曾會華++徐慶華

[摘 要]褶皺結(jié)構(gòu)是二十世紀九十年代中期最先在國外出現(xiàn)的一種縱向和橫向均呈之字形曲折的異形芯材結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)是一種新的，具有廣泛應(yīng)用前景的飛機結(jié)構(gòu)材料。在航空領(lǐng)域，選擇任何結(jié)構(gòu)都遵循在滿足功能需要時，要求結(jié)構(gòu)重量最輕，褶皺結(jié)構(gòu)也是如此。對V型褶皺芯材夾層板的熱傳導(dǎo)性能構(gòu)建了可用的代理模型，給出了數(shù)值模擬函數(shù)和最輕重量條件下的優(yōu)化設(shè)計方法。

[關(guān)鍵詞]褶皺芯材；夾層結(jié)構(gòu)；代理模型；優(yōu)化設(shè)計

中圖分類號：V229+.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-914X（2014）46-0001-03

引言

在現(xiàn)代飛行器制造業(yè)中，夾層板結(jié)構(gòu)得到了極其廣泛的應(yīng)用。隨著可重復(fù)使用飛行器的發(fā)展，熱防護系統(tǒng)在向著防熱-結(jié)構(gòu)-推進系統(tǒng)一體化設(shè)計的方向發(fā)展，與此同時，整個防熱系統(tǒng)在總起飛重量中所占的重量比例也在降低，而使用溫度升高，即要求防熱結(jié)構(gòu)日趨先進。

褶皺夾芯板由于其特殊構(gòu)型，可設(shè)計性更強，在防熱方面具有很大的潛力。褶皺芯材的構(gòu)型參數(shù)、芯材厚度參數(shù)及面板厚度參數(shù)對褶皺結(jié)構(gòu)傳熱效果影響巨大。由于參數(shù)數(shù)量較多，所以當(dāng)傳熱系數(shù)相同時，完全可以是幾種不同的構(gòu)型組合形式。所以應(yīng)當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)?、最?yōu)化的構(gòu)型參數(shù)來滿足實際的工程需要。

1 V型褶皺芯材夾層板的芯材簡述

褶皺芯材夾層板的芯材多種多樣，最簡單的褶皺芯材是V型褶皺芯材，它是由板（箔）料按有規(guī)律的線系網(wǎng)格（圖1（a））進行局部褶皺而得到的立體構(gòu)型（圖1（b））。褶皺后得到的立體結(jié)構(gòu)單元如圖2所示。它具有4個獨立的參數(shù)：高度（H；Z形線的步長（2S；鋸齒形線的步長（2L；Z形線的折幅（V。

2 褶皺夾層板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題的表述

在航空航天領(lǐng)域，選擇任何結(jié)構(gòu)都遵循在滿足功能需要時，要求結(jié)構(gòu)重量最輕，褶皺結(jié)構(gòu)也是如此。根據(jù)褶皺結(jié)構(gòu)芯材的密度表達式有：

式中：—為單元體芯材的厚度，m；

—為單元體芯材材料的密度，kg/m3；

—為單元體的密度，kg/m3；

所以，當(dāng)芯材的材料和厚度選定時（和確定），芯材的密度與其四個構(gòu)型參數(shù)有一定的函數(shù)關(guān)系。而當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)λeff與四個構(gòu)型參數(shù)沒有明確的函數(shù)表達形式，所以在這里我們用代理模型來構(gòu)建這一關(guān)系。為了更直觀的表述這一問題，設(shè)r為芯材的當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)，m為芯材密度與構(gòu)型參數(shù)有關(guān)部分的比例系數(shù)，所以優(yōu)化的數(shù)學(xué)表達形式為：

