肖亞男 薛亞奎

（中北大學(xué)理學(xué)院，山西 太原 030051）

0 引言

傳染病是由各種病原體(大部分是微生物，小部分為寄生蟲)引起的能在人與人、動(dòng)物與動(dòng)物或人與動(dòng)物之間相互傳播的一類疾病。一直以來，傳染病的流行就是人類生存的大敵，其中媒介傳染病是很常見的一種。由于傳染病不能采取實(shí)驗(yàn)形式進(jìn)行研究，通過建立傳染病動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行理論性定量研究就顯得至關(guān)重要，近年來得到了許多顯著成果并對(duì)傳染病的防治起到了重要的作用[1-2]。本文建立了一類宿主具有垂直傳染的媒介傳染病模型，給出了決定疾病是否爆發(fā)的閾值—基本再生數(shù)，并對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，最后通過Matlab進(jìn)行了數(shù)值模擬，以圖形的形式給出平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的說明。

1 動(dòng)力學(xué)模型

考慮宿主為具有垂直傳染和預(yù)防接種的SIR模型，假設(shè)染病媒介叮咬易感人群使人患病，而易感媒介通過叮咬染病人群而被感染。將人口分為易感類、染病者類和康復(fù)類，用SH(t),IH(t),RH(t)分別表示t時(shí)刻的易感，染病，康復(fù)類的人群數(shù)量，NH(t)=SH(t)+IH(t)+RH(t)。假設(shè)不考慮因病死亡，用b和b′分別表示非染病者（S+R）和染病者I的出生率系數(shù)；d和d′是相應(yīng)的死亡率系數(shù)，γ表示染病者的康復(fù)率，q是垂直傳染率(p+q=1)，m是對(duì)易感者和康復(fù)者的新生兒進(jìn)行預(yù)防接種的比例。對(duì)于媒介，分為易感，感染兩類，用SV(t),IV(t)分別表示t時(shí)刻的易感、染病媒介的數(shù)量，NV(t)=SV(t)+IV(t)。μ是媒介的出生和死亡率系數(shù)。β1表示染病媒介對(duì)易感人群的感染率系數(shù)，βV表示染病人群對(duì)易感媒介的感染率。假設(shè)康復(fù)者終身免疫該疾病，令b=b′,d=d′，根據(jù)倉(cāng)室模型思想可以得到如下傳染病動(dòng)力學(xué)模型：

易知{SH,IH,IV∈∶0≤SH,IH,IV≤1}是式（2）的一個(gè)正向不變集。

2 再生數(shù)的表達(dá)式和平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)（2）總存在無病平衡點(diǎn)E0=(1-m,0,0)。由傳染病動(dòng)力學(xué)知識(shí)，令基本再生數(shù) R0=。基本再生數(shù)表示在發(fā)病初期，當(dāng)所有人均為易感者時(shí)，一個(gè)病人在患病期間內(nèi)所傳染的人數(shù)[3-4]。關(guān)于無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性我們有以下的結(jié)論：

定理一 對(duì)于系統(tǒng)（2），當(dāng)R0＜1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的。

證明 該系統(tǒng)在無病平衡點(diǎn)E0的雅可比矩陣為

其對(duì)應(yīng)的特征方程(λ+b)[λ2+(μ+pb′+γ)λ+μ(pb′+γ)-β1β2]=0

令 f(λ)=λ2+a1λ+a2，a1=μ+pb′+γ，a2=μ(pb′+γ)-β1β2，當(dāng) R0＜1 時(shí)，a1＞0,a2＞0。根據(jù)Hurwitz判據(jù)[5],特征方程的根均有負(fù)實(shí)部，則無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的。

定理二 對(duì)于系統(tǒng)（2），當(dāng)R0＞1時(shí)，存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*。

證明 求模型（2）的地方病平衡點(diǎn)E*。 將代入模型（2）中得

當(dāng) R0＞1 時(shí)，＞0，即系統(tǒng)（2）存在唯一的地方病平衡點(diǎn)。

定理三 對(duì)于系統(tǒng)（2），當(dāng)R0＞1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。

證明 該系統(tǒng)在地方病平衡點(diǎn)E*的雅可比矩陣為對(duì)應(yīng)的特征方程為

令 p(λ)=λ3+a1λ2+a2λ+a3，其中+μ+b，a2=(pb′+γ)bβ1β2S+μ)[b(1-m)+γ]。 顯然 a1＞0，也容易證明 Hk＞0,k=

2,3。 根據(jù) Hurwitz判據(jù)[2]，p(λ)=0 的根均具有負(fù)實(shí)部。 從而系統(tǒng)（2）在地方病平衡點(diǎn)處是局部漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值模擬

從數(shù)值角度出發(fā)，以圖形的形式給出平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的說明。圖1中仿真所用參數(shù)的對(duì)應(yīng)數(shù)值為 b=0.08,b′=0.02,μ=0.6,β1=0.034,β2=0.065,γ=0.045,m=0.7,p=0.3,則 R0=0.1472＜1。圖 2 中仿真所用參數(shù)的對(duì)應(yīng)數(shù)值為 b=0.08,b′=0.02,μ=0.6,β1=0.36,β2=0.28, γ=0.08,m=0.6,p=0.28,則 R0=0.8860＜1，疾病消亡。

圖 3 中仿真所用參數(shù)的對(duì)應(yīng)數(shù) b=0.08,b′=0.02,μ=0.6,β1=0.36,β2=0.28,γ=0.045,m=0.6,p=0.08,則 R0=1.2009＞1。 圖 4 中仿真所用參數(shù)的對(duì)應(yīng)數(shù)值為 b=0.08,b′=0.02,μ=0.6,β1=0.76,β2=0.55,γ=0.0032,m=0.0008,p=0.0004,則 R0=14.7864＞1，疾病流行。