鄭偉范， 張繼業(yè)

（西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都，610031）

具有無窮時(shí)滯高階模糊Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性

鄭偉范， 張繼業(yè)

（西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都，610031）

利用M矩陣?yán)碚摵途仃嚥坏仁健⑹噶縇yapunov函數(shù)法，研究了一類具有無窮時(shí)滯的高階模糊Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性.在不要求神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)的單調(diào)遞增性、可微性及Lipschitz連續(xù)等假設(shè)條件下，得到了該類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)的存在性和唯一性，以及全局指數(shù)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù).該判據(jù)為M矩陣的顯式形式，與系統(tǒng)的時(shí)間滯后以及反應(yīng)擴(kuò)散無關(guān)，易于在應(yīng)用中進(jìn)行檢驗(yàn).最后，通過仿真算例，驗(yàn)證了該方法的正確性和有效性.

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；時(shí)間滯后；穩(wěn)定性；M矩陣

自1983年M.A.Cohen與S.Grossberg提出可用于聯(lián)想記憶與并行計(jì)算的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以來［1］，由于其較好的學(xué)習(xí)和非線性逼近能力，可以應(yīng)用于解決模式分類、圖像處理、線性規(guī)劃、信號(hào)處理以及復(fù)雜優(yōu)化問題等，使得Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到了深入的研究和廣泛應(yīng)用.然而，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的這些應(yīng)用依賴于其動(dòng)力學(xué)行為，如穩(wěn)定性行為等.如對(duì)于聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)具有多個(gè)與需要存儲(chǔ)的記憶模式對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)，且這些平衡點(diǎn)都是穩(wěn)定的.而用于優(yōu)化計(jì)算的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在理想情況下是有且只有一個(gè)全局穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，且其平衡點(diǎn)一般對(duì)應(yīng)于具有物理意義的某一最優(yōu)途徑.因此，構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的目的是通過網(wǎng)絡(luò)解的漸進(jìn)性，使其趨于平衡點(diǎn)，從而找到最優(yōu)途徑［2］.通常情況下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)是事先不知道的.平衡點(diǎn)的存在性成為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重要問題之一，且也是穩(wěn)定性研究的前提.因此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用之前均需要分析其網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，已有許多文獻(xiàn)討論了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的定性行為［3-14］.一般來說，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型由積分-微分等數(shù)學(xué)方程表示.而用數(shù)學(xué)模型來表示現(xiàn)實(shí)世界問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)碰到諸如復(fù)雜性、不確定性和模糊性等問題.為了考慮實(shí)際的不確定性和模糊性，Yang T.等人首先將模糊邏輯引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中［15］，隨后出現(xiàn)了大量考慮模糊性對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)定性行為的影響結(jié)果，如文獻(xiàn)［13，16］討論的結(jié)果.

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際設(shè)計(jì)過程，以及VLSI（very large scale integration）的硬件實(shí)現(xiàn)過程中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常由于存在不同大小和長(zhǎng)度的神經(jīng)軸突組成的并行路徑而具有空間特性，由于電子擴(kuò)散或信號(hào)傳輸延遲等的存在，沿并行路徑的傳播并不是即時(shí)完成的，因而導(dǎo)致系統(tǒng)存在連續(xù)分布的時(shí)間滯后.從系統(tǒng)狀態(tài)變化來看，即時(shí)間滯后導(dǎo)致當(dāng)前狀態(tài)會(huì)受到之前狀態(tài)的影響；可能會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)的整個(gè)歷史狀態(tài)會(huì)影響當(dāng)前的狀態(tài)，這樣的時(shí)間滯后即為無窮時(shí)滯的情況［4，6-7，9，14，16］.而由于時(shí)間滯后的引入會(huì)很大程度地影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定［3-4］，因而有必要對(duì)具有無窮時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析.最近的一些文章得到了一些具有時(shí)間滯后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的定性分析結(jié)果，如文獻(xiàn)［3-4］研究了具有時(shí)變時(shí)滯的一階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)［6］研究了具有時(shí)變時(shí)滯和無窮時(shí)滯的一階模糊Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性；文獻(xiàn)［7］在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮反應(yīng)擴(kuò)散的影響，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)果.