約束條件： r =f（H，L，S，V）

目標(biāo)變量：

設(shè)計變量：H，L，S，V

取值范圍： 15mm≤H≤54mm，

15mm≤L≤54mm，

15mm≤S≤54mm，

15mm≤V≤54mm；

這里芯材厚度t==0.1mm，上下面板厚度δ=0.2mm。

3 試驗設(shè)計法

試驗設(shè)計方法是有關(guān)如何合理安排試驗的數(shù)學(xué)方法，它是多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化代理模型的取樣策略，決定了構(gòu)造代理模型所需樣本點的個數(shù)和這些點的空間分布情況。

本文采用拉丁方試驗設(shè)計方法，它是一種修正的蒙特卡羅方法，是應(yīng)用廣泛的現(xiàn)代試驗設(shè)計技術(shù)之一，適用于影響因素較多的情況，可顯著減少試驗規(guī)模。拉丁超立方抽樣是按如下方法選取設(shè)計點的：設(shè)有n個設(shè)計變量，每個變量p個水平。拉丁超立方抽樣將每個設(shè)計變量分為p個區(qū)間，若因均勻分布，則p個區(qū)間等間隔。這樣整個變量空間分成pn個子區(qū)域。遵循下列兩個原則取試驗點。1）樣本點在每個子區(qū)域隨機選取。2）在任一維，即任一變量上的投影有p個區(qū)間，每個區(qū)間有且僅有一個樣本點。下圖為兩因素4水平的拉丁超立方抽樣。

其中，，k為樣本點數(shù)量即試驗次數(shù)，n是設(shè)計變量的個數(shù)，U 為[0 1]之間的隨機數(shù)，為0，1…，k-1獨立隨機排列，有k！種排列。i表示第i次試驗（sample number），j表示第j個變量（dimension index）。從上面可以看出樣本點是隨機的，每次計算結(jié)果都不一樣，但是分布均勻，覆蓋整個設(shè)計空間。

4 響應(yīng)面模型

多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化的代理模型是利用已知點的響應(yīng)信息來預(yù)測未知點響應(yīng)值的一類模型，其實質(zhì)是以一個擬合精度和預(yù)測精度為約束，利用近似方法對離散數(shù)據(jù)進行擬合的數(shù)學(xué)模型。這類模型在數(shù)學(xué)上可以通過擬合與插值來實現(xiàn)，即利用已知點構(gòu)造擬合函數(shù)來預(yù)測未知點響應(yīng)或利用已知點信息插值計算未知點處的響應(yīng)。

4.1 多項式響應(yīng)面模型

多項式響應(yīng)面是多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化中最為常用的一種代理模型，其基本數(shù)學(xué)表達形式如下所示：

式中xi是m維自變量x的第i個分量，是未知參數(shù)，將它們按照一定次序排列，構(gòu)成列向量β，求解多項式擬合模型的關(guān)鍵就是求解向量β。

多項式響應(yīng)面模型具有良好的連續(xù)性和可導(dǎo)性，能較好地去除數(shù)字噪聲的影響，極易實現(xiàn)尋優(yōu)；而且根據(jù)上式中各分量的系數(shù)的大小，可以判斷各項參數(shù)對整個系統(tǒng)響應(yīng)影響的大小。

4.2 Kriging模型

Kriging模型是一種估計方差最小的無偏估計模型，它通過相關(guān)函數(shù)的作用，具有局部估計的特點。Kriging模型假設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)值與自變量之間的真實關(guān)系可以表示成如下的形式：

其中是一個確定性部分，稱為確定性漂移，一般用多項式表示；稱為漲落，它具有如下的統(tǒng)計特性：

上式中的是以c為參數(shù)的相關(guān)函數(shù)，而中常用的核函數(shù)有Gauss函數(shù)：

指數(shù)函數(shù)：

其中dj是表征待測點與樣本點之間距離關(guān)系的量，cj是核函數(shù)在樣本點第j個方向的常數(shù)參量，各個方向cj的值可以相同，也可以不同。

方差為：

其中， 。

由于Kriging模型要求模型的預(yù)測方差最小，所以求解權(quán)系數(shù)w的問題最后就化為求解等式約束下的極值問題。利用拉格讓日乘子法求解得到的最終結(jié)果如下：

