叢源材，吳青坡，周紹磊

（海軍航空工程學(xué)院 控制科學(xué)與工程系，山東 煙臺 264001）

目前關(guān)于確定采樣濾波器的推導(dǎo)過程通常采用高斯假設(shè)下的貝葉斯法則[1-2]，得到的非線性高斯濾波器可以看作是這一類濾波器的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)，在該結(jié)構(gòu)下只需要完成對一二階矩的近似就可得到相應(yīng)的確定采樣濾波器。

確定采樣型濾波器在使用過程中經(jīng)常會出現(xiàn)濾波發(fā)散的問題，這是由于確定采樣濾波器屬于局部濾波器，存在截?cái)嗾`差，誤差的大小直接影響濾波器的穩(wěn)定性，而且在整個(gè)濾波過程中，不同時(shí)刻不同狀態(tài)值下誤差的大小不一樣，很難提前確定，需要在濾波過程中加以補(bǔ)償。通常情況下，為了保證濾波器的穩(wěn)定性，通常會人為增大噪聲協(xié)方差矩陣，但是這樣會導(dǎo)致濾波收斂速度減慢和精度下降[3]。為了避免濾波器發(fā)散和精度降低，需要對濾波器的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，從而找到避免濾波器發(fā)散的方法。

雖然通過遞推貝葉斯估計(jì)可以給出確定采樣型濾波器的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)，但是不便于對濾波器進(jìn)行穩(wěn)定性分析。目前對濾波器的穩(wěn)定性研究，主要基于線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論。對于非線性濾波器，通常是對非線性系統(tǒng)經(jīng)過一階泰勒級數(shù)展開線性化之后，判斷其穩(wěn)定性[4-7]，因此只適用于一階連續(xù)可導(dǎo)的系統(tǒng)。本文采用統(tǒng)計(jì)線性化方法建立狀態(tài)誤差傳遞方程，對確定采樣型濾波器進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

1 統(tǒng)計(jì)線性化

給定非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測方程

xk為n維狀態(tài)向量；yk為 m維量測向量；wk和vk分別為量測噪聲。

確定采樣型濾波器的濾波過程如下：

1）根據(jù)k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值x^k和協(xié)方差矩陣Pk選取采樣點(diǎn){σi，ωi}i=1，…，l；

2）狀態(tài)傳遞方程：

3）量測更新方程：

給定非線性方程

對方程進(jìn)行線性化得到

定義線性化誤差

定義二次型性能指標(biāo)

將式（16）分別對A和b求導(dǎo)并令其結(jié)果為零

記 x=Ex、y=Ey、Pxx=E[（x－x）（x－x）T]、Pyx=E[（y－y）（x－x）T]，求解式和式可得使得該性能指標(biāo)最小的A和b為

將和帶入到中得，

由于

因此，在統(tǒng)計(jì)意義下，式是式的最優(yōu)線性化。

線性化誤差的方差陣

選取點(diǎn)集{xi}，通過非線性方程就存在著點(diǎn)集{yi}與之對應(yīng)，在統(tǒng)計(jì)線性化時(shí)，所用到隨機(jī)變量的一二階矩通過一組點(diǎn)集{（xi，yi），i=1，…，r}得到。 如果隨機(jī)向量 x 與 y 之間存在著某種對應(yīng)的關(guān)系，那么可以通過隨機(jī)向量的均值和協(xié)方差矩陣建立它們之間的線性關(guān)系。

2 統(tǒng)計(jì)線性化的采樣實(shí)現(xiàn)

對方程和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)線性化得到新的狀態(tài)方程和量測方程

在對非線性方程的統(tǒng)計(jì)線性化時(shí)需要用到的統(tǒng)計(jì)特征量通過采樣點(diǎn)來計(jì)算，其中xk和P^k為k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值x^k和協(xié)方差矩陣 Pk。 根據(jù)x^k和 Pk進(jìn)行采樣，得到采樣點(diǎn){σi，ωi}i=1，…，l，將采樣點(diǎn)代入系統(tǒng)狀態(tài)方程得到一組新的采樣點(diǎn){ χi，ωi}i=1，…，l，再將{ χi，ωi}i=1，…，l代入量測方程中得到采樣點(diǎn){ξi，ωi}i=1，…，l。