與一階等低階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)比較起來，高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［5］具有逼近能力強(qiáng)、收斂速度快、存儲(chǔ)能力大及容錯(cuò)性高等特點(diǎn)，使得高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的研究受到廣泛關(guān)注［8-14］.文獻(xiàn)［8］研究了具有時(shí)變時(shí)滯高階聯(lián)想記憶的Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的穩(wěn)定性，但在高階項(xiàng)中不含有時(shí)變時(shí)滯；文獻(xiàn)［9］考慮了離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的影響，研究了具有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)［10，14］分別研究了具有時(shí)變時(shí)滯和S型無窮時(shí)滯的Hopfield型高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，得到了指數(shù)穩(wěn)定的判據(jù)；文獻(xiàn)［11-12］研究了具有時(shí)變時(shí)滯的高階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)［13］研究了具有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)、時(shí)變時(shí)滯項(xiàng)和隨機(jī)影響的高階模糊Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步條件；不僅如此，文獻(xiàn)［16］進(jìn)一步考慮了脈沖、隨機(jī)性，以及反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，針對(duì)一階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，研究了具有時(shí)變時(shí)滯和無窮時(shí)滯的模糊Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，得到了指數(shù)穩(wěn)定性的判據(jù).

綜上所述，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)于一階的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，考慮了無窮時(shí)滯影響的穩(wěn)定性判據(jù)結(jié)果已經(jīng)比較多，但是對(duì)于高階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)研究的文獻(xiàn)多數(shù)考慮了時(shí)變時(shí)滯的影響，較少考慮無窮時(shí)滯的影響.本文在文獻(xiàn)［3-4，6-7，16］等具有無窮時(shí)滯的一階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性結(jié)果的基礎(chǔ)上，考慮無窮時(shí)滯對(duì)高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響，討論帶有反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的具有無窮時(shí)滯的高階模糊Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)的存在性及其全局穩(wěn)定性，在不要求神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)增或全局Lipschitz連續(xù)等條件，只需在滿足上確界條件的情況下，利用M矩陣?yán)碚?、矩陣不等式，矢量Lyapunov函數(shù)法，得到了該類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.得到的結(jié)果獨(dú)立于系統(tǒng)的時(shí)間滯后，推廣了現(xiàn)有文獻(xiàn)的一些結(jié)果.

1 基本模型及假設(shè)

結(jié)合無窮時(shí)間滯后，模糊和反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的影響，本文考慮如下微分-積分方程描述的具有無窮時(shí)滯的高階模糊Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

式中：ui為第i個(gè)神經(jīng)元的狀態(tài)變量；n為神經(jīng)元的個(gè)數(shù)，i＝1，2，…，n；aij為常數(shù)，j＝1，2，…，n；Dil（t，x，ui（t，x））≥0為反應(yīng)擴(kuò)散函數(shù)；xl為空間變量，l＝1，2，…，m；A＝（aij）n×n為一階連接權(quán)矩陣；為模糊反饋項(xiàng)連接權(quán)系數(shù)；J＝（J1，J2，…，Jn）T為輸入向量；f（u）＝（f1（u1），f2（u2），…，fn（un））T，g（u）＝（g1（u1），g2（u2），…，gn（un））T和h（u）＝（h1（u1），h2（u2），…，hn（un））T為神經(jīng)元激活函數(shù)；“∧”和“∨”分別為模糊邏輯中的“與”和“或”操作；di（ui）為系統(tǒng)的放大函數(shù)；ρi（ui）為保持系統(tǒng)（1）有界的適當(dāng)行為函數(shù)；τij（t）和τik（t）為有界的時(shí)變時(shí)滯函數(shù)，0≤τij（t），τik（t）≤τ，其中，i，j，k＝1，2，…，n；核函數(shù)kij∶［0，∞）→［0，∞）為［0，∞）上的分段連續(xù)函數(shù)，令k＝（kij）n×n，包含該核函數(shù)的無窮積分項(xiàng)表示無窮時(shí)間滯后.

系統(tǒng)（1）的核函數(shù)需要滿足假設(shè)A和B：

假設(shè)Ai，j＝1，2，…，n.

假設(shè)B＋∞，i，j＝1，2，…，n，β≥0.

