（1.天津大學(xué)土木工程系，天津300072；2.濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室（天津大學(xué)），天津300072）

層狀場地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下三維地震響應(yīng)分析

巴 振 寧1，2，梁 建 文1，2

（1.天津大學(xué)土木工程系，天津300072；2.濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室（天津大學(xué)），天津300072）

采用以移動斜線荷載動力格林函數(shù)為基本解的2.5維間接邊界元方法求解了層狀場地中凹陷地形對斜入射Rayleigh波的三維散射問題。方法將總波場分解為自由波場和散射波場，自由波場是通過將層狀場地三維精確動力剛度矩陣行列式取為零形成頻散方程，采用搜索迭代方法求得頻散曲線，進(jìn)而求得自由波場。散射波場則通過施加在凹陷表面各離散斜線單元上的虛擬移動均布斜線荷載產(chǎn)生的動力響應(yīng)來模擬，虛擬荷載的密度可通過凹陷表面的零應(yīng)力邊界條件建立方程求得。通過與二維散射結(jié)果的比較驗證了方法正確性，并以均勻場地和基巖上單一土層場地中凹陷地形為模型，分別在頻率和時域內(nèi)進(jìn)行了計算分析，研究了Rayleigh波斜入射下凹陷地形周圍三維散射的基本規(guī)律。研究表明凹陷地形對Rayleigh波的三維散射取決于凹陷的界面形狀、斜入射角度、入射頻率以及層狀場地的頻散和多模態(tài)特性，層狀場地中存在Rayleigh的高階模態(tài)在某些頻率處的位移幅值會顯著大于其他模態(tài)及均勻場地位移幅值的現(xiàn)象。

凹陷地形；Rayleigh波；三維散射；層狀場地；格林函數(shù)

引 言

局部地形對地震動的幅值及其空間分布有著顯著影響，這已在多次的強(qiáng)震觀測和震害調(diào)查中得以證實。同時近年來在中國長大橋梁、超高大壩及高速鐵路等大型重要工程不斷涌現(xiàn)，其中許多工程位于場地條件復(fù)雜的高烈度地震區(qū)，這些工程的規(guī)劃建設(shè)及抗震設(shè)防亟需精確可靠的設(shè)計地震動參數(shù)，因此研究局部地形對地震動的影響有著顯著的理論意義和工程參考價值。

凹陷地形作為常見的局部地形，其對地震波的散射問題是一直是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點問題，自Trifunac［1］開創(chuàng)性地給出了凹陷地形對SH波的散射解析解后，諸多學(xué)者針對該問題進(jìn)行了研究?，F(xiàn)有研究包括凹陷地形對SH波的二維平面外散射［1-4］，凹陷地形對P，SV和Rayleigh波的二維平面內(nèi)散射［5-14］，二維凹陷地形對斜入射地地震波的三維散射［15-19］和三維凹陷地形對地震波的散射［20-24］。

地震波包括在地球內(nèi)部傳播的體波（SH，P和 SV）和沿地表傳播的面波。對于遠(yuǎn)場，相對于體波，面波振幅較大，波長較長，攜帶能量較多，是造成震害的主要原因。然而分析以上文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，關(guān)于凹陷地形對地震波散射的研究主要是針對體波，關(guān)于面波散射的研究非常有限，尤其是層狀場地Rayleigh波的傳播存在頻散和多模態(tài)特性，目前鮮有研究，僅文獻(xiàn)［6］針對層狀場地中凹陷地形對Rayleigh波的二維散射給出了少量結(jié)果，關(guān)于層狀場地中凹陷地形對斜入射Rayleigh波的三維散射，則至今未有研究。

針對上述問題，本文考慮天然土體成層特性，同時考慮Rayleigh波斜入射下凹陷地形的三維地震反應(yīng)特性，在文獻(xiàn)［25］給出層狀場地三維精確動力剛度矩陣的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)層狀半空間中移動斜線荷載動力格林影響函數(shù)，并以該格林函數(shù)為基本解，建立一種新的2.5維間接邊界元方法求解了層狀場地中凹下地形對斜入射Rayleigh波的三維散射。該方法的特色在于荷載可直接加在邊界上而不會引起奇異性，保證了該方法的精度及對復(fù)雜邊界條件的適應(yīng)性，同時采用層狀半空間動力格林函數(shù)，求解當(dāng)中無須離散自由地表和土層交界面，最大限度降低了求解的自由度。

1 計算模型和相應(yīng)公式

如圖1所示，截面形狀沿y軸保持不變的無限長凹陷地形位于層狀半空間中。層狀半空間有任意層相互平行的水平土層和下臥彈性基巖組成。入射波為Rayleigh面波，相速度速為ca，圓頻率為ω，入射方向與y軸成夾角為ψ（ψ=90°為垂直入射，對應(yīng)二維散射情況）。在隨時間簡諧變化的Rayleigh波斜入射下，由于入射方向與凹陷地形軸線不垂直，凹陷地形周圍的地震反應(yīng)是三維的，但該三維地震反應(yīng)在凹陷地形的任意兩個截面上完全相同，僅因沿y軸的位置不同而相差一個相位，因此可僅取一個截面進(jìn)行離散求解，得到計算截面產(chǎn)生的動力響應(yīng)后，其余截面產(chǎn)生動力響應(yīng)，可依據(jù)其位置和Rayleigh波視速度，通過將計算截面動力響應(yīng)偏移相應(yīng)相位得到，最后將所有截面結(jié)果求和，也即沿凹陷地形軸線將所有截面動力響應(yīng)積分，求得最終問題的解。

