摘 要：度量金融風(fēng)險的VaR方法自從20世紀(jì)90年代初產(chǎn)生以來被廣泛地應(yīng)用于度量各種金融工具的風(fēng)險。1994年，摩根集團在網(wǎng)上公布了其內(nèi)部使用的全面估計金融風(fēng)險的技術(shù)文件，其核心技術(shù)就是VaR方法。摩根集團通過公布每日更新的480種金融工具的VaR，使得金融從業(yè)人員很容易計算各種資產(chǎn)組合的風(fēng)險值。但是這480種金融工具中卻不包括中國的金融工具。對我國滬深300股票進行實證分析，計算其最優(yōu)衰減因子，從而可為計算我國股市風(fēng)險值提供方法和依據(jù)。

關(guān)鍵詞：滬深300；EWMA；最優(yōu)衰減因子

中圖分類號：F830.91 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）32-0173-02

1995年，具有200多年歷史的英國巴林銀行宣布破產(chǎn)，只因為其在新加坡的交易員里克·尼森持有的日經(jīng)225指數(shù)期貨合約多頭損失了約14億美元，而該銀行的股權(quán)資本只有6.15億美元。因此，在當(dāng)前金融市場上，無論是企業(yè)還是個人都需要進行嚴(yán)格的風(fēng)險管理。度量金融風(fēng)險的VaR方法自從20世紀(jì)90年代初產(chǎn)生以來被廣泛地應(yīng)用于度量各種金融工具的風(fēng)險。1994年，摩根集團在網(wǎng)上公布了其內(nèi)部使用的全面估計金融風(fēng)險的技術(shù)文件，其核心技術(shù)就是VaR方法。摩根集團通過公布每日更新的480種金融工具的VaR，使得金融從業(yè)人員很容易計算各種資產(chǎn)組合的風(fēng)險值。但是這480種金融工具中卻不包括中國的金融工具。

2005年4月8日，由上海證券交易所和深圳證券交易所聯(lián)合編制的滬深300指數(shù)開始發(fā)布。滬深300指數(shù)樣本是從上海、深圳證券市場中選取的300只A股股票，其中滬市179只，深市121只。滬深300涵蓋了滬深市場六成左右的市值，具有良好的市場代表性。我們通過方法計算滬深300的最優(yōu)衰減因子，可以為計算中國金融工具的VaR值提供方法和依據(jù)。

一、研究方法

（一）基本原理

記為{rt}某金融工具的價格收益率序列，在隨機游動假說下，{rt}服從獨立的正態(tài)分布。

（1）

在研究每天的收益率時，可假設(shè)μ=0。對給定的置信水平C，對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點為T（由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查表可得），所以有

VaE（相對）=-TσtW （2）

當(dāng)資產(chǎn)組合包含兩種以上資產(chǎn)時，還需要計算資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)，具體可參閱其他文獻。在（2）式中，W是投資組合的頭寸，是一已知量，T是由置信水平c確定的量，因此在估計VaR的方差協(xié)方差法中，關(guān)鍵的問題就是如何估計收益率分布的標(biāo)準(zhǔn)差σt。

（二）指數(shù)加權(quán)平均移動法

由（1）式，我們可以考慮用rt的歷史觀測值來估計σt，（3）式就是用長度為T的歷史數(shù)據(jù)估計t：

（3）

這種估計標(biāo)準(zhǔn)差的方法叫做簡單移動平均法（SAM），其特點是對每個觀測值給予相等的權(quán)重，估計值顯著依賴于數(shù)據(jù)長度T的選取。

對SMA法的改進方法叫做指數(shù)加權(quán)移動平均法（EWMA），也就是說：

（4）

這種方法的特點是對每個觀測值給予不同的權(quán)重，離估計值越近的數(shù)據(jù)權(quán)重越大，越遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)權(quán)重越小。（4）式中λ（0<λ<1）叫做衰減因子，其取值大小決定了相關(guān)樣本的權(quán)重和有效樣本的長度。

