時朋朋

（1.西安電子科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，西安 710071；2.西部災(zāi)害與環(huán)境力學(xué)教育部重點實驗室 蘭州大學(xué)，蘭州 730000）

無損檢測技術(shù)是在不損傷構(gòu)件結(jié)構(gòu)和完整性的前提下，檢測構(gòu)件的某些物理性能和組織狀態(tài)。檢測構(gòu)件的內(nèi)在或表面缺陷，評定化學(xué)成分、內(nèi)部組織、力學(xué)性能的變化，進而對其適用性進行評價的工藝技術(shù)，又稱非破壞性檢測技術(shù)。

鐵磁材料被磁化后，其表面和近表面缺陷在材料表面形成漏磁場，通過檢測漏磁場來評價缺陷的無損檢測技術(shù)稱為漏磁檢測。漏磁檢測技術(shù)通常測量垂直和平行于缺陷表面的漏磁場分量，來實現(xiàn)對缺陷的定量分析。基于試驗或仿真方法建立缺陷和漏磁場信號間的定量關(guān)系，是實現(xiàn)缺陷定量分析的基礎(chǔ)。

缺陷漏磁場可由不同的模型描述，學(xué)者們對漏磁場的研究方法主要有磁偶極子法［1］和有限元法［2］，其中磁偶極子模擬方法利用靜磁學(xué)可以簡單直觀地計算磁偶極子在空間任意點的場強，對解決磁性檢測中的諸多理論難題具有異常方便和獨特的效果。1966 年ZATSEPIN 和SHCHERBININ最早發(fā)表了定量分析缺陷漏磁場的論文，提出用磁偶極子、無限長磁偶極線來模擬工件表面的點狀缺陷、淺缺陷和深缺陷。此后，對缺陷漏磁在理論上的分析繼續(xù)不斷深入。SHCHERBININ 和PASHAGIN［3］在1972年給出具有矩形截面的三維裂紋的磁偶極子模型。1986 年EDWARDS 和PALMER［4］使用矩形槽逼近的方案給出半橢圓形槽和漏磁信號的解析解。1998 年MANDALY 和ATHERTON［5］分析了鋼管表面環(huán)向應(yīng)力對漏磁信號的影響。為了分析不同缺陷形貌對漏磁信號的影響，2003年MANDACHE 和CLAPHAM［6］計 算了單個圓柱缺陷、相鄰圓柱缺陷、跑道缺陷等的表面漏磁場。2011年Le［7］等計算了小口徑管道中的空心缺陷的表面漏磁場。我國學(xué)者對磁偶極子理論的研究一直比較活躍，對世界無損檢測領(lǐng)域作出了突出貢獻。近年來，華中科技大學(xué)的楊叔子、康宜華等人［8－9］在漏磁場數(shù)值模擬、信號處理等方面做了大量研究。仲維暢［10－12］對有限長、無限長帶偶極子的漏磁場分布進行研究，分析了漏磁場的軸向分量、法向分量的等強度線。王正道等人［13］利用磁偶極子模型分析了鐵磁材料表面應(yīng)力集中等引起的自發(fā)磁記憶信號。磁偶極子模型能很好描述裂紋缺陷處的漏磁場分布特征，與試驗結(jié)果較為吻合。但是，磁偶極子模型存在一些不足：（1）無法定量磁荷密度的分布形式；（2）適用于強間斷面，對位錯、夾雜、滑移剪切帶等微觀損傷不適用；（3）無法考慮結(jié)構(gòu)與材料磁參數(shù)的非均勻性［14］。近年來，在計算機技術(shù)和數(shù)值分析方法支持下，有限元分析方法得以飛速發(fā)展，成為解決各類工程分析計算問題的有效途徑之一。楊理踐等人［15］應(yīng)用ANSYS 對由勵磁單元和探測單元組成的漏磁檢測裝置進行三維有限元模型仿真分析，驗證了鋼板厚度增加造成的磁場不飽和現(xiàn)象?？狄巳A等人［16］運用有限元法分析不同磁化方法對鋼絲繩磁化效果的差異，探討穿過式磁化器中各項幾何參數(shù)的變化對于鋼絲繩內(nèi)部磁場和缺陷漏磁信號的具體影響。李偉等人［17］對不同形狀裂紋漏磁場進行有限元仿真分析，得出了裂紋形狀對漏磁場的影響。戴光等人［18］應(yīng)用ANSYS軟件對圓筒形容器漏磁內(nèi)檢測進行仿真分析，分析了缺陷尺寸、容器壁厚、內(nèi)、外壁缺陷等影響缺陷漏磁信號的因素。

