賈 雨， 王 爽， 祁 春

（中國飛行試驗研究院 陜西 西安 710089）

數(shù)字圖像在航天、航空、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域已經(jīng)得到越來越廣泛的應(yīng)用，由于圖像在采集和傳輸過程中往往容易受到噪聲的干擾，對后續(xù)的邊緣檢測、圖像分割、特征提取等處理造成嚴重影響，因此，對含噪圖像進行去噪和增強是圖像處理領(lǐng)域重要的預(yù)處理步驟。2002年，M.N.Do、Martin Vetterli提出了Contourlet變換[1]，它是一種真正二維圖像表示方法，這種方法可以很好地抓住圖像的幾何結(jié)構(gòu)，很好刻畫圖像邊緣的優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于去噪、增強等領(lǐng)域。但是，由于Contourlet變換不具有平移不變性，2006年，具有平移不變特性的Contourlet變換，即非下采樣Contourlet變換（NonSubsampled Contourlet Transform，NSCT）[2]被 M.N.Do 等人提出，逐漸表現(xiàn)出其自身在去噪、增強方面的優(yōu)勢。

現(xiàn)階段，利用NSCT進行圖像增強的方法主要是先對含噪聲的圖像進行NSCT變換，在變換域通過一個合適的閾值去除主要由噪聲組成的小于閾值的系數(shù)，然后進行NSCT逆變換得到增強后的圖像。這種方法雖然很好的去除了噪聲，但是，在小系數(shù)置零的過程中，同時也去除了部分有用的系數(shù)，破壞了相鄰系數(shù)之間的相關(guān)性，從而造成了去噪后的圖像具有一定的偽Gibbs現(xiàn)象和side-band效應(yīng)。

在過去二十年間，非線性各向異性擴散模型[3]及其變體形式已被廣泛應(yīng)用于圖像去噪中。究其原因可發(fā)現(xiàn)，該模型可進行自適應(yīng)區(qū)域內(nèi)平滑，同時抑制區(qū)域間擴散，從而同步實現(xiàn)噪聲消除和邊緣保持。然而人們發(fā)現(xiàn)，各向異性擴散模型對噪聲非常敏感，在處理低信噪比圖像時效率很低。這主要由于在偏微分方程中，各向異性擴散系數(shù)是一個關(guān)于圖像梯度的非負單調(diào)遞減函數(shù)，而梯度計算對噪聲非常敏感，因此得到的各向異性擴散系數(shù)也并不完全可靠。此外，PDE包含一些偏導(dǎo)函數(shù)的數(shù)值計算也對噪聲敏感。近年來研究發(fā)現(xiàn)，在數(shù)字圖像的抑噪和增強處理過程中，非線性擴散、小波變換以及規(guī)則化方法之間存在一定聯(lián)系[4]，許多研究者都傾向 于 將 計 算 調(diào) 和 分 析 （Computational Harmonic Analysis，CHA）和偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）兩個不同領(lǐng)域相結(jié)合來克服彼此的不足[3]。

文中提出一種基于NSCT與非線性各向異性擴散結(jié)合的噪聲圖像增強方法。實驗結(jié)果表面，此方法在去除圖像噪聲和增強特征的同時，還可抑制偽Gibbs和side－band效應(yīng)，從而有效提高圖像質(zhì)量。

1 NSCT及各向異性擴散

1.1 非下采樣Contourlet變換

NSCT是在Contourlet變換的基礎(chǔ)上提出的，NSCT的基本思想是首先利用多尺度分解捕捉邊緣奇異點，然后再將點的奇異性匯集成線的奇異性。實現(xiàn)時，NSCT首先采用非下采樣金字塔對圖像進行多尺度分解，然后采用方向濾波器對各尺度子帶圖像進行方向分解，從而得到不同尺度、不同方向的子帶圖像。在對圖像進行分解和重構(gòu)時，NSCT取消了下采樣的操作，使其不僅具有Contourlet變換的時頻局部特性、多分辨率特性、方向性和各向異性，同時還具有了平移不變特特性。圖1為NSCT變換圖。

圖1 NSCT圖像分解結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of NSCT

1.2 非線性擴散

近些年來，運用非線性擴散進行圖像平滑的方法已被應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域中。各向同性擴散的思路是源自于大自然中的熱擴散過程。為了避免各向同性擴散中的邊緣模糊和定位問題，Perona和Malik提出一種非線性的各向異性擴散的方法，它基于可進行圖像平滑的偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）。對于一個含有噪聲的觀測圖像u0，假定u0為原始圖像f與高斯噪聲n之和：