圖1 層狀場地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下示意圖Fig.1 The model of a canyon cut in a layered half-space for obliquely incident Rayleigh waves

在具體求解時，為方便求解，將總波場分解為自由波場和散射波場。對于自由波場（無凹陷地形存在），首先通過將層狀場地三維精確動力剛度矩陣取為零，建立層狀場地Rayleigh波傳播的頻散方程，然后搜索迭代方法求得層狀場地Rayleigh波頻散曲線，進(jìn)而求得自由波場；對于三維散射波場，為了達(dá)到僅選擇一個截面進(jìn)行離散求解的目的，本文通過施加在沉積邊界上的一組移動斜線荷載產(chǎn)生的動力響應(yīng)分別模擬散射波場，移動斜線荷載動力響應(yīng)實際上模擬了對所有截面的計算，這種方法也被稱作移動格林函數(shù)方法；移動斜線荷載的密度可通過相應(yīng)邊界條件求得，最后疊加自由場波場和散射波場得到總波場，便可求得層狀半空間中凹陷地形對斜入射Rayleigh波的三維散射解答。

1.1 自由波場求解

由于Rayleigh波在層狀場地中的傳播存在頻散和多模態(tài)特性，求解自由波場的關(guān)鍵便是求解層狀場地中Rayleigh各階模態(tài)的頻散曲線。本文首先建立層狀場地的三維精確動力剛度矩陣，然后令其行列式為零求得頻散方程，再由搜索迭代法求得各階模態(tài)下頻率-視速度的關(guān)系曲線。為此首先介紹層狀場地三維精確動力剛度矩陣。頻域內(nèi)位移u（x，y，z）eiωt，ν（x，y，z）eiωt和w（x，y，z）eiωt表示的動力平衡方程為

式中ω為圓頻率，λ*=λ［1+2isgn（ω）ζ］和μ*=μ［1+2isgn（ω）ζ］為復(fù)Lamb常數(shù)。λ和μ為材料給的2個Lamb常數(shù)，ζ為滯洄阻尼比。U=｛u，ν，w｝T為位移向量。假定土體中標(biāo)量波（縱波）和矢量波（橫波）的勢函數(shù)分別為φ和ψ，由Helmholtz定理，土體中的位移滿足下式

將式（2）代入式（1），可求得勢函數(shù)φ和ψ的表達(dá)式，將勢函數(shù)ψ進(jìn)一步分解成勢函數(shù)ψ1和ψ2，這樣可以假定任一土層中都包含上行波勢函數(shù)φ1，ψ11，ψ12和下行的波勢函數(shù)φ2，ψ21，ψ22。將上行波和下行波勢函數(shù)表達(dá)式帶回式（2），可得任一土層上下表面處的位移與6個勢函數(shù)幅值之間的關(guān)系。土層上下表面處僅有應(yīng)力τzx，τzy和σz，由本構(gòu)關(guān)系同樣可求得土層上下界面處6個應(yīng)力與6個勢函數(shù)幅值之間的關(guān)系，再令土層上表面處外荷載幅值=-，=-和=-，土層下表面處外荷載幅值ˉPx2=，=和=，則可得到土層上下表面處外荷載幅值與6個勢函數(shù)間的關(guān)系式。將勢函數(shù)的幅值消去，便可求得土層上下表面的外荷載與位移幅值間的關(guān)系間矩陣，即土層三維動力剛度矩陣SLP-SV-SH。對于基巖半空間，由于Sommerfeld輻射條件僅包含下行的波勢函數(shù)，采用同樣思路可求得基巖半空間剛度矩陣SRP-SV-SH。剛度矩陣的具體元素及更為詳細(xì)的求解過程可參考文獻(xiàn)［25］。

集整各土層剛度矩陣SL，jP-SV-SH（j=1，2…，N）和下臥基巖半空間動力剛度矩陣SRP-SV-SH，可得層狀場地的整體動力剛度矩陣SP-SV-SH，這樣層狀場地的離散動力平衡方程可表示為式中和為地表及各土層交界面處的位移幅值xjyj和（j=0，1，2，…，N）為施加在地表及各土層交界面處的外荷載幅值。

對于入射Rayleigh面波，荷載向量為零，令式（3）中SP-SV-SH的行列式為零則可得到頻散方程，它確定了不同振型的相速度ca與頻率ω的關(guān)系ca（ω）。由行列式為零求得的頻散方程是超越的，需采用搜索迭代法進(jìn)行求解。對于第1階模態(tài)，無截止頻率問題，初始相速度為ca=為下臥基巖半空間Rayleigh波速），增大ω的同時減小ca，通過牛頓 迭代法使|SP-SV-SH|=0，求得相應(yīng)的ca（ω），即為第1階模態(tài)的頻散曲線。對除第1階模態(tài)以外的模態(tài)則存在截止頻率問題，首先令其初始相速度ca=（為下臥基巖半空間剪切波速），并令ω由小到大進(jìn)行搜索，每出現(xiàn)一次|SP-SV-SH|=0，即求得某一階模態(tài)的截止頻率，然后對每一階模態(tài)，增大ω的同時減小ca，通過牛頓迭代法使|SP-SV-SH|=0，求得相應(yīng)的ca（ω），即為該階模態(tài)的頻散曲線。對所有模態(tài)采取同樣的計算，即可求得所有模態(tài)對應(yīng)的頻散曲線，也即頻散曲線族。具體可參考文獻(xiàn)［27］。