試驗研究和有限元仿真結(jié)果表明缺陷的復(fù)雜形狀直接影響其漏磁信號，但是目前磁偶極子模型的研究中常將缺陷簡化成矩型或環(huán)型凹槽。偶極子模型的研究中，漏磁信號常常表現(xiàn)為沿缺陷形成的磁荷面的定積分，由于被積函數(shù)復(fù)雜性，很多定積分不能用已知的積分公式得到精確值。當選取特殊的缺陷形貌進行研究，并且假設(shè)磁荷是均勻分布的，描述漏磁信號的定積分可以進一步得到使用起來更加方便的解析表達式。目前為止，已獲得的漏磁信號的解析解屈指可數(shù)。筆者利用磁偶極子模型獲得了梯型、矩型、V 型和組合型凹槽缺陷表面漏磁信號的解析解。得到的矩形凹槽表達式和已有經(jīng)典文獻結(jié)果一致，梯型和組合型凹槽的表達式為首次獲得，V 型凹槽表達式與文獻［19］存在差異。同數(shù)值積分結(jié)果的對比證實獲得的解析表達式的正確性。

1 磁偶極子模型

磁偶極子理論認為缺陷的漏磁場由極性相反的偶極子產(chǎn)生。所謂磁偶極子是指一對異種等量點磁荷組成的磁性體系。當磁化后的鐵磁性試件表面存在孔洞、凹坑、點狀壓痕缺陷時，缺陷兩側(cè)會有磁力線泄漏出工件，在磁力線離開工件缺陷一側(cè)處和進入工件缺陷另一側(cè)處將形成很小的磁極。這些很小的磁極可近似認為是一對極性相反的等量磁荷，即可用等效偶極子模型來模擬。

考慮如圖1所示的線偶極子模型，假設(shè)存在兩條符號相反、線磁荷密度ρm相等、相距為2b、沿垂直于x－y平面方向無限長的兩條磁荷線，正負磁荷線在與它們相距r1和r2的點產(chǎn)生的磁場分別為線偶極子在空間P點的磁場H為H1和H2的矢量和，磁場H沿x，y方向的分量分別為

圖1 線磁偶極子模型

式中：Hx和Hy場分別為線磁偶極子在P點產(chǎn)生的磁場H的分量x和分量y，μ0＝4π×10－7H／m為真空磁導(dǎo)率。

2 缺陷形狀

缺陷的復(fù)雜形狀直接影響其表面漏磁信號的大小、分布等，基于磁偶極子模型可以針對不同的缺陷形狀分析其對應(yīng)漏磁場信號特征，進而建立缺陷檢測評價依據(jù)。這里考慮缺陷具有四種不同的端面形狀，分別為梯型凹槽、矩型凹槽、V 型凹槽和組合型凹槽。圖2依次給出四種缺陷的截面圖，缺陷沿垂直于xy平面方向無限長，缺陷左右兩側(cè)形成符號相反，面磁荷密度ρs相等的兩個磁荷面。梯型凹槽截面呈梯型，2a為凹槽底端的寬度，2a＋2b為凹槽頂端的寬度，凹槽的深度（即凹槽底端與表面距離）為h。矩型和V 型凹槽可以看作梯型凹槽的特例，當梯型凹槽形狀參數(shù)b＝0和a＝0的時候，梯型凹槽可以依次退化得到矩型和V 型凹槽。組合型凹槽缺陷如圖2（d）所示，假設(shè)缺陷沿垂直于x－y平面方向無限長。組合型凹槽頂部為梯型凹槽，其底端長度為2a，頂端長度為2a＋2b，高為h－d。組合型槽底部為V 型凹槽，其底端長度長度為2a，深度為d。如圖2（d）所示，組合型槽缺陷漏磁場的計算可以歸結(jié)為V 型凹槽和梯形凹槽的組合運算。圖中星形所在直線為缺陷的磁荷面，星形代表分布磁荷。