為了研究系統(tǒng)（1）的指數(shù)穩(wěn)定性，進(jìn)一步要求核函數(shù)滿足如下包含了假設(shè)A和B［4］的假設(shè)C：

假設(shè)C…，n.這里的Nij（β）是［0，δ），δ＞0上的連續(xù)函數(shù)，且Nij（0）＝1.方程（1）的初始條件為ui（s）＝φi（s），s≤0，φi在（－∞，0］上有界連續(xù).方程（2）是方程（1）的邊界條件，其中是光滑邊界的一個(gè)緊集，且mes Ω＞0，?Ω是Ω的邊界，t∈I＝［0，＋∞）.

因此，系統(tǒng)（3）與（1）具有相同的穩(wěn)定性特性.對(duì)系統(tǒng)（1）的激活函數(shù)和放大函數(shù)，作如下假設(shè)：

假設(shè)D對(duì)于任意j∈｛1，2，…，n｝，fj∶R→R，gj∶R→R和hj∶R→R，存在實(shí)數(shù)pj＞0，qj＞0，rj＞0，Mi＞0，使得激活函數(shù)滿足Lipschitz常數(shù)的上確界，即

其中Mk為假設(shè)D中定義的常數(shù).

假設(shè)E對(duì)任意i∈｛1，2，…，n｝，ei∶R→R是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，即存在一個(gè)正的對(duì)角矩陣ˉρ＝diag（ρ1，ρ2，…，ρn）使得下式成立：

［ρi（u）－ρi（v）］／（u－v）≥ρi， u≠v.

假設(shè)F對(duì)任意i∈｛1，2，…，n｝，di∶R→R是連續(xù)函數(shù)，且0＜σi≤di，其中σi為常數(shù).

假設(shè)G（文獻(xiàn)［10］的假設(shè)2及注釋2） 對(duì)任意，且與激活函數(shù)獨(dú)立.

2 平衡點(diǎn)的存在性與唯一性

本節(jié)利用M矩陣、不等式、同胚映射等理論方法，討論神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)的存在性與唯一性.為方便討論，引入如下的一些定義及引理.

定義1［4］對(duì)于系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)u*（t），如果存在常數(shù)λ＞0和η＞0，使得對(duì)所有t＞0，式

成立,，則稱系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)為全局指數(shù)穩(wěn)定的.

定義2［17］實(shí)矩陣A＝（aij）稱為M矩陣，如果aij≤0，i，j＝1，2，…，n，i≠j，aii＞0且A的所有主子式為正.

n

則由于?u*i／?x＝0，系統(tǒng)（4）與（3）具有相同的平衡點(diǎn).因此，系統(tǒng)（4）與（1）具有相同的平衡點(diǎn).

首先考察與系統(tǒng)（1）相關(guān)的如下非線性映射：

令H（u）＝（H1（u1），H2（u2），…，Hn（un））T，則系統(tǒng)（5）與系統(tǒng)（1）具有相同的平衡點(diǎn)，即H（u）＝0的解是系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn).如果映射H（u）＝0是Rn上的同胚映射，則系統(tǒng)（1）具有唯一的平衡點(diǎn)u*［2］.下面討論保證H（u）＝0為同胚映射的條件.

引理1［4］如果H（u）∈C0滿足如下兩個(gè)條件，則H（u）是Rn上的同胚映射.

（1）H（u）是Rn上的單射；（2）當(dāng)時(shí)

引理2［15］假設(shè)x與y是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）的兩個(gè)狀態(tài)變量，則

引理3［8］對(duì)于平衡點(diǎn)u*＝（u1*，u2*，…，u*）T，且g∶R→R連續(xù)可微，則有下式成立：

ni

式中：ξk位于uk與uk之間.

因此，由引理2和引理3，可得如下引理：

引理4假設(shè)x與y是系統(tǒng)（1）的兩個(gè)狀態(tài)變量，則由引理2和引理3可得：

定理1 設(shè)高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）的滿足假設(shè)D、E、F和G，如果

證明 為了證明對(duì)任意的輸入J，高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）存在唯一平衡點(diǎn)u*，只需證明H（u）是Rn上的同胚映射.如下分兩步證明.