在一個連續(xù)域中，考慮擴散過程為

將給定的噪聲圖像u0作為初始條件

多學(xué)習(xí)和借鑒國內(nèi)外其他高校的翻轉(zhuǎn)課堂改革經(jīng)驗，在實踐中慢慢總結(jié)適合自己學(xué)校的教學(xué)方式。轉(zhuǎn)變教師觀念，讓其真正理解翻轉(zhuǎn)課堂的內(nèi)涵，真正做到以生為本，以產(chǎn)出為導(dǎo)向。設(shè)計多樣的過程考核方式，如增加師生問答、學(xué)生相互間提問、課堂練習(xí)、分組成果展示、小測試等諸多環(huán)節(jié)。

可以得到圖像的平滑過程為

這里，div代表散度算子， 代表梯度算子，時間t是一個設(shè)定的濾波尺度參數(shù)，而g表示擴散系數(shù)。為了避免擴散過程中的過度平滑和邊緣模糊，構(gòu)建出的應(yīng)當(dāng)激勵同質(zhì)區(qū)域的平滑，同時抑制跨過邊界的平滑。

2 基于NSCT擴散的噪聲圖像增強

現(xiàn)階段，在變換域進行圖像去噪基本上都是基于閾值化的方法，通過一個硬閾值或軟閾值改變圖像原有的系數(shù)矩陣已達到去噪的目的。Starck等人[5]率先提出一種在變換域通過一個非線性增益函數(shù)實現(xiàn)對比度增強的方法，并在Contourlet變換中得到了很好的應(yīng)用。在本文中，我們利用一個改進的Starck增益函數(shù)來在NSCT中實現(xiàn)圖像的增強。改進后的增益函數(shù)如下：

其中p決定了非線性程度；s為動態(tài)范圍壓縮因子，一個非零的s可在增強弱小邊緣的同時弱化強邊緣；c是一個正則化參數(shù)，若c的值大于3，則噪聲不會被放大；參數(shù)m影響著那些需要放大的系數(shù)，該值取決于每個NSCT尺度下的像素值。

圖2給出了一幅噪聲圖像經(jīng)過NSCT增強方法處理后得到的增強圖像。雖然NSCT變換在表示圖像的線奇異性上具有很大優(yōu)勢，但仍然會受到偽Gibbs和side－band效應(yīng)的影響。之所以會產(chǎn)生偽Gibbs現(xiàn)象，是由于在處理過程中運用了收縮/閾值化方法去除一些小的NSCT系數(shù)，而side－band效應(yīng)則是由于部分NSCT系數(shù)發(fā)生畸變造成的。為了抑制結(jié)果圖像中出現(xiàn)的人工效應(yīng)，可引入非線性擴散方法，在進行一定步數(shù)的迭代之后，將擴散圖像與增強圖像相疊加，從而得到最終結(jié)果。

圖2 NSCT增強方法處理得到的結(jié)果Fig.2 Result of NSCT enhancement

假定I0是一幅定義在R2上的受到高斯噪聲污染的圖像。首先利用上述改進增益函數(shù)對噪聲圖像I0的進行增強，其次用非線性擴散方法來減少偽Gibbs和side－band效應(yīng)。

已知yc代表式（5）中定義的改進增益函數(shù)，將其作用到系數(shù) cj，i，k（I0）上，可得到抑噪和增強后的圖像

引入擴散過程至圖像Idif，這里Idif是由增強過程中被消除的NSCT系數(shù)重構(gòu)而成。為了計算Idif，首先希望得到在增強增益函數(shù)中那些被置零的NSCT系數(shù)。這里利用一個所謂的逆閾值化函數(shù)

進而可將系數(shù)表示為

將逆 NSCT（ICT）應(yīng)用于 cdif（I0），得

值得注意的是，式（8）中的參數(shù) T必須與式（6）中取值相同。

擴散過程為

將Idif作為初始條件

并定義平滑后的圖像為

其中P（·）描述了一個迭代次數(shù)為t+1的擴散過程。

算法流程1）對噪聲圖像 I0 進行 NSCT 變換（CT），得到 cj，i，k（I0）=CT（I0）。2） 對于給定的閾值 T，分別根據(jù)式（6）和式（9），計算出 Ienh和 Idif。3） 對 Idif進行 n 次非線性擴散，得到 Idif（n）=P（Idif），其中 n 為給定的迭代次數(shù)。4） 最后，將平滑后的圖像與增強圖像相加，得到最終結(jié)果，Irec=Ienh+P（Idif）。

現(xiàn)在可將該方法歸結(jié)如下。已知Ienh包含了需重構(gòu)的圖像重要特征信息，而Idif包含了主要與噪聲相對應(yīng)的高頻分量信息。通過對Idif進行一定步數(shù)的迭代擴散后，得到平滑后圖像Idif，將其與增強后圖像Ienh進行疊加，從而得到最終的結(jié)果Irec。這種僅對Idif進行擴散的策略，避免了傳統(tǒng)擴散方法中出現(xiàn)的窄峰或紋理信息被過度平滑的不足。該方法與其他增強或擴散的方法相比，可較好保持細節(jié)分量的信號幅度，與此同時還可減少偽Gibbs振蕩和sideband效應(yīng)。