求得各階模態(tài)的頻散曲線后，將成對的（ω，ca（ω））代入整體剛度矩陣SP-SV-SH，可求得相應(yīng)的特征向量，即為位移幅值向量｝T，然后針對任一土層，由文獻(xiàn)［25］中式（8a）可求得相應(yīng)土層內(nèi)上下行波的幅值系數(shù)，進(jìn)而可求得該土層內(nèi)任意位置的位移和應(yīng)力幅值，即為Rayleigh波入射下層狀場地的自由波場。

1.2 散射波場模擬

對于由于凹陷地形的存在引起的三維散射波場，通過層狀場地中移動斜線荷載動力格林影響函數(shù)來模擬。圖2給出了作用在x，y和z方向的移動均布荷載。由于荷載僅作用在部分土層上，在荷載的上下節(jié)點處引入附加交界面。首先假定作用荷載的土層固定在2個交界面上，計算滿足條件的相應(yīng)反力（外力）這個分析僅在作用荷載土層上進(jìn)行。然后將反力以相反方向作用到整個層狀場地上，由直接剛度法求解其動力響應(yīng)。最后疊加上述兩個結(jié)果得到總反應(yīng)。

圖2 層狀場地中移動斜線均勻荷載動力格林函數(shù)求解示意圖Fig.2 Diagram for solving Green′s functions of moving distributed loads acting on an inclined line

假定沿y軸正方向以速度c移動荷載可表示為

式中px0，py0和pz0為沿x，y和z方向的均布荷載密度，θ（0°＜θ＜180°）為斜線與水平方向的夾角，δ為狄拉克函數(shù)。采用傅里葉變換將荷載變換到頻率-波數(shù)域中后，荷載幅值可表示為

設(shè)位移u，ν和w在在頻率-波數(shù)域內(nèi)的形式為

式中p=｛px0，py0，pz0｝T為荷載向量。假定方程（7）的特解（以上標(biāo)“p”表示）如下式所示

將式（8）代入式（7），可得關(guān)于系數(shù)a1，a2和a3的表達(dá)式

矩陣A的具體元素見文獻(xiàn)［26］，求解式（9）可得系數(shù)a1，a2和a3，再將其反代回式（8），并令z=0和z=d，可得固定土層上下表面處的位移特解和，進(jìn)而可求得固定土層上下表面處的反力特解

疊加特解固定斷面處特解反力和齊解反力并取負(fù)號，可得作用于層狀場地的總外荷載為

將式（11）代入式（3），可求得任意土層上下表面的位移幅值，再由式（2a）可求得土層內(nèi)上下行波的幅值系數(shù)Aj，Bj，Cj，Dj，Ej和Fj（j=1，2，…，N），進(jìn)而由式（2a）和（2b）可求得層狀場地任意點的位移和應(yīng)力幅值。

上述計算過程是在波數(shù)域內(nèi)進(jìn)行的，空間域內(nèi)結(jié)果可以通過傅里葉逆變換來完成

其中，k＇y=ω/c（kx，k＇y，z，ω）為波數(shù)域中位移或應(yīng)力幅值，F(xiàn)（x，y，z，ω）為空間域內(nèi)動力響應(yīng)，也即所求移動均布斜線荷載動力格林影響函數(shù)。

求得移動均布斜線荷載動力格林函數(shù)后，散射波場便可通過分別施加的虛擬移動斜線荷載產(chǎn)生的動力響應(yīng)來模擬。移動速度由圖1和文獻(xiàn)［27］知為Rayleigh波沿y軸的視速度c=|ca|2/（Re（ca）· cosψ）。這樣散射波場產(chǎn)生的位移和應(yīng)力可分別表示為：

式中g(shù)u（S）和gt（S）為位移和應(yīng)力格林函數(shù)。txg，tyg和tzg表示沿坐標(biāo)x，y和z方向的應(yīng)力。｛px，py，pz｝T為求解散射波場而施加在凹陷邊界上的荷載向量。

1.3 邊界條件

凹陷表面S上零應(yīng)力邊界條件可表示為

式中 ［txf（s），tyf（s），tzf（s）］T為自由場應(yīng)力向量，W（s）為權(quán)函數(shù)矩陣，可取為單位矩陣，使積分在每個單元上都能獨立進(jìn)行。將式（13）代入式（14）可得

