I型分布變量的精度很好的結(jié)論；（3）變量服從Weibull分布時，各算法的精度相對較低，特別是重要抽樣法，在此時精度最低，但在其他變量類型時均具有極高的精度。這是因為程序算法中fp（即）的模擬并不理想，還有就是程序中驗算點的解并不精確。這說明，由于Weibull本身的特征，導致這種在最大失效概率處抽樣的方法具有很大的不確定性，經(jīng)驗證，兩次抽樣的結(jié)果誤差較大；（4）變量服從非正態(tài)分布時，JC法與響應面法十分吻合，且精度優(yōu)于一次漸進法，說明將線性功能函數(shù)近似成二次多項式和將變量當量正態(tài)化這兩種處理方式在此時具有相同的效果。至于漸進法精度相對JC法較低的原因是：雖然二者均在驗算點處進行泰勒級數(shù)展開，但漸進法是在最大可能失效處進行積分，故而計算出的失效概率較小，可靠度指標偏大。

表1 各變量類型的可靠度指標計算結(jié)果

圖1 各算法可靠度指標與標準解比較

綜上可知，在線性功能函數(shù)的條件下，對于正態(tài)變量，選用任意算法均可得到高精度解；非正態(tài)分布變量中，Weibull分布對各算法的精度影響最大；線性功能函數(shù)情況下，JC法、響應面法結(jié)果吻合，一次漸進法精度略差。

2.2 非線性程度影響

為討論非線性程度對算法性能的影響，構(gòu)造功能函數(shù)：

分別計算k=2、3、4、5、6這5種情況下的可靠度指標，仍以100萬次Monte Carlo直接抽樣模擬的結(jié)果作為標準解，討論變量服從正態(tài)分布的情況。

仍然假定正態(tài)分布的統(tǒng)計參數(shù)為式（14）。各情況可靠度指標計算結(jié)果見表2所示，各算法與標準解的比值見圖2。

從上述圖表中可以看出，當變量服從正態(tài)分布時，隨功能函數(shù)非線性程度的提高：（1）重要抽樣法與標準解吻合很好，且經(jīng)驗證，重要抽樣法的抽樣次數(shù)遠小于直接抽樣法；（2）當k為奇數(shù)時，JC法、響應面法、一次漸進法的精度較好均要優(yōu)于k為偶數(shù)的情況，說明功能函數(shù)的奇偶性對算法精度有影響；（3）再次驗證，非線性程度較低時，JC法與響應面法吻合較好，已經(jīng)討論；（4）非線性程度較高時，響應面法精度相對較低，這是因為將高度非線性功能函數(shù)近似成二次多項式的處理方式產(chǎn)生了較大的誤差；（5）相比于線性功能函數(shù)時較低的精度，當非線性程度較高時，一次漸進法開始體現(xiàn)其優(yōu)越性。

表2 不同非線性程度的可靠度指標

圖2 不同非線性程度可靠度指標與標準解的比較

2.3 統(tǒng)計參數(shù)的影響

2.3.1 均值的影響

約定變量的變異系數(shù)：VR=[0.3;0.2]，分別在均值μ=kx[5;3]，k=1,2,3,4,5,6六種工況下計算結(jié)構(gòu)可靠度指標。線性功能函數(shù)的形式為式（13），討論變量服從正態(tài)分布的情況。上述6種情況下5種算法所得可靠度指標列于表3，精度對比見圖3。

圖表表明：（1）約定變異系數(shù)后，JC法、響應面法以及一次漸進法三種方法計算的可靠度指標并不隨均值的改變而改變；這是因為變異系數(shù)不變時，變量的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)不發(fā)生變化或變化較??；（2）圖3是經(jīng)放大處理后的效果，因此可以認為MC法和重要抽樣法計算的可靠度指標發(fā)生變化是由抽樣的不確定性引起的；（3）與非線性程度變化類似，隨均值的變化，各算法精度變化同樣具有區(qū)間性。

表3 不同均值的可靠度指標

圖3 不同均值的可靠度指標與標準解比較

可以得出的結(jié)論是：在功能函數(shù)為線性，變量服從正態(tài)分布，且約定變異系數(shù)的情況下，各算法不受均值的影響或影響甚微。經(jīng)驗證，此結(jié)論可推廣到非正態(tài)變量；同時，均值變化時，各算法精度同樣具有區(qū)間性。

2.3.2 變異系數(shù)的影響

約定變量的均值μ=[25;10]，變異系數(shù)VR=[0.2;0.1]+k[0.1+0.05],k=1,2,3,4,5，共5種情況，計算結(jié)果如表4及圖4所示。

表4 不同變異系數(shù)的可靠度指標

圖4 不同變異系數(shù)的可靠度指標與標準解的比較

（1）約定均值后，結(jié)構(gòu)可靠度指標隨變異系數(shù)的增加而遞減，這是由變量的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)決定的；（2）與均值變化相同，各算法精度隨變異系數(shù)的變化也呈現(xiàn)出區(qū)間性。經(jīng)驗證，這兩個結(jié)論同樣可以推廣到非正態(tài)分布和非線性功能函數(shù)的情況。

3 結(jié)論

從變量類型、非線性程度和統(tǒng)計參數(shù)三個方面著手，利用Matlab程序計算對比了五種常用的可靠度計算方法的性能，由計算結(jié)果可得出以下結(jié)論：

（1）隨機變量類型對算法精度有影響，綜合看來，Weibull分布對精度影響最大，對數(shù)正態(tài)分布其次，極值I型分布次之，正態(tài)分布變量精度最好；

（2）功能函數(shù)的奇偶性對算法精度有影響，算法精度隨非線性程度的變化呈區(qū)間性變化；

（3）統(tǒng)計參數(shù)對算法精度影響較大，且也具有區(qū)間性；

（4）由于抽樣的隨機性直接抽樣法與重要抽樣法，每抽取的結(jié)果具有不定性，若選取的分布函數(shù)合適，重要抽樣可以取得相當?shù)木?，且可以提高計算效率?/p>

（5）線性程度較低時響應面法與JC法吻合較好，但由于響應面法用二次多項式代替復雜的功能函數(shù)，故其隨著非線性程度的提高，其精度相對最低；但在無法預先確定計算模型的情況下，響應面法具有優(yōu)勢；

（6）一次漸進法規(guī)避了當量正態(tài)化的過程，擬用最優(yōu)化問題求解最大失效概率點。在非線性程度較高時，該法具有優(yōu)勢，但其計算程序較為復雜，且易受變量類型的影響，二次漸進積分法可解決此問題；

（7）可靠度計算方法受多方面因素的影響，選擇計算方法時要綜合考慮。

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