最終得

其中，。

Kriging方法具有局部估計的特點，這使其在解決非線性程度較高的問題時比較容易取得理想的擬合效果。另外由于輸入矢量各方向的核函數(shù)的參數(shù)cj可以取不同值，所以Kriging方法既可以用來解決各向同性問題也可以用來解決各向異性問題。5 優(yōu)化算法

優(yōu)化算法選用序列二次規(guī)劃方法（Sequential Quadratic Programming簡記為SQP）。二次規(guī)劃（Quadratic Programming）是指目標(biāo)函數(shù)為二次、約束函數(shù)為線性的非線性規(guī)劃，?？衫米顑?yōu)解的K-T條件出發(fā)構(gòu)造有效的解法。序列二次規(guī)劃方法，將變尺度法用于約束極小化問題，這一方法是在當(dāng)前的迭代點xk處，利用目標(biāo)函數(shù)的二次近似和約束函數(shù)的一次近似構(gòu)成一個二次規(guī)劃，通過求解這一個二次規(guī)劃獲得下一個迭代點xk+1這種將求解非線性規(guī)劃轉(zhuǎn)換為求解一系列二次規(guī)劃的方法，稱為序列二次規(guī)劃方法。

6 褶皺結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計

6.1 褶皺結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的建立

根據(jù)上述的研究方法，4個設(shè)計變量通過用拉丁超立方抽樣進行試驗設(shè)計確定了40個試驗設(shè)計點。應(yīng)用ANSYS進行分析計算，得出與其相對應(yīng)的上表面熱流量，再計算出芯材的當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)，如表1所示：

6.1.1 多項式響應(yīng)面模型

褶皺結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的建立對表1的計算結(jié)果進行二次多項式響應(yīng)面擬合，即可定量分析各參數(shù)對當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)和重量的影響。用拉丁超立方抽樣進行試驗設(shè)計得到二次多項式響應(yīng)面的表達式為：

圖4至11表示了各參數(shù)與r和m的關(guān)系。

從以上各圖中可以看出，r隨H和V的增加而增加，隨L和S的增加而減小，變化規(guī)律和趨勢與第三章的研究一致；而m隨H、L和S的增加而減小，隨V和S的增加而增加，變化規(guī)律由目標(biāo)變量公式可知，也是一致相同的。

多項式響應(yīng)面模型誤差范圍一般在10%～20%之間。雖然有些偏差，但是在前期選型階段，對定性分析、選型來說，這個精度是可以接受的，所以我們可以用上述的二次多項式響應(yīng)面模型公式來定性分析，選擇我們需要的褶皺構(gòu)型參數(shù)。

6.2 Kriging模型的建立

對表1的數(shù)據(jù)建立Kriging模型，可得各個參數(shù)的變化規(guī)律趨勢大致同上。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，Kriging模型精度更高，擬合的更好，更符合計算模型，在一定范圍內(nèi)完全可以替代ANSYS計算的當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)的分析模型。

6.3 褶皺結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果

在Kriging模型建立響應(yīng)面的基礎(chǔ)上，我們利用序列二次規(guī)劃方法進行優(yōu)化設(shè)計，在這里結(jié)合工程實際，構(gòu)型參數(shù)如下：