由式（15）可求得｛px，py，pz｝T，將其代入式（13）可求得散射波場。最后疊加散射波場和自由波場，可求得位移幅值

上述給出的是頻域內(nèi)的三維動力響應(yīng)解答，對于時域內(nèi)動力響應(yīng)可由傅里葉逆變換求得

2 方法驗證

以層狀半空間中凹陷地形對Rayleigh的二維散射結(jié)果來驗證本文方法的正確性。本文方法在ψ=90°時即可退化為二維解答。圖3給出了本文結(jié)果與文獻(xiàn)［6］給出二維散射結(jié)果的比較?；鶐r上單一土層中梯形凹陷如文獻(xiàn)［6］中圖4所示?；鶐r與土層剪切波速比為cRS/cLS=2.0，密度比為ρR/ρL= 1.0，基巖與土層泊松比均為νR=νL=1/3，基巖阻尼比為ζR=0.02，土層阻尼比為ζL=0.05，入射Rayleigh波水平位移幅值u0=0.5，無量綱頻率η=ωL/πcLS。圖3中第1模態(tài)為對應(yīng)相同頻率相速度最小模態(tài)，第2模態(tài)為相應(yīng)相速度次之模態(tài)。從圖3中可以看出，無論是第1模態(tài)在頻率為η=2.0時的位移幅值，還是在第2模態(tài)η=4.0時的位移幅值，本文結(jié)果均與文獻(xiàn)［6］結(jié)果吻合良好，說明了本文方法的正確性。

圖3 本文結(jié)果與文獻(xiàn)［6］給出二維散射結(jié)果的比較Fig.3 Comparisons of results obtained by the present method with those of article［6］

3 算例與分析

3.1 頻域結(jié)果

為研究入射角度的影響，以均勻半空間中半橢圓凹陷地形為例，模型如圖4（a）所示，圖5給出了Rayleigh波斜入射下凹陷周圍地表位移幅值。均勻場地泊松比為ν=1/3，阻尼比為ζ=0.01。橢圓凹陷的短軸與長軸之比為h/a=0.5。入射角度分別為ψ=0°，45°和90°。定義無量綱頻率為η=2a/λs=ωa/（πcS），其中λs和cS為剪切波波長和波速。計算參數(shù)為η= 0.5，1.0和2.0。圖中u，ν和w分別為x，y和z方向的位移幅值，而u0和ν0為相應(yīng)的自由場位移幅值。

圖4 半橢圓凹陷模型Fig.4 Model of semi-elliptical canyon

從圖5中可以看出，入射角ψ=0°（波沿y軸入射）時，位移幅值關(guān)于凹陷軸線對稱分布，x方向位移僅來自于散射波場，幅值較小，y和z方向位移幅值空間分布較為簡單，且?guī)缀醪皇茴l率的影響；ψ=90°時，波入射方向與凹陷軸線垂直，本文結(jié)果退化為二維情況，此時無沿y方向位移幅值，x方向位移幅值在凹陷左交點附近顯著放大，η=2.0時達(dá)到2.54；比較ψ=45°與ψ=90°的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兩者的位移幅值最大值在x和z方向上均較為接近，但ψ=45°入射下同時帶來了較大的y方向水平位移幅值；另外凹陷左側(cè)位移幅值在空間分布上差異較大，ψ=45°對應(yīng)空間分布較ψ=90°時要簡單，說明入射角度越大，凹陷左側(cè)波含較多的高頻成分。以上分析表明Rayleigh波入射角度對位移幅值有著顯著的影響，同時也說明凹陷地形對Rayleigh波二維散射（ψ=90°）和三維散射（ψ=0° 和45°）有著明顯的差異。從圖中還可以看出，由于凹陷地形對Rayleigh波傳播的“屏障”效應(yīng)，波入射一側(cè)地表位移幅值較大，空間分布較為復(fù)雜。隨著入射頻率的增大，波入射一側(cè)位移幅值振蕩更為復(fù)雜。

為研究截面形狀對地震效應(yīng)的影響，以均勻半空間上三角、梯形和半橢圓三種截面凹陷為例，圖7給出了入射頻率η=0.5，1.0和2.0時凹陷周圍地表位移幅值的比較。模型如圖4（a）和圖6所示。三種截面深度均為h/a=0.5，對梯形截面，底部寬度b/a=0.5。入射角度取為ψ=45°。均勻場地參數(shù)以及無量頻率的定義方式均同圖5。

從圖7中可以看出，三角、梯形和半橢圓對應(yīng)的最大位移幅值依次增大，這種現(xiàn)象隨著入射頻率的增大更為明顯，如三角、半橢圓和梯形x方向最大位移幅值在η=0.5時分別為1.40，1.49和1.54，η=1.0時分別為1.52，1.81和1.87，η=2.0時分別為1.43，2.25和2.63。同時，對應(yīng)三種截面情況，凹陷左側(cè)位移存在相位偏移，三角、梯形和半橢圓對應(yīng)的波長依次增長。另外發(fā)現(xiàn)梯形和半橢圓對Rayleigh波的隔振效果要強(qiáng)于三角形情況，這種現(xiàn)象也隨著入射頻率增大更為明顯。以上分析說明凹陷左角點的角度越小，也即凹陷左側(cè)越“陡峭”，位移幅值最大值越大，對Rayleigh的阻礙作用越強(qiáng)。

為研究凹陷深度對地震效應(yīng)的影響，以均勻場地中三角凹陷為例，圖8給出了入射頻率η=0.5，1.0和2.0時凹陷周圍地表位移幅值的比較。模型如圖6（b）所示。三種截面深度均為h/a=0.5，1.0 和2.0，入射角度取為ψ=45°。均勻場地參數(shù)以及無量綱頻率的定義方式均同圖5。