用EWMA法估計收益率的標(biāo)準(zhǔn)差還有一個顯著的特點，就是可以將方差的估計公式寫成迭代形式，這將有利于應(yīng)用計算機處理龐大的數(shù)據(jù)。為此，我們顯示地記σ2

t+1/t為已知t時刻以前（包括t時刻）的收益，估計t+1時刻的收益方差，由 （4）式進行以下推導(dǎo)，得到迭代形式：

（5）

（三）估計精度的確定

因為的取值范圍為：0<λ<1，故r2

t-i的權(quán)重（1-λ）λi→0（當(dāng)i→∞）時，所以（4）式可以用有限樣本長度來近似。為此，定義容忍度LK：

[] （6）

在容忍度LK下，應(yīng)用EWMA法估計標(biāo)準(zhǔn)差公式為：

[] （7）

由于

[]

可將式（6）推導(dǎo)為

[] （8）

這樣，我們就得到了衰減因子λ、有效數(shù)據(jù)長度K和容忍度LK三者之間的關(guān)系。

（四）最優(yōu)衰減因子的算法

風(fēng)險矩陣對N個時間序列生成波動率和相關(guān)性預(yù)測，這需要N個方差預(yù)測和N（N-1）/2個協(xié)方差預(yù)測。由于這些參數(shù)組成了一個協(xié)方差矩陣，對每個方差和協(xié)方差預(yù)測的最佳衰減因子并不是相互獨立的。當(dāng)N=2時，我們的協(xié)方差矩陣為2x2，共有3個衰減因子：λ1，λ2，λ3。理論上，選擇與其相應(yīng)的協(xié)方差矩陣一致的最優(yōu)衰減因子是可能的，但實際上這一目標(biāo)對復(fù)雜的大型協(xié)方差矩陣難以實現(xiàn)。因此，有必要對最優(yōu)衰減因子λ做出一些結(jié)構(gòu)性的限制。風(fēng)險矩陣對整個協(xié)方差矩陣僅使用一個最優(yōu)衰減因子，這一衰減因子是由N個時間序列的個體方差估計確定的。

1.均方根誤差準(zhǔn)則

在早一個周期預(yù)測出的，對在時間t+1時，回報rt+1的方差估計，定義為，即在早一個周期對平方回報的期望值。一般地說來，這些結(jié)論對在時間t+j，j≥1做出的任何預(yù)測都是成立的?，F(xiàn)在如果將方差預(yù)測誤差定義為，則會得到預(yù)測誤差的期望為0?；谶@一關(guān)系，我們希望選擇最優(yōu)的λ使得平均誤差平方最小。將此應(yīng)用于日方差預(yù)測，這會使下式給出的日均方根預(yù)測誤差（RMSE）最小化。

（9）

在這里，方差的預(yù)測值寫作的顯示函數(shù)，其中T為考慮的預(yù)測區(qū)間長度。在實際上，是通過尋找對應(yīng)于不同λ值的最小RMSE值來得到最優(yōu)的衰減因子，也就是說，尋求產(chǎn)生最佳預(yù)測（即使預(yù)測度量最小化）的衰減因子。此外風(fēng)險矩陣并不評價協(xié)方差預(yù)測的精確性。

2.個體方差估計的加權(quán)

風(fēng)險矩陣具有N個時間序列，而且對每個序列都有一個與之關(guān)聯(lián)的、使方差預(yù)測的均方根誤差最小化的最優(yōu)衰減因子。我們需要對日數(shù)據(jù)組，由N個時間序列計算出一個綜合的最優(yōu)衰減因子。令i表示第i個最優(yōu)衰減因子，并讓i（i=1，2，…，N）表示風(fēng)險矩陣數(shù)據(jù)中的時間序列數(shù)；讓τi表示與i相關(guān)聯(lián)的第i個均方根誤差（RMSE），即τi是第i個時間序列的最小RMSE值。可以如下推導(dǎo)出一個綜合的最優(yōu)衰減因子：

（1）求所有N個最小RMSE，的和：

（2）定義相對誤差度量：

（3）定義權(quán)重：

這里

（4）最優(yōu)衰減因子定義為：

（10）

也就是說，由風(fēng)險矩陣采用的最優(yōu)衰減因子是個體最優(yōu)衰減因子的加權(quán)平均，其權(quán)重是個體預(yù)測精度的一種度量。將這一方法運用到日收益率序列，并求得日數(shù)據(jù)組的最優(yōu)衰減因子。