15mm≤H≤30mm；

15mm≤L≤40mm；

15mm≤S≤50mm；

15mm≤V≤40mm。

約束條件：

r=0.20W/m·℃。

目標(biāo)變量：m=min。

優(yōu)化結(jié)果為：設(shè)計變量H=21.48mm，L=40mm，S=50mm，V=15mm，目標(biāo)變量m=0.52。

將優(yōu)化所得設(shè)計變量代回ANSYS計算得r=0.21 W/m·℃。由目標(biāo)變量公式可知m=0.53。

優(yōu)化結(jié)果表明，代理模型的計算精度完全可以滿足要求。

5 結(jié)束語

對V型褶皺芯材夾層板結(jié)構(gòu)在同一傳導(dǎo)系數(shù)要求下，如何精心設(shè)計、調(diào)整構(gòu)型間的參數(shù)變化，通過設(shè)計優(yōu)化取得比較合適的值使得結(jié)構(gòu)重量最輕，這說明褶皺結(jié)構(gòu)的設(shè)計優(yōu)化是必要的。對V型褶皺芯材夾層板結(jié)構(gòu)而言，還有很多問題有待于進一步深入研究：如綜合考慮外形、結(jié)構(gòu)、強度等要求，實現(xiàn)一體化設(shè)計。

參考文獻

[1] 穆雪峰，多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化代理模型技術(shù)的研究和應(yīng)用[D]，南京：南京航空航天大學(xué)學(xué)報，2004

[2] Simpson，T.W.，Mauery，etal.Comparison of Response Surface and Kriging Models for Multidisciplinary Design Optimization[J].AIAA 98-4755

[3] 陶文銓，數(shù)值傳熱學(xué)，西安交通大學(xué)出版社，2001

作者簡介

曾會華（1980-）：男（漢），江蘇省如東縣人，碩士研究生，廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，主要研究方向為航空材料及飛機故障診斷。

最終得

其中，。

Kriging方法具有局部估計的特點，這使其在解決非線性程度較高的問題時比較容易取得理想的擬合效果。另外由于輸入矢量各方向的核函數(shù)的參數(shù)cj可以取不同值，所以Kriging方法既可以用來解決各向同性問題也可以用來解決各向異性問題。5 優(yōu)化算法

優(yōu)化算法選用序列二次規(guī)劃方法（Sequential Quadratic Programming簡記為SQP）。二次規(guī)劃（Quadratic Programming）是指目標(biāo)函數(shù)為二次、約束函數(shù)為線性的非線性規(guī)劃，常可利用最優(yōu)解的K-T條件出發(fā)構(gòu)造有效的解法。序列二次規(guī)劃方法，將變尺度法用于約束極小化問題，這一方法是在當(dāng)前的迭代點xk處，利用目標(biāo)函數(shù)的二次近似和約束函數(shù)的一次近似構(gòu)成一個二次規(guī)劃，通過求解這一個二次規(guī)劃獲得下一個迭代點xk+1這種將求解非線性規(guī)劃轉(zhuǎn)換為求解一系列二次規(guī)劃的方法，稱為序列二次規(guī)劃方法。

6 褶皺結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計

6.1 褶皺結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的建立

根據(jù)上述的研究方法，4個設(shè)計變量通過用拉丁超立方抽樣進行試驗設(shè)計確定了40個試驗設(shè)計點。應(yīng)用ANSYS進行分析計算，得出與其相對應(yīng)的上表面熱流量，再計算出芯材的當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)，如表1所示：

6.1.1 多項式響應(yīng)面模型

褶皺結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的建立對表1的計算結(jié)果進行二次多項式響應(yīng)面擬合，即可定量分析各參數(shù)對當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)和重量的影響。用拉丁超立方抽樣進行試驗設(shè)計得到二次多項式響應(yīng)面的表達式為：

圖4至11表示了各參數(shù)與r和m的關(guān)系。

從以上各圖中可以看出，r隨H和V的增加而增加，隨L和S的增加而減小，變化規(guī)律和趨勢與第三章的研究一致；而m隨H、L和S的增加而減小，隨V和S的增加而增加，變化規(guī)律由目標(biāo)變量公式可知，也是一致相同的。

多項式響應(yīng)面模型誤差范圍一般在10%～20%之間。雖然有些偏差，但是在前期選型階段，對定性分析、選型來說，這個精度是可以接受的，所以我們可以用上述的二次多項式響應(yīng)面模型公式來定性分析，選擇我們需要的褶皺構(gòu)型參數(shù)。