3 實驗結(jié)果及分析

在本節(jié)中，我們將文中方法與傳統(tǒng)的Contourlet增強方法在性能上進行比較。這里采用一些標(biāo)準灰度圖像，通過對原始圖像分別加入了不同標(biāo)準差的高斯噪聲，并用兩種不同方法得到增強后的圖像進行比較。為了定量分析圖像抑噪和增強算法的性能，可利用以下兩種評價準則：一種是噪聲抑制的質(zhì)量指標(biāo)，另一種是邊緣保持指標(biāo)，被稱為品質(zhì)因數(shù)（Figure of Merit，）[6]。噪聲抑制是通過對比噪聲圖像和無噪圖像之間的結(jié)構(gòu)相似性來進行評估的。基于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)相似性的度量可定義為

其中μx和μ分別為無噪圖像x與抑噪和增強后的圖像y中的感興趣區(qū)域w的均值。定義FOM如下

這里nd表示抑噪和增強后的圖像中檢測到的邊緣像素點數(shù)目，nr表示作為參考的無噪圖像中檢測到的邊緣像素點數(shù)目，di是第i次檢測到的邊緣像素與最近的參考邊緣像素之間的歐氏距離，而γ是一個常量，這里將其置為0.11[4]。如果測量圖像與參考圖像非常相似，則ρ和的值均應(yīng)接近于1。

所有計算均由MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)，其運行環(huán)境為具有Intel Pentium－4 2.33－GHz處理器和 2－GB內(nèi)存的 PC機。 首先以分段平滑的箭頭圖像為例。圖3（a）中給出原始圖像，而圖 3（b）表示噪聲圖像，圖 3（c）為小波增強圖像，圖 3（d）為小波擴散結(jié)果圖像。圖3（e）為僅使用NSCT增強方法得到的結(jié)果，其分解層數(shù)為4?？梢钥吹?，即使NSCT變換在邊緣恢復(fù)方面效率很高，但仍然受到偽Gibbs和side－band效應(yīng)的干擾，圖3（f）為NSCT擴散方法得到的結(jié)果，擴散方程為Weickert擴散，其步長為0.2，迭代次數(shù)為200?？梢杂^察到，大多數(shù)人工效應(yīng)得到消除，且邊緣形狀幾乎未受影響，抑噪和增強的性能得到了有效提升。

圖3 分段光滑圖像的增強結(jié)果Fig.3 Enhancement result

圖4 展示了隨著高斯噪聲標(biāo)準差的逐漸變化，兩種方法取相同的擴散參數(shù)時，在性能上產(chǎn)生的變化。從圖中可看出，隨著標(biāo)準差的連續(xù)增大，ρ和FOM也隨之連續(xù)下降，所提出的結(jié)合方法噪聲抑制和邊緣增強方面保持了良好的性能。

其次以包含紋理信息和光滑區(qū)域的圖像為例。圖5（a）是一幅標(biāo)準 Lena圖像，圖 5（b）代表含噪圖像，圖 5（c）為利用Wavelet增強方法得到的結(jié)果，而圖5（d）由Wavelet擴散增強方法而得，擴散過程中步長為0.03，迭代次數(shù)為30。圖5（e）為利用NSCT增強方法得到的結(jié)果，而圖5（f）由NSCT擴散方法而得，擴散過程中步長為0.1，迭代次數(shù)為20。顯而易見的是，結(jié)合方法體現(xiàn)出其性能的優(yōu)越性，其在抑噪和增強的同時，較好的保持了紋理信息。

圖4 不同高斯噪聲標(biāo)準差下的圖像質(zhì)量指標(biāo)ρ和FOMFig.4 ρand FOM Under different gaussian noise standard deviation

圖5 分段光滑圖像的增強結(jié)果Fig.5 Enhancement result of Lena

表1 不同方法中和的數(shù)值比較Tab.5 ρand FOM under different methods

4 結(jié)束語

文中提出了一種將非下采樣Contourlet變換與非線性擴散相結(jié)合的噪聲圖像增強方法。首先通過改進的Starck函數(shù)對噪聲圖像進行增強，然后利用非線性擴散方法對得到的圖像的由NSCT小系數(shù)組成的圖像進行擴散并和由NSCT大系數(shù)組成的圖像相加得到最終的結(jié)果圖像以去除偽Gibbs效應(yīng)。通過此種結(jié)合，在保持圖像的邊緣和紋理信息的同時，有效抑制噪聲并增強特征信息，并能消減偽Gibbs效應(yīng)，從而大大提升圖像視覺質(zhì)量。

此外，實驗結(jié)果還可以根據(jù)不同的實際應(yīng)用選擇最優(yōu)參數(shù)，如調(diào)整閾值大小、步長以及迭代次數(shù)等。在本文中，需要進行兩次NSCT變換，花費較長時間，如何快速的實現(xiàn)NSCT變換將是今后研究的重點。

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