二、最優(yōu)衰減因子的計算

我們選取的樣本為滬深300成分股股票收盤指數(shù)，樣本時間為2012.12.28—2013.12.13，共計250天。對于我們選取的樣本長度，由公式8可知：當(dāng)λ取值為0.85—0.95時，容忍度小于0.001%。根據(jù)摩根技術(shù)文件的經(jīng)驗，λ的取值應(yīng)在0.84—0.99之間。我們利用Matlab軟件，使用柵格法計算每個風(fēng)險因子的最小RMSE值以及相應(yīng)的λ取值；然后，按照2.4.2中的方法計算各個λ值權(quán)重；最后，加權(quán)得出對于中國金融市場的日頻最優(yōu)衰減因子。得出如下結(jié)果：λ=0.9400。由EWMA方法可知λ越小，有效數(shù)據(jù)長度或市場的記憶長度K越短，即市場具有更大的波動性。通過與國際市場的比較，我們可以發(fā)現(xiàn)我國股票市場的波動性是比較大的，這與我們計算的國內(nèi)股票市場最優(yōu)衰減因子為0.94，小于國外股票市場最優(yōu)衰減因子這一結(jié)果相符合。

結(jié)語

本文運用EWMA方法估計收益率方差和RMSE最小化準(zhǔn)則確定最優(yōu)衰減因子，通過計算滬深300成份股股票，得出我國滬深300股票市場的日頻最優(yōu)衰減因子為0.9400，為進一步計算我國股票市場風(fēng)險值提供了幫助。

但是，我們僅采用了1年（250天）的歷史數(shù)據(jù)，可能因樣本數(shù)據(jù)不足導(dǎo)致精確度的欠缺。此外，從當(dāng)前文獻可知，不同國家的不同金融工具的衰減因子是有差異的，說明在不同的國家、不同的經(jīng)濟文化背景下對不同的金融產(chǎn)品，其市場記憶長度是有差異的。而對于我們采用的指數(shù)加權(quán)移動平均法（EWMA），是由正態(tài)分布的方差極大似然估計得到的，需要注意到只有當(dāng)收益率序列服從條件正態(tài)分布時，EWMA估計才是最優(yōu)的。希望將來能有更加科學(xué)有效的手段方法來估計最優(yōu)衰減因子。

參考文獻：

[1] J.P Morgan.RiskMetrics Technology Document-Fourth Edition[M]，1996.

[2] 劉廣麗.基于EWMA方法的VaR估計[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2007.

[3] 王繼偉.滬深300指數(shù)的VaR研究[D].開封：河南大學(xué)，2008.

[4] 劉軼芳，遲國泰，余方平，孫韶紅，王玉剛.基于garch-ewma的期貨價格預(yù)測模型[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2006，（1）.

[責(zé)任編輯 杜 娟]

1.均方根誤差準(zhǔn)則

在早一個周期預(yù)測出的，對在時間t+1時，回報rt+1的方差估計，定義為，即在早一個周期對平方回報的期望值。一般地說來，這些結(jié)論對在時間t+j，j≥1做出的任何預(yù)測都是成立的?，F(xiàn)在如果將方差預(yù)測誤差定義為，則會得到預(yù)測誤差的期望為0。基于這一關(guān)系，我們希望選擇最優(yōu)的λ使得平均誤差平方最小。將此應(yīng)用于日方差預(yù)測，這會使下式給出的日均方根預(yù)測誤差（RMSE）最小化。

（9）

在這里，方差的預(yù)測值寫作的顯示函數(shù)，其中T為考慮的預(yù)測區(qū)間長度。在實際上，是通過尋找對應(yīng)于不同λ值的最小RMSE值來得到最優(yōu)的衰減因子，也就是說，尋求產(chǎn)生最佳預(yù)測（即使預(yù)測度量最小化）的衰減因子。此外風(fēng)險矩陣并不評價協(xié)方差預(yù)測的精確性。

2.個體方差估計的加權(quán)

風(fēng)險矩陣具有N個時間序列，而且對每個序列都有一個與之關(guān)聯(lián)的、使方差預(yù)測的均方根誤差最小化的最優(yōu)衰減因子。我們需要對日數(shù)據(jù)組，由N個時間序列計算出一個綜合的最優(yōu)衰減因子。令i表示第i個最優(yōu)衰減因子，并讓i（i=1，2，…，N）表示風(fēng)險矩陣數(shù)據(jù)中的時間序列數(shù)；讓τi表示與i相關(guān)聯(lián)的第i個均方根誤差（RMSE），即τi是第i個時間序列的最小RMSE值?？梢匀缦峦茖?dǎo)出一個綜合的最優(yōu)衰減因子：