從圖8中可以看出，隨著凹陷深度的逐漸增大，最大地表位移幅值逐漸增大，且這種現(xiàn)象受入射頻率的影響明顯，如h/a=0.5，1.0和2.0三種深度凹陷x方向最大位移幅值在η=0.5時分別為1.40，1.60和3.16；η=1.0時分別為1.52，2.29和2.77；η=2.0時分別為1.43，2.37和3.14。同時隨著凹陷深度的逐漸增大，凹陷對Rayleigh的隔振作用越強(qiáng)，這種現(xiàn)象也受入射頻率的影響明顯，如η=2.0時，h/a=1.0和2.0兩種凹陷的隔振作用基本一致（凹陷右側(cè)位移幅值基本一致），這也說明頻率為η=2.0的Rayleigh在h/a=1.0的深度已經(jīng)衰減到很小。另外還可以從圖中看到較深的凹陷（h/a= 2.0）在Rayleigh波入射下，左側(cè)x方向位移會出現(xiàn)明顯的駐波現(xiàn)象（位移幅值在某些點位處近似為零，看似始終靜止），且隨著頻率的增大駐波點（位移幅值近似為零點）逐漸增多。

圖5 Rayleigh波入射角度不同情況下凹陷附近地表位移幅值Fig.5 Surface displacement amplitudes around the canyon of Rayleigh waves for different incident angles

圖6 梯形和三角形凹陷模型Fig.6 Model of trapezoid and triangle canyons

圖7 Rayleigh波斜入射下不同截面形狀凹陷地形附近地表位移幅值Fig.7 Surface displacement amplitudes around the canyon of Rayleigh waves for different canyon cross section

圖8 Rayleigh波斜入射下不同深度凹陷地形附近地表位移幅值Fig.8 Surface displacement amplitudes around the canyon of Rayleigh waves for different canyon depth

3.2 層狀半空間結(jié)果

為研究層狀場地中凹陷地形對斜入射Rayleigh波的散射以及探討其與均勻場地情況的差異，以基巖上單一土層場地和均勻場地中半橢圓凹陷地形為例。模型如圖4（a）和4（b）所示，橢圓短軸與長軸之比h/a=0.5。層狀場地中基巖與土層的剪切波速比為cRS/cLS=2.0，質(zhì)量密度比ρR/ρL=1.0，泊松比νR=νL=1/3，基巖阻尼比為ζR=0.02，土層阻尼比為ζL=0.05。土層厚度則取為H/a=1.0和H/a=2.0兩種情況。均勻場地土體泊松比ν=1/3，阻尼比ζ=0.05。Rayleigh波入射角度取為ψ=45°，無量綱頻率定義為η=2a/λLs=ωa/（πcLS）。由于Rayleigh波在層狀場地中的傳播存在多模態(tài)和頻散特性，采用上述搜索迭代法，圖9給出了兩種不同厚度基巖上單一土層場地Rayleigh波前三階模態(tài)的頻散曲線，包括相速度實部Re（ca/cLS）、有效阻尼比lm（ca）/ Re（ca）和豎向與水平位移幅值比。

圖9 層狀場地中Rayleigh波的頻散曲線Fig.9 Disperse curves of Rayleigh waves in a layered half-space

圖10 層狀場地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下地表位移幅值（土層厚度H/a=1.0）Fig.10 Surface displacement amplitudes around the canyon of obliquely incident Rayleigh waves（H/a=1.0）

圖10首先給出了土層厚度H/a=1.0場地在頻率η=1.0和2.0時前三階模態(tài)對應(yīng)位移幅值，同時為方便比較，圖10中也包含了相應(yīng)均勻場地結(jié)果。對應(yīng)不同頻率，前三階模態(tài)Rayleigh波的相速度如圖9所示。比較層狀場地與均勻場地結(jié)果發(fā)現(xiàn)，層狀場地中凹陷周圍地表位移幅值與均勻場地情況存在顯著的差異，這種差異取決于不同頻率處Rayleigh的頻散情況（Rayleigh波的相速度），層狀場地相速度在η=1.0時的第1模態(tài)和第2模態(tài)以及η=2.0時的第2和第3模態(tài)，均與均勻場地相速度（均勻場地ca=0.933cS）相差較大，位移幅值相差較大，而層狀場地相速度在η=2.0時的第1模態(tài)與均勻場地相速度非常接近，位移幅值也非常接近。比較層狀場地不同模態(tài)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，地表位移幅值有著明顯的差異，尤其在η=2.0時，對應(yīng)第2模態(tài)的x，y和z方向的位移幅值分別達(dá)到3.19，3.46和4.38，遠(yuǎn)大于其他模態(tài)及均勻場地對應(yīng)的位移幅值。從圖中還可以看出，對應(yīng)相同頻率，隨著模態(tài)的逐漸增大，Rayleigh波波速逐漸增大，位移沿深度方向逐漸減慢，層狀場地中凹陷地形對Rayleigh波的阻礙作用逐漸減弱。

圖11 層狀場地中凹陷地形Rayleigh波斜入射下地表位移幅值（土層厚度H/a=2.0）Fig.11 Surface displacement amplitudes around the canyon of obliquely incident Rayleigh waves（H/a=2.0）