6.2 Kriging模型的建立

對表1的數(shù)據(jù)建立Kriging模型，可得各個參數(shù)的變化規(guī)律趨勢大致同上。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，Kriging模型精度更高，擬合的更好，更符合計算模型，在一定范圍內(nèi)完全可以替代ANSYS計算的當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)的分析模型。

6.3 褶皺結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果

在Kriging模型建立響應(yīng)面的基礎(chǔ)上，我們利用序列二次規(guī)劃方法進行優(yōu)化設(shè)計，在這里結(jié)合工程實際，構(gòu)型參數(shù)如下：

15mm≤H≤30mm；

15mm≤L≤40mm；

15mm≤S≤50mm；

15mm≤V≤40mm。

約束條件：

r=0.20W/m·℃。

目標(biāo)變量：m=min。

優(yōu)化結(jié)果為：設(shè)計變量H=21.48mm，L=40mm，S=50mm，V=15mm，目標(biāo)變量m=0.52。

將優(yōu)化所得設(shè)計變量代回ANSYS計算得r=0.21 W/m·℃。由目標(biāo)變量公式可知m=0.53。

優(yōu)化結(jié)果表明，代理模型的計算精度完全可以滿足要求。

5 結(jié)束語

對V型褶皺芯材夾層板結(jié)構(gòu)在同一傳導(dǎo)系數(shù)要求下，如何精心設(shè)計、調(diào)整構(gòu)型間的參數(shù)變化，通過設(shè)計優(yōu)化取得比較合適的值使得結(jié)構(gòu)重量最輕，這說明褶皺結(jié)構(gòu)的設(shè)計優(yōu)化是必要的。對V型褶皺芯材夾層板結(jié)構(gòu)而言，還有很多問題有待于進一步深入研究：如綜合考慮外形、結(jié)構(gòu)、強度等要求，實現(xiàn)一體化設(shè)計。

參考文獻

[1] 穆雪峰，多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化代理模型技術(shù)的研究和應(yīng)用[D]，南京：南京航空航天大學(xué)學(xué)報，2004

[2] Simpson，T.W.，Mauery，etal.Comparison of Response Surface and Kriging Models for Multidisciplinary Design Optimization[J].AIAA 98-4755

[3] 陶文銓，數(shù)值傳熱學(xué)，西安交通大學(xué)出版社，2001

作者簡介

曾會華（1980-）：男（漢），江蘇省如東縣人，碩士研究生，廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，主要研究方向為航空材料及飛機故障診斷。

最終得

其中，。

Kriging方法具有局部估計的特點，這使其在解決非線性程度較高的問題時比較容易取得理想的擬合效果。另外由于輸入矢量各方向的核函數(shù)的參數(shù)cj可以取不同值，所以Kriging方法既可以用來解決各向同性問題也可以用來解決各向異性問題。5 優(yōu)化算法

優(yōu)化算法選用序列二次規(guī)劃方法（Sequential Quadratic Programming簡記為SQP）。二次規(guī)劃（Quadratic Programming）是指目標(biāo)函數(shù)為二次、約束函數(shù)為線性的非線性規(guī)劃，?？衫米顑?yōu)解的K-T條件出發(fā)構(gòu)造有效的解法。序列二次規(guī)劃方法，將變尺度法用于約束極小化問題，這一方法是在當(dāng)前的迭代點xk處，利用目標(biāo)函數(shù)的二次近似和約束函數(shù)的一次近似構(gòu)成一個二次規(guī)劃，通過求解這一個二次規(guī)劃獲得下一個迭代點xk+1這種將求解非線性規(guī)劃轉(zhuǎn)換為求解一系列二次規(guī)劃的方法，稱為序列二次規(guī)劃方法。