（1）求所有N個最小RMSE，的和：

（2）定義相對誤差度量：

（3）定義權(quán)重：

這里

（4）最優(yōu)衰減因子定義為：

（10）

也就是說，由風(fēng)險矩陣采用的最優(yōu)衰減因子是個體最優(yōu)衰減因子的加權(quán)平均，其權(quán)重是個體預(yù)測精度的一種度量。將這一方法運用到日收益率序列，并求得日數(shù)據(jù)組的最優(yōu)衰減因子。

二、最優(yōu)衰減因子的計算

我們選取的樣本為滬深300成分股股票收盤指數(shù)，樣本時間為2012.12.28—2013.12.13，共計250天。對于我們選取的樣本長度，由公式8可知：當(dāng)λ取值為0.85—0.95時，容忍度小于0.001%。根據(jù)摩根技術(shù)文件的經(jīng)驗，λ的取值應(yīng)在0.84—0.99之間。我們利用Matlab軟件，使用柵格法計算每個風(fēng)險因子的最小RMSE值以及相應(yīng)的λ取值；然后，按照2.4.2中的方法計算各個λ值權(quán)重；最后，加權(quán)得出對于中國金融市場的日頻最優(yōu)衰減因子。得出如下結(jié)果：λ=0.9400。由EWMA方法可知λ越小，有效數(shù)據(jù)長度或市場的記憶長度K越短，即市場具有更大的波動性。通過與國際市場的比較，我們可以發(fā)現(xiàn)我國股票市場的波動性是比較大的，這與我們計算的國內(nèi)股票市場最優(yōu)衰減因子為0.94，小于國外股票市場最優(yōu)衰減因子這一結(jié)果相符合。

結(jié)語

本文運用EWMA方法估計收益率方差和RMSE最小化準(zhǔn)則確定最優(yōu)衰減因子，通過計算滬深300成份股股票，得出我國滬深300股票市場的日頻最優(yōu)衰減因子為0.9400，為進一步計算我國股票市場風(fēng)險值提供了幫助。

但是，我們僅采用了1年（250天）的歷史數(shù)據(jù)，可能因樣本數(shù)據(jù)不足導(dǎo)致精確度的欠缺。此外，從當(dāng)前文獻可知，不同國家的不同金融工具的衰減因子是有差異的，說明在不同的國家、不同的經(jīng)濟文化背景下對不同的金融產(chǎn)品，其市場記憶長度是有差異的。而對于我們采用的指數(shù)加權(quán)移動平均法（EWMA），是由正態(tài)分布的方差極大似然估計得到的，需要注意到只有當(dāng)收益率序列服從條件正態(tài)分布時，EWMA估計才是最優(yōu)的。希望將來能有更加科學(xué)有效的手段方法來估計最優(yōu)衰減因子。

參考文獻：

[1] J.P Morgan.RiskMetrics Technology Document-Fourth Edition[M]，1996.

[2] 劉廣麗.基于EWMA方法的VaR估計[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2007.

[3] 王繼偉.滬深300指數(shù)的VaR研究[D].開封：河南大學(xué)，2008.

[4] 劉軼芳，遲國泰，余方平，孫韶紅，王玉剛.基于garch-ewma的期貨價格預(yù)測模型[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2006，（1）.

[責(zé)任編輯 杜 娟]

1.均方根誤差準(zhǔn)則

在早一個周期預(yù)測出的，對在時間t+1時，回報rt+1的方差估計，定義為，即在早一個周期對平方回報的期望值。一般地說來，這些結(jié)論對在時間t+j，j≥1做出的任何預(yù)測都是成立的?，F(xiàn)在如果將方差預(yù)測誤差定義為，則會得到預(yù)測誤差的期望為0。基于這一關(guān)系，我們希望選擇最優(yōu)的λ使得平均誤差平方最小。將此應(yīng)用于日方差預(yù)測，這會使下式給出的日均方根預(yù)測誤差（RMSE）最小化。