圖11進(jìn)一步給出了土層厚度H/a=2.0場地在頻率η=0.5，1.0和2.0時前三階模態(tài)位移幅值。場地前三階模態(tài)Rayleigh波的相速度如圖9所示。從圖11中結(jié)果看出，在η=1.0時對應(yīng)第2模態(tài)的位移幅值顯著大于其他模態(tài)，x，y和z方向的位移幅值分別達(dá)到3.41，4.22和3.84；在η=2.0時對應(yīng)第3模態(tài)的位移幅值顯著大于其他模態(tài)，x，y和z方向的位移幅值分別達(dá)到5.32，5.92和8.45；而圖9中η=2.0時對應(yīng)第2模態(tài)的位移幅值顯著大于其他模態(tài)。分析以上數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在給定頻率處，出現(xiàn)位移幅值明顯較大的模態(tài)對應(yīng)的有效阻尼比較大且大于均勻場地情況，同時對應(yīng)的自由場豎向與水平位移幅值比也較大且大于均勻場地情況。以上分析表明，在研究層狀場地中凹陷地形對Rayleigh波的散射問題時，應(yīng)充分考慮該層狀場地Rayleigh的模態(tài)和頻散情況。

3.3 時域結(jié)果

為研究凹陷地形在Rayleigh波入射下的時域地震反應(yīng)，以均勻場地和基巖上單一土層場地中梯形凹陷為例，進(jìn)行了Ricker時程輸入下，凹陷附近地表位移時程的求解。模型如圖4（a）所示，凹陷深度為h/a=0.5，底部半寬為b/a=0.5?；鶐r上單一土層場地也取為H/a=1.0和H/a=2.0兩種情況。層狀場地和均勻場地參數(shù)同圖9和圖10。地表共81個觀測點均勻分布在x從-4a到4a的范圍內(nèi)。輸入Ricker時程的形式為u（τ）=（-1）·exp，特征頻率定義為ηc=ωa/（πcS）（對層狀場地ηc=ωa/（πcLS）），計算中所有情況ηc= 1.5。時域動力響應(yīng)通過對頻域內(nèi)動力響應(yīng)積分求得。通過對Ricker輸入波頻譜的分析，計算中無量綱頻率范圍為η=0～5.0?？紤]到頻譜的振蕩特性，采用分段高斯積分完成，共取積分點116個。

圖12首先給出了均勻場地Rayleigh波入射角度為ψ=45°和90°時凹陷附近地表位移時程。u，ν和w分別表示沿x，y和z方向的位移時程序，而u0，ν0和w0分別表示自由場表位移時程。從圖11中可以看出，由于凹陷地形對Rayleigh波的散射，使得凹陷左側(cè)位移幅值相對于自由場有著顯著的放大，這與頻域中結(jié)果一致。但凹陷地形對Rayleigh波傳播的影響從時域結(jié)果中可以更為清晰地觀測到，如ψ=45°時，Rayleigh首先到達(dá)凹陷左側(cè)x=-4a位置，然后傳播到凹陷左角點（角點1），在凹陷左角點處形成散射Rayleigh波，一部分返回到凹陷左側(cè)x=-4a位置，另一部分沿爬過凹陷表面到達(dá)凹陷右角點（角點2），波在該角點處又產(chǎn)生新的散射Rayleigh波，一部分返回凹陷右側(cè)，一部分繼續(xù)向凹陷右側(cè)繼續(xù)傳播。比較ψ=90°時凹陷附近地表時程與ψ=45°度時程，發(fā)現(xiàn)ψ=90°時凹陷左角點產(chǎn)生的散射波中除了有Rayleigh波成分外，還有明顯的P波成分，圖11中顯示為P波成分以更快的波速（P波波速大于Rayleigh波波速）先于Rayleigh波返回凹陷左側(cè)地表各觀測點，同時P波成分也以更快的速度先于Rayleigh波爬過凹陷表面，傳播到凹陷右側(cè)各觀測點。以上分析表明Rayleigh波的入射角度對Rayleigh波在凹陷角點處的波形轉(zhuǎn)換有著顯著的影響，這也說明了在研究凹陷地形對Rayleigh波散射時，為使結(jié)果更為精確，應(yīng)充分考慮Rayleigh波入射角度的影響。

圖13進(jìn)一步給出了層狀場地情況（H/a=1.0和H/a=2.0）凹陷附近地表位移時程，層狀場地的頻散關(guān)系曲線取第1模態(tài)（如圖9所示），u0，ν0和w0仍為自由場位移。比較圖13中層狀情況時程與圖12中均勻場地情況時程發(fā)現(xiàn)，層狀場地中時程與均勻場地情況存在明顯的差異。這是由于層狀半空間中Rayleigh波的傳播存在頻散特性，對應(yīng)不同頻率，Rayleigh波的相速度不同，尤其在較低頻率時，Rayleigh波的相速度大于土層對應(yīng)的Rayleigh波速（也即圖12中均勻場地Rayleigh波速），使得不同頻率的Rayleigh波相互作用，Rayleigh波達(dá)到各觀測點的時間要早于均勻場地情況，同時土層和凹陷地形的之間存在相互作用，也使得層狀半空間中地表各觀測點的位移時程較均勻半空間情況復(fù)雜，在持續(xù)時間上也更長，尤其在凹陷表面。比較土層厚度為H/a=2.0的場地與H/a=1.0的場地時程發(fā)現(xiàn)，由于厚度為H/a= 2.0的場地Rayleigh波相速度隨頻率增加更快地衰減到與土層對應(yīng)的Rayleigh波相速度，厚度為H/a= 2.0的場地位移時程與均勻場地情況更為接近。