6 褶皺結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計

6.1 褶皺結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的建立

根據(jù)上述的研究方法，4個設(shè)計變量通過用拉丁超立方抽樣進行試驗設(shè)計確定了40個試驗設(shè)計點。應(yīng)用ANSYS進行分析計算，得出與其相對應(yīng)的上表面熱流量，再計算出芯材的當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)，如表1所示：

6.1.1 多項式響應(yīng)面模型

褶皺結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的建立對表1的計算結(jié)果進行二次多項式響應(yīng)面擬合，即可定量分析各參數(shù)對當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)和重量的影響。用拉丁超立方抽樣進行試驗設(shè)計得到二次多項式響應(yīng)面的表達式為：

圖4至11表示了各參數(shù)與r和m的關(guān)系。

從以上各圖中可以看出，r隨H和V的增加而增加，隨L和S的增加而減小，變化規(guī)律和趨勢與第三章的研究一致；而m隨H、L和S的增加而減小，隨V和S的增加而增加，變化規(guī)律由目標(biāo)變量公式可知，也是一致相同的。

多項式響應(yīng)面模型誤差范圍一般在10%～20%之間。雖然有些偏差，但是在前期選型階段，對定性分析、選型來說，這個精度是可以接受的，所以我們可以用上述的二次多項式響應(yīng)面模型公式來定性分析，選擇我們需要的褶皺構(gòu)型參數(shù)。

6.2 Kriging模型的建立

對表1的數(shù)據(jù)建立Kriging模型，可得各個參數(shù)的變化規(guī)律趨勢大致同上。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，Kriging模型精度更高，擬合的更好，更符合計算模型，在一定范圍內(nèi)完全可以替代ANSYS計算的當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)的分析模型。

6.3 褶皺結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果

在Kriging模型建立響應(yīng)面的基礎(chǔ)上，我們利用序列二次規(guī)劃方法進行優(yōu)化設(shè)計，在這里結(jié)合工程實際，構(gòu)型參數(shù)如下：

15mm≤H≤30mm；

15mm≤L≤40mm；

15mm≤S≤50mm；

15mm≤V≤40mm。

約束條件：

r=0.20W/m·℃。

目標(biāo)變量：m=min。

優(yōu)化結(jié)果為：設(shè)計變量H=21.48mm，L=40mm，S=50mm，V=15mm，目標(biāo)變量m=0.52。

將優(yōu)化所得設(shè)計變量代回ANSYS計算得r=0.21 W/m·℃。由目標(biāo)變量公式可知m=0.53。

優(yōu)化結(jié)果表明，代理模型的計算精度完全可以滿足要求。

5 結(jié)束語

對V型褶皺芯材夾層板結(jié)構(gòu)在同一傳導(dǎo)系數(shù)要求下，如何精心設(shè)計、調(diào)整構(gòu)型間的參數(shù)變化，通過設(shè)計優(yōu)化取得比較合適的值使得結(jié)構(gòu)重量最輕，這說明褶皺結(jié)構(gòu)的設(shè)計優(yōu)化是必要的。對V型褶皺芯材夾層板結(jié)構(gòu)而言，還有很多問題有待于進一步深入研究：如綜合考慮外形、結(jié)構(gòu)、強度等要求，實現(xiàn)一體化設(shè)計。

參考文獻

[1] 穆雪峰，多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化代理模型技術(shù)的研究和應(yīng)用[D]，南京：南京航空航天大學(xué)學(xué)報，2004

[2] Simpson，T.W.，Mauery，etal.Comparison of Response Surface and Kriging Models for Multidisciplinary Design Optimization[J].AIAA 98-4755

[3] 陶文銓，數(shù)值傳熱學(xué)，西安交通大學(xué)出版社，2001

作者簡介

曾會華（1980-）：男（漢），江蘇省如東縣人，碩士研究生，廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，主要研究方向為航空材料及飛機故障診斷。