3 缺陷漏磁場解析解

鑒于矩型、V 型和組合型凹槽可看作梯型凹槽的變形或組合，故先分析梯型凹槽漏磁信號的解析表達式，進而利用梯型凹槽漏磁信號的解析表達式依次獲得其余缺陷漏磁信號的解析表達式。

3.1 梯型凹槽

如圖2（a）所示，設(shè)磁化使梯形凹槽兩側(cè)壁形成兩個磁荷面，磁荷面方程為x＝－by／h－b－a和x＝by／h＋b＋a。假設(shè)磁荷面均勻分布極性相反密度相等的面磁荷，并設(shè)在槽口和其他部位均無磁荷分布。那么左右兩側(cè)槽壁上以深度η為中心、寬為dη、磁荷密度為ρs的面磁荷在空間任何一點P（x，y）所產(chǎn)生的磁場為：

磁場強度分量Hx和Hy可對dHx＝dH1x＋dH2x和dHy＝dH1y＋dH2y沿缺陷深度積分求出：

圖2 四種缺陷的截面圖

式中：ρs為磁荷密度。

3.2 矩型凹槽

令梯型凹槽漏磁信號的解析表達式中b＝0，得到矩形凹槽漏磁信號的解析表達式?？臻g任何一點P（x，y）磁場強度分量Hx和Hy分別為：

3.3 V 型凹槽

令梯型凹槽漏磁信號的解析表達式中a＝0，得到V 型凹槽漏磁信號的解析表達式?？臻g任何一點P（x，y）磁場分量Hx和Hy分別為：

3.4 組合型凹槽

如圖2（d）所示，設(shè)磁化使梯形凹槽兩側(cè)壁形成兩個磁荷面。端部為V 型凹槽左右磁荷面所在斜線方程為x＝－ay／d－ah／d和x＝ay／d＋ah／d。如圖3所示，組合型槽缺陷漏磁場的計算可以歸結(jié)為V型凹槽和梯形凹槽的組合運算。圖中原點所在直線為缺陷的磁荷面。空間任何一點P（x，y）磁場分量Hx和Hy分別為：

式中：ρs1為組合型缺陷底部V 型凹槽的磁荷密度；ρs2為組合型缺陷頂部梯型凹槽的磁荷密度。

4 比較與驗證

矩型、V 型和組合型凹槽漏磁信號解析解是梯型凹槽解析解的直接變形或組合，所以鑒于篇幅所限，僅對梯形凹槽漏磁信號數(shù)值解和解析解進行詳細的比較。得到的矩形凹槽表達式和已有經(jīng)典文獻結(jié)果一致，梯型和組合型凹槽的表達式為首次獲得，V 型凹槽表達式與文獻［19］存在差異，通過同數(shù)值積分結(jié)果進行對比證實獲得的解析表達式的正確性。

4.1 梯型凹槽

圖3 組合槽的分解算法

觀察公式（3）和（4）知漏磁信號分量Hx和Hy是對dHx＝dH1x＋dH2x和dHy＝dH1y＋dH2y沿缺陷深度做定積分求得的。由于缺陷形貌的特殊性和磁荷均勻分布的假設(shè)，此處獲得漏磁信號的解析解。由于被積函數(shù)復(fù)雜性，很多定積分不能用已知的積分公式得到精確值。這時，利用數(shù)值積分可以快速而有效地計算復(fù)雜的積分。形如定積分，當被積函數(shù)f（x）光滑連續(xù)時，其數(shù)值解可借助復(fù) 化梯形 公式實 現(xiàn)≈。這 里n表示計算中將區(qū)間a，［］b劃分為n等份，在每個小區(qū)間上應(yīng)用梯形公式計算定積分，然后將其結(jié)果相加。定義I為精確解，Tn為將區(qū)間a，［］b劃分為n等份時復(fù)化梯形公式得到的數(shù)值解，復(fù)化梯形公式的誤差為