步驟1 首先證明上述引理1中的條件（1）成立.如果該條件不成立，則存在不相等的狀態(tài)標(biāo)量x≠y，x，y∈Rn使得H（x）＝H（y）.

使得ρi（xi）－ρi（yi）＝βi（xi－yi）對(duì)于任意i＝1，2，…，n成立.由方程式（5）可得：

再由假設(shè)D、E、F和G，可得如下不等式成立：

由引理2和4，可得如下不等式成立：

式中：En為單位矩陣.

通過計(jì)算

由式（9）及Schwartz不等式，可得

由上述兩個(gè)步驟的證明，根據(jù)引理1，對(duì)于任意輸入J，H（u）是Rn上的同胚.因此，高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）存在唯一的平衡點(diǎn)u*.

證畢.

3 平衡點(diǎn)的全局指數(shù)穩(wěn)定性

本節(jié)利用矩陣不等式、矢量Lyapunov方法，分析高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）的全局指數(shù)穩(wěn)定性.

定理2設(shè)系統(tǒng)（1）的滿足假設(shè)D、E、F和G，如果為M矩陣，則對(duì)任意的輸入J，高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）存在的唯一平衡點(diǎn)為指數(shù)穩(wěn)定的.

證明 由于α為M矩陣，由定理1可知，高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）存在唯一平衡點(diǎn)u*.令z（t）＝u（t）－u*，設(shè)

則高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（1）可寫為如下形式，

其中：

根據(jù)假設(shè)D以及假設(shè)G，可得：

式中：＃＝1，2.

方程（11）的初始條件為ψ（s）＝φ（s）－u*，s≤0，且z＝0為其平衡點(diǎn).因此，根據(jù)假設(shè)D，可得：

由假設(shè)F可知，0≤σi≤di（zi（t）＋u*i）.顯然可得di（zi（t）＋u*i）／σi≥1.

因此，存在常數(shù)λ＞0，使得如下不等式成立，

式中：τ是系統(tǒng)（1）滿足假設(shè)條件的常數(shù).

由式（11）和（14），根據(jù)假設(shè)D和G、引理4、邊界條件（2）以及mes Ω＞0，可得計(jì)算如下：

其中：η＝（1＋δ）ξmax／ξmin，易見η＞1.由指數(shù)穩(wěn)定的定義1，高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（11）的零解是全局指數(shù)穩(wěn)定的，即對(duì)應(yīng)的高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.證畢.

注1本文中的激活函數(shù)只需滿足假設(shè)D引入的Lipschitz常數(shù)的上確界，該條件不要求激活函數(shù)可微性、單調(diào)遞增性和Lipschitz連續(xù)，擴(kuò)展了系統(tǒng)的應(yīng)用范圍.因此，分段線性和S型激活函數(shù)都是滿足假設(shè)D的激活函數(shù)的特殊情況.

注2上述結(jié)果包含了最近一些文獻(xiàn)的研究結(jié)果.如果二階激活函數(shù)，則系統(tǒng)（1）成為一般的模糊Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，如文獻(xiàn)［7］中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)；進(jìn)一步如果反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)為零，即Di（t，x，ui）＝0，則系統(tǒng)（1）如文獻(xiàn)［6］中討論的系統(tǒng)一樣.進(jìn)一步如果放大函數(shù)di（ui）為零，則系統(tǒng)為文獻(xiàn)［15，2-4］研究的一般意義上的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).

注3 若取無窮時(shí)滯項(xiàng)系數(shù)c（ijk1）＝0與c（ijk2）＝0，則高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)成為不含無窮時(shí)滯，而只含有時(shí)變時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，如文獻(xiàn)［8，11-13］中系統(tǒng)一致，換句話說，上述文獻(xiàn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)只是本文研究系統(tǒng)的特殊情況.因而，本文的結(jié)論都可以應(yīng)用于這些文獻(xiàn)的系統(tǒng).

注4 如果同時(shí)取反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)為零，即Di（t，x，ui）＝0，無窮時(shí)滯項(xiàng)系數(shù)c（ijk1）＝0與c（ijk2）＝0，且di（ui（t））＝1，則系統(tǒng)變?yōu)槲墨I(xiàn)［10］研究的具有時(shí)變時(shí)滯的Hopfield型高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)；因此，本文的結(jié)果也可以應(yīng)用于Hopfield型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的情況.