圖12 均勻場地Rayleigh波斜入射下凹陷附近地表各觀測點位移幅值時程Fig.12 Time histories of surface displacement amplitudes for obliquely incident Rayleigh waves in a uniform half-space

圖13 層狀場地Rayleigh波斜入射下凹陷附近地表各觀測點位移幅值時程Fig.13 Time histories of surface displacement amplitudes for obliquely incident Rayleigh waves in a layered half-space

4 結(jié) 論

針對凹陷地形對Rayleigh波的三維散射問題，建立了以移動斜線荷載動力格林影響函數(shù)為基本解的2.5維間接邊界元方法進(jìn)行了求解，分別以均勻場地和基巖上單一土層場地給出了頻域結(jié)果和時域結(jié)果，得到了以下主要結(jié)論。

（1）波的入射角度對地震反應(yīng)有著顯著的影響，Rayleigh波斜入射時在平面內(nèi)位移幅值與二維情況較為接近的情況下，同時帶入了較大的凹陷軸線方向位移幅值。

（2）凹陷的截面形狀對位移幅值有著明顯的影響，波入射側(cè)凹陷越“陡峭”，位移幅值最大值越大，對Rayleigh波的阻礙作用越強(qiáng)。隨著凹陷深度的逐漸增大，地表最大地表位移幅值逐漸增大，且深度較大的凹陷，在波入射側(cè)存在明顯的駐波現(xiàn)象。

（3）由于層狀場地中Rayleigh波的傳播存在頻散和多模態(tài)現(xiàn)象，層狀場地中凹陷地形對Rayleigh波的散射與均勻場地情況有著顯著差異，層狀場地情況，存在Rayleigh波高階模態(tài)在某些頻率處的位移幅值會顯著大于其他模態(tài)的現(xiàn)象。在時域內(nèi)由于層狀場地中Rayleigh的頻散，不同頻率的產(chǎn)生波相互作用，使得地表位移時程在形式上更為復(fù)雜，在持續(xù)時間上更長。

［1］ Trifunac M D.Scattering of plane SH wave by a semicylindrical canyon［J］.Earthq.Eng.Struc.Dynam.，1973，1：267—281.

［2］ Wong H L，Trifunac M D.Scattering of plane SH-waves by a semi-elliptical canyon［J］.Earthq.Eng. Struc.Dynam.，1974，3：157—169.

［3］ 袁曉銘，廖振鵬.圓弧形凹陷地形對平面SH波散射問題的級數(shù)解答［J］.地震工程與工程振動，1993，13（2）：1—11. Yuan Xiaoming，Liao Zhenpeng.Series solution for scattering of plane waves by a canyon of circular-arc cross section［J］.Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1993，13（2）：1—11.

［4］ 梁建文，張郁山，顧曉魯，等.圓弧形層狀凹陷地形對平面SH波的散射［J］.振動工程學(xué)報，2003，16（2）：158—165. Liang Jianwen，Zhang Yushan，Gu Xiaolu，et al. Scattering of plane SH waves by a circular-arc layered canyon［J］.Journal of Vibration Engineering，2003，16 （2）：158—165.

［5］ Wong H L.Effect of surface topography on the diffraction of P，SV and Rayleigh waves［J］.Bull.Seism.Soc.Am.，1982，72（4）：1 167—1 183.

［6］ Vogt R F，Wolf J P，Bachmann H.Wave scattering by a canyon of arbitrary shape in a layered half-space ［J］.Earthq.Eng.Struc.Dynam.，1988，16：803—812.

［7］ Kawase H.Time-domain response of a semi-circular canyon for incident SV，P，and Rayleigh waves calculated by the discrete wavenumber boundary element method［J］.Bull.Seism.Soc.Am.，1988，78：1 415—1 437.

［8］ Lee V W，Cao H.Diffraction of SV by circular canyons of various depths［J］.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1989，115（9）：2 035—2 056.

［9］ Sanchez-Sesma F J，Compillo M.Diffraction of P，SV，and Rayleigh waves by topographic features：A boundary integral formulation［J］.Bull.Seism.Soc. Am.，1991，81（6）：2 234—2 253.

［10］Todorovska M I，Lee V W.A note on scattering of Rayleigh waves by shallow circular canyons：analytical approach［J］.Bull.Seism.Soc.Am.，1991，28（2）：1—16.

［11］梁建文，嚴(yán)林雋.圓弧形凹陷地形表面覆蓋層對入射平面P波的影響［J］.固體力學(xué)學(xué)報，2002，23（4）：397—411. Liang Jianwen，Yan Linjun.Scattering of incident plane P waves by a circular-arc canyon with coving layer［J］.ACTA Mechanica Solida Sinica，2002，23（4）：397—411.

［12］Liang Jianwen，Ba Zhenning，Lee V W.Diffraction of plane SV waves by a shallow circular-arc canyon in a saturated poroelastic half-space［J］.Soil Dyn.Earthq. Eng.，2006，26：582—610.

［13］Liang Jianwen，You Hongbin.Lee V W.Scattering of SV waves by a canyon in a fluid-saturated，poroelastic layered half-space，modeled using the indirect boundary element method［J］.Soil Dyn.Earthq.Eng.，2006，26：611—625.