通過將缺陷漏磁信號解析解與復(fù)化梯形公式得到的數(shù)值解進行比較驗證結(jié)果的正確性。計算取缺陷尺寸a＝0.5mm，b＝0.5mm，缺陷深度h＝0.5mm，提離高度y＝0.5mm。ρs＝4πμ0δs，δs。這里磁荷密度ρs的選取參考了文獻［19］的做法。表1給出梯形凹槽漏磁信號數(shù)值解和解析解的比較。由表1可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值積分參數(shù)n＝100時，數(shù)值積分解和解析解誤差在1%以內(nèi)，有著極好的精度。在以后數(shù)值積分求解過程中使用n＝100。此外，數(shù)值積分解和解析解的一致性一定程度說明解析表達式的正確性。圖4模擬了梯形凹槽缺陷表面漏磁信號，計算中取缺陷特征尺寸a＝1mm，b＝0.5mm，缺陷深度h＝1mm，2mm，3mm，提離高度y＝1mm。取磁荷密度ρs＝ 4πμ0δs，δs＝，Ha＝60 A／m，μ0＝4π×10－7H／m，μ＝7 000。從圖4可以看出，若缺陷尺寸以其中軸是對稱的，則缺陷漏磁信號x方向分量Hx以中心點是偶對稱的；缺陷漏磁信號y方向分量Hy顯示出以中心點是奇對稱的大小相等的正負雙峰結(jié)構(gòu)。此外裂紋漏磁場大小隨裂紋深度的增加而逐漸增大。這些模擬結(jié)果均與漏磁場信號的基本特征保持一致。此外，數(shù)值積分解和解析解的一致性一定程度說明解析表達式的正確性。

表1 梯形凹槽漏磁信號數(shù)值解和解析解的比較

圖4 不同缺陷深度下梯型凹槽缺陷的漏磁信號分布

4.2 矩型凹槽

矩形凹槽漏磁信號Hx的解析表達式與Zatsepin和Sheherbinin［1］給出的表達式形式稍有出入，Hy的表達式完全一致，Zatsepin和Sheherbinin給出Hx的表達式為：

圖5給出表達式（5）和表達式（12）計算獲得的漏磁信號Hx。計算中取缺陷寬度2a＝2 mm，4mm，6mm，缺陷深度h＝1mm，提離高度y＝1mm，2mm，3mm。取磁荷密度ρs＝4πμ0δs，δs＝，其中Ha＝60A／m，μ0 ＝4π×10－7H／m，μ＝7 000。從圖5可以看出兩個表達式其實只是形式的差別，結(jié)果完全一致。此外還可以看出，漏磁場信號的幅值隨提離高度y的增大而迅速減小。

圖5 不同提離高度下矩型凹槽缺陷的漏磁信號分量Hx 分布

圖6 不同缺陷寬度下V 型凹槽缺陷的漏磁信號分布

4.3 V 型凹槽

筆者得到的V 型凹槽漏磁信號解析表達式與參考文獻［19］存在較大差異。通過將缺陷漏磁信號解析解與復(fù)化梯形公式得到的數(shù)值解進行比較驗證結(jié)果的正確性。計算中取缺陷寬度b＝1mm，2mm，3mm，缺陷深度h＝1mm，提離高度y＝0.5mm。取磁荷密度，其中Ha＝60A／m，μ0 ＝4π×10－7H／m，μ＝7 000。從圖6可以看出，裂紋漏磁場隨裂紋寬度的增加而逐漸增大。數(shù)值積分解和解析解完全一致，說明解析表達式的正確性。

5 結(jié)論

缺陷的復(fù)雜形狀直接影響其表面漏磁信號的大小和分布，針對具有不同的端面形狀的四種凹槽缺陷，以磁偶極子模型為理論基礎(chǔ)，給出缺陷漏磁信號的解析表達式，得到的矩型凹槽表達式和已有經(jīng)典文獻一致，梯型和組合型凹槽的表達式為首次獲得，V 型凹槽表達式與文獻存在差異，通過同數(shù)值積分結(jié)果進行對比，證實筆者表達式的正確性。

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