（9）

在這里，方差的預(yù)測值寫作的顯示函數(shù)，其中T為考慮的預(yù)測區(qū)間長度。在實際上，是通過尋找對應(yīng)于不同λ值的最小RMSE值來得到最優(yōu)的衰減因子，也就是說，尋求產(chǎn)生最佳預(yù)測（即使預(yù)測度量最小化）的衰減因子。此外風(fēng)險矩陣并不評價協(xié)方差預(yù)測的精確性。

2.個體方差估計的加權(quán)

風(fēng)險矩陣具有N個時間序列，而且對每個序列都有一個與之關(guān)聯(lián)的、使方差預(yù)測的均方根誤差最小化的最優(yōu)衰減因子。我們需要對日數(shù)據(jù)組，由N個時間序列計算出一個綜合的最優(yōu)衰減因子。令i表示第i個最優(yōu)衰減因子，并讓i（i=1，2，…，N）表示風(fēng)險矩陣數(shù)據(jù)中的時間序列數(shù)；讓τi表示與i相關(guān)聯(lián)的第i個均方根誤差（RMSE），即τi是第i個時間序列的最小RMSE值。可以如下推導(dǎo)出一個綜合的最優(yōu)衰減因子：

（1）求所有N個最小RMSE，的和：

（2）定義相對誤差度量：

（3）定義權(quán)重：

這里

（4）最優(yōu)衰減因子定義為：

（10）

也就是說，由風(fēng)險矩陣采用的最優(yōu)衰減因子是個體最優(yōu)衰減因子的加權(quán)平均，其權(quán)重是個體預(yù)測精度的一種度量。將這一方法運用到日收益率序列，并求得日數(shù)據(jù)組的最優(yōu)衰減因子。

二、最優(yōu)衰減因子的計算

我們選取的樣本為滬深300成分股股票收盤指數(shù)，樣本時間為2012.12.28—2013.12.13，共計250天。對于我們選取的樣本長度，由公式8可知：當(dāng)λ取值為0.85—0.95時，容忍度小于0.001%。根據(jù)摩根技術(shù)文件的經(jīng)驗，λ的取值應(yīng)在0.84—0.99之間。我們利用Matlab軟件，使用柵格法計算每個風(fēng)險因子的最小RMSE值以及相應(yīng)的λ取值；然后，按照2.4.2中的方法計算各個λ值權(quán)重；最后，加權(quán)得出對于中國金融市場的日頻最優(yōu)衰減因子。得出如下結(jié)果：λ=0.9400。由EWMA方法可知λ越小，有效數(shù)據(jù)長度或市場的記憶長度K越短，即市場具有更大的波動性。通過與國際市場的比較，我們可以發(fā)現(xiàn)我國股票市場的波動性是比較大的，這與我們計算的國內(nèi)股票市場最優(yōu)衰減因子為0.94，小于國外股票市場最優(yōu)衰減因子這一結(jié)果相符合。

結(jié)語

本文運用EWMA方法估計收益率方差和RMSE最小化準(zhǔn)則確定最優(yōu)衰減因子，通過計算滬深300成份股股票，得出我國滬深300股票市場的日頻最優(yōu)衰減因子為0.9400，為進一步計算我國股票市場風(fēng)險值提供了幫助。

但是，我們僅采用了1年（250天）的歷史數(shù)據(jù)，可能因樣本數(shù)據(jù)不足導(dǎo)致精確度的欠缺。此外，從當(dāng)前文獻可知，不同國家的不同金融工具的衰減因子是有差異的，說明在不同的國家、不同的經(jīng)濟文化背景下對不同的金融產(chǎn)品，其市場記憶長度是有差異的。而對于我們采用的指數(shù)加權(quán)移動平均法（EWMA），是由正態(tài)分布的方差極大似然估計得到的，需要注意到只有當(dāng)收益率序列服從條件正態(tài)分布時，EWMA估計才是最優(yōu)的。希望將來能有更加科學(xué)有效的手段方法來估計最優(yōu)衰減因子。

參考文獻：

[1] J.P Morgan.RiskMetrics Technology Document-Fourth Edition[M]，1996.

[2] 劉廣麗.基于EWMA方法的VaR估計[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2007.

[3] 王繼偉.滬深300指數(shù)的VaR研究[D].開封：河南大學(xué)，2008.

[4] 劉軼芳，遲國泰，余方平，孫韶紅，王玉剛.基于garch-ewma的期貨價格預(yù)測模型[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2006，（1）.

[責(zé)任編輯 杜 娟]