徐曉平

本書是一部以代數(shù)方法研究偏微分方程求解及其性質(zhì)的專著，作者介紹了大量求解偏微分方程精確解的代數(shù)技術，以及作者近年來發(fā)展的新技術。

偏微分方程是數(shù)學、自然科學和工程領域中重要的基本工具。很多學科中最本質(zhì)的數(shù)學模型本身就是偏微分方程（組），如電動力學的基本規(guī)律由麥克斯韋（Maxwell）方程組來控制，激光束在克爾（Kerr）非線性介質(zhì)中傳播特性由非線性薛定諤方程（Schrdinger）來刻畫，而納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程是流體力學的基本方程。求解偏微方程大致有3種途徑：1.解析方法研究偏微分方程精確解的存在性和唯一性以及其他數(shù)學性質(zhì)；2.數(shù)值方法尋找偏微分方程的數(shù)值解；3.代數(shù)方法研究偏微分方程的對稱性、守恒律、精確解和完全可積性等。本書的方法歸屬于第3種途徑，介紹了近年來作者所發(fā)展的代數(shù)方法，求解偏微分方程的精確解，物理方程重點在于，諸如：量子多體系統(tǒng)的Calogero-Sutherland模型、麥克斯韋方程組、自由狄拉克（Dirac）方程、廣義聲方程、KdV方程、KP方程、超聲速氣流方程、短波方程、非線性聲學、地球引力勢預測方程、非線性薛定諤方程、光學耦合非線性薛定諤方程、表面波包絡的戴維-斯蒂瓦特森（Davey-Stewartson）方程、海洋動態(tài)對流方程、地球物理學中的波辛內(nèi)斯克（Boussinesq）方程、納維-斯托克斯方程和經(jīng)典邊界層方程。

作者指出，從代數(shù)方法入手，雙曲型偏微分方程要比橢圓型方程更容易得到精確解，這是代數(shù)方法的優(yōu)點。對于線性偏微分方程，作者專注于尋找所有多項式型的解和初始值問題的求解。而對于非線性偏微分方程，作者引進了對稱變換方法，給出了含有多個參數(shù)的解，很大程度上簡化了求解的過程。此外，作者還引進了多種技術：梯度技術、矩陣微分算子、非線性項的穩(wěn)定范圍、移動框架、對稱假設、對稱變換、線性化技術和特殊函數(shù)等。

全書分為兩大部分，共10章：第1部分 常微分方程：1.一階常微分方程；2.高階常微分方程；3.譜函數(shù)。第2部分 偏微分方程：4.一階/線性偏微分方程；5.非線性標量偏微分方程；6.非線性薛定諤方程和戴維-斯蒂瓦特森方程；7.海洋動態(tài)對流問題；8.地球物理學中的波辛內(nèi)斯克方程；9.納維-斯托克斯方程；10.經(jīng)典的邊界層問題。

本書內(nèi)容豐富，而且是自相容的，閱讀只需要最基本的微積分和線性代數(shù)知識。適合于數(shù)學、自然科學和工程技術領域的讀者，也可以作為高年級本科生和研究生的教材。

陳濤，助教

（中國傳媒大學理學院）endprint