［14］周紅，陳曉非.凹陷地形對Rayleigh面波傳播影響的研究［J］.地球物理學(xué)報，2007，50（4）：1 182—1 189. Zhou Hong，Chen Xiaofei.A study on the effect of depressed topography on Rayleigh surface wave［J］.Chinese Journal of Geophysics，2007，50（4）：1 182—1 189.

［15］Luco J E，Wong H L.De Barros F C P.Three dimensional response of a cylindrical canyon in a layered halfspace［J］.Int.J.Earthquake Eng.Struct.Dyn.，1990，19：799—817.

［16］Pedersen H，Sanchez-Sesma F J，Campillo M.Three dimensional scattering by two-dimensional topographies［J］.Bull.Seism.Soc.Am.，1994，84：1 169—1 183.

［17］Stamps A A，Beskos D E.3-D seismic response analysis of long lined tunnels in half-space［J］.Soil Dyn. Earthq.Eng.，1996，15：111—118.

［18］Ba Zhenning，Liang Jianwen.3D scattering of incident plane SV waves by a 2D canyon in layered half-space ［J］.Earthq.Eng.Eng.Vib.，2010，9：587—595.

［19］巴振寧，梁建文，梅雄一.層狀飽和半空間中沉積谷地對斜入射平面P1波的三維散射［J］.工程力學(xué)，2013，30（9）：47—55. Ba Zhenning，Liang Jianwen，Mei Xiongyi.Three-dimensional scattering by an alluvial valley embedded in a fluid-saturated，poroelastic layered half-space for obliquely incident plane P1 waves［J］.Engineering Mechanics，2013，30（9）：47—55.

［20］Lee V W.A note on the scattering of elastic plane waves by a hemispherical canyon［J］.Soil Dyn. Earthq.Eng.，1982，1（3）：122—129.

［21］Sanchez-Sesma F J.Diffraction of elastic waves by three-dimensional surface irregularities［J］.Bull. Seism.Soc.Am.，1983，73：1 621—1 636

［22］Mossessian T K.Dravinski M.Scattering of elastic waves by three-dimensional surface topographies［J］. Wave Motion，1989，11：579—592.

［23］Kim J，Papageorgiou A.Discrete wave-number boundary-element method for 3-D scattering problems ［J］.J.Eng.Mech.，ASCE，1991，119：603—624.

［24］董俊，趙成剛.半球形凹陷飽和土半空間對入射平面SV波三維 散射 問題 的解析 解［J］.地球 物理學(xué) 報，2006，48（6）：1 412—1 421. Dong Jun，Zhao Chenggang.，An analytic solution for the three dimensional diffraction of plane SV-waves by hemispherical canyons in a fluid saturated porous medium half space［J］.Chinese Journal of Geophysics，2006，48（6）：1 412—1 421.

［25］梁建文，巴振寧.三維層狀場地的精確動力剛度矩陣及格林函數(shù)［J］.地震工程與工程振動，2007，5：1—8. Liang J W，Ba Z N.Exact dynamic stiffness matrices of 3-D layered site and its Green’s functions［J］. Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2007，5：1—8.

［26］巴振寧.層狀半空間中格林函數(shù)和局部場地對彈性波的散射［D］.天津：天津大學(xué)，2008. Ba Zhenning.Green′s functions for layered half spaceand elastic wave scattering by local sites［D］.Tianjin：Tianjin University，2008.

［27］Wolf J P.Dynamic Soil-Structure Interaction［M］.Englewood Cliffs：Prentice-Hall，1985.

3-D seismic resp onses for oblique incident Rayleigh waves of a canyon cut in a layered half-space

BA Zhen-ning1，2，LIANG Jian-wen1，2
（1.Department of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2.Key Laboratory of Coast Civil Structure and Safety（Tianjin University），Ministry of Education，Tianjin 300072，China）

The three-dimensional（3-D）seismic responses of a canyon cut in a layered half-space for oblique incident Rayleigh waves are studied by using the 2.5D indirect boundary element method（IBEM）.The total wave fields are decomposed into the free fields and the scattered fields for convince of calculation.The searching and iteration methods are employed to obtain the dispersion curves by solving the dispersion equation，which is derived by letting the determinants of the 3-D dynamic stiffness matrix of the layered site equal to zero，and then the free fields are obtained by using the direct stiffness method.The scattered fields are simulated by applying a set of virtual uniformly distributed loads on inclined lines，which form the free surface of the canyon.The densities of the virtual loads can be obtained by introducing the boundary conditions on the surface of the canyon. The accuracy of the method is verified by comparing the reduced results of the presented method with those of the published 2-D results，and numerical calculations are performed both in the frequency and in the time domain by taking the canyon cut in a homogenous and layered half-space as models，and the 3-D seismic responses for oblique incident Rayleigh waves are studied. Numerical results show that the 3-D responses highly depend on the cross-section of the canyon，the incident angle，the incident frequency，and in particular，the multi-modal and dispersion characteristics of Rayleigh waves in a layered site，and the displacement amplitudes at some frequencies corresponding to the higher modes can be significantly higher than those of the lower modes and of the homogenous site.

canyon；Rayleigh waves；three-dimensional scatting；layered half-space；Green′s functions

P315.9；TU 311.3

A

1004-4523（2015）05-0809-13

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.017

巴振寧（1980—），男，副教授。電話：13752331405；E-mail：bazhenning-001@163.com

2014-09-16；

015-03-30

國家自然科學(xué)基金資助項目（51578373，51578372）