4 算 例

例1 考慮如下三維無窮時(shí)滯模糊高階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，即對(duì)于系統(tǒng)（1），取n＝3；m＝1；i，j，k＝1，2，3.其余參數(shù)與取值如下：

假設(shè)系統(tǒng)的模糊關(guān)聯(lián)矩陣分別如下：

可以計(jì)算得到

由定義2知α為M矩陣，由定理2知，具有上述參數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）存在唯一穩(wěn)定平衡點(diǎn)，且是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

由此可知，算例1的高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)若不考慮模糊的影響，取無窮時(shí)滯項(xiàng)為0，反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)為零，以及放大系數(shù)di（ui（t））＝1時(shí)，則系統(tǒng)為文獻(xiàn)［10］的算例1表示的高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（用其文獻(xiàn)中的D（1）i為本文系統(tǒng)（1）中的c（1）i＝c（2）i），然而用該文獻(xiàn)中的方法則不能得到本文系統(tǒng)（1）的判定；而且，本文得到的判據(jù)更直觀，而不是LMI方法得到的隱性判據(jù)，應(yīng)用中便于檢驗(yàn).

5 結(jié) 論

高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，與一階等低階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)相比，具有更快的收斂速度、更強(qiáng)的逼近能力、更大的存儲(chǔ)能力及更高的容錯(cuò)性等優(yōu)點(diǎn)，使其成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn).本文主要基于M矩陣?yán)碚摚约胺汉呃碚?，不要求高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的激活函數(shù)具有單調(diào)遞增性、可微性及Lipschitz連續(xù)性等條件，只需滿足Lipschitz常數(shù)的上確界的條件下，研究了一類具有無窮時(shí)滯的模糊高階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)的存在條件.進(jìn)一步利用M矩陣?yán)碚?、矩陣不等式方法、矢量Lyapunov函數(shù)法相關(guān)理論，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，引入適當(dāng)?shù)那€，得到了該類模糊高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件.得到的代數(shù)判據(jù)推廣了現(xiàn)有大多數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，如含有模糊項(xiàng)、不含模糊項(xiàng)細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以及一階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性結(jié)果.該判據(jù)獨(dú)立于系統(tǒng)的時(shí)間滯后，而且是顯式判據(jù)，便于在應(yīng)用中檢驗(yàn).仿真算例結(jié)果驗(yàn)證了結(jié)論的正確性和有效性.得到的判據(jù)與反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)無關(guān)，沒有體現(xiàn)反應(yīng)擴(kuò)散的影響，具有一定的保守性，下一步可以進(jìn)一步研究反應(yīng)擴(kuò)散相關(guān)的模糊高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性.

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（中文編輯：唐 晴 英文編輯：周 堯）

Stability of High Order Fuzzy Cohen-Grossberg Neural Networks with Unbounded Time Delays

ZHENG Weifan， ZHANG Jiye
（State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

Using M-matrix theory，matrix inequality and vector Lyapunov methods，the global exponential stability of a class of high-order fuzzy Cohen-Grossberg neural networks with unbounded time delays was investigated.Without assuming the monotonicity，differentiability and Lipschitz continuity of the active functions，the algebraic criteria ensuring existence，uniqueness and exponential stability of the equilibrium point in the neural networks were obtained.The criteria is independent to the reaction diffusion and the time delays of neural networks by the explicit form of M-matrix，and easy to be checked in application.Finally，the correctness and validity of the methods was verified by a numerical example.

neural networks；time delays；stability；M-matrix

TP183

：A

0258-2724（2014）06-1052-09

10.3969／j.issn.0258-2724.2014.06.017

2013-08-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11172247，61273021，61100118，61373009）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（SWJTU11BR091）；四川省科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目（2013GZX0166）

鄭偉范（1973－），男，講師，研究方向?yàn)樯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)、復(fù)雜系統(tǒng)穩(wěn)定性與控制、交通信息工程與控制，E-mail：wfzheng＠swjtu.edu.cn

鄭偉范，張繼業(yè).具有無窮時(shí)滯高階模糊Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，49（6）：1052-1060.