3 確定采樣型濾波器的穩(wěn)定性分析

首先給出濾波器穩(wěn)定的定義：

定義1濾波器是穩(wěn)定的，要求估計(jì)誤差是有界的，即

定義2濾波器是穩(wěn)定收斂的，則要求估計(jì)誤差是均方意義下指數(shù)有界的，即存在實(shí)數(shù) β，υ＞0，0＜α＜1，使得

關(guān)于濾波器的穩(wěn)定收斂問題，有如下引理：

引理 1 如果存在隨機(jī)過程 V（ek）和實(shí)數(shù) vmin，vmax，μ＞0，以及 0＜α≤1，有下式成立

那么隨機(jī)過程ek是均方意義下指數(shù)有界的，即

根據(jù)引理1，首先在統(tǒng)計(jì)線性化的基礎(chǔ)上建立估計(jì)誤差的傳遞方程，從而將確定采樣型濾波器的穩(wěn)定性分析問題轉(zhuǎn)化為對線性系統(tǒng)的濾波穩(wěn)定性分析。

3.1 估計(jì)誤差傳遞方程

k時(shí)刻的狀態(tài)真實(shí)值為xk，估計(jì)值為x^k，估計(jì)誤差為x~k=xk－x^k，以輔助對角矩陣的形式表示線性化誤差[7]。

k+1時(shí)刻的預(yù)測誤差為

量測誤差為

預(yù)測協(xié)方差矩陣為

進(jìn)一步分析，可以得到估計(jì)誤差傳遞方程

令 Ak+1=βk+1Fk+1，Bk+1=αk+1Hk+1，Ck+1=I－Kk+1αk+1Hk+1，Gk+1=αk+1Hk+1則式（41）簡寫為

濾波增益為

協(xié)方差矩陣為

由式（42）～（44）將確定采樣型濾波器的穩(wěn)定性分析問題轉(zhuǎn)化為對線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。

3.2 濾波器穩(wěn)定性定理

根據(jù)前面建立的誤差傳遞方程，得到如下穩(wěn)定性定理：定理1對于非線性隨機(jī)系統(tǒng)的確定采樣型濾波器，在每個(gè)時(shí)刻，滿足如下條件：

1）存在實(shí)數(shù) amin，amax，bmin，bmax，cmax，gmin，gmax，使得如 下邊界條件成立

2）存 在 實(shí) 數(shù) pmin，pmax，qmax，rmax，ξmin，ζmin，ζmax，使得如下邊 界條件成立

其中

定理 1 中要求矩陣 Ak+1、Bk+1、Ck+1、Gk+1是有界的， 在統(tǒng)計(jì)線性化的結(jié)構(gòu)下，這些矩陣是由狀態(tài)量和量測量的協(xié)方差矩陣決定的，也就是說相關(guān)的協(xié)方差矩陣必須是有界的，當(dāng)條件滿足的情況下，在有限能量系統(tǒng)中，通過一組有限個(gè)采樣點(diǎn)計(jì)算得到的協(xié)方差矩陣是有界的。條件是由線性系統(tǒng)的可觀測性決定的，文獻(xiàn)[8]中對此有詳細(xì)討論。非線性系統(tǒng)穩(wěn)定工作的一個(gè)重要前提就是噪聲有界，因此條件和是滿足的。由于誤差矩陣和受初始誤差的影響較大，對于條件和并不能夠保證滿足，這也是導(dǎo)致濾波器不穩(wěn)定的主要原因，考慮到誤差[9]矩陣中包含系統(tǒng)噪聲和量測噪聲的協(xié)方差矩陣，因此，可以對噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行調(diào)整，從而保證條件和可以滿足，但是有可能會導(dǎo)致濾波器的精度下降。

4 結(jié) 論

本文分析了基于線性回歸的確定性采樣濾波器的穩(wěn)定性條件，在實(shí)際應(yīng)用中，通常會采用各種方法使得初始誤差在系統(tǒng)可承受的范圍內(nèi)，而導(dǎo)致確定采樣型濾波器發(fā)散的主要原因是協(xié)方差矩陣出現(xiàn)非正定或奇異的情況。

針對確定采樣型濾波器的穩(wěn)定性分析，本文提出了一種基于統(tǒng)計(jì)線性化的穩(wěn)定性進(jìn)行分析方法。得到的結(jié)論與泰勒級數(shù)展開的方法一致，但是不需要系統(tǒng)方程一階連續(xù)可導(dǎo)，適用范圍更廣。

[1]K Ito，K Xiong.Gaussian filters for nonlinear filtering problems[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2000，45（5）:910－927.

[2]I Arasaratnam，SHaykin.Cubature kalman filters[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2009，54（6）:1254-1269.

[3]T Lefebvre，H Bruyninckx，et a1.Comment on “a new method for nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimations”[J].IEEE Transations on Automatic Control，2002，47（8）:1406-1408.

[4]Xiong K，Zhang H Y，Chan CW.Performance evaluation of UKF-based nonlinear filtering[J].Automatica，2006，42（2）:261-270.

[5]Xu J，Wang S，Dimirovski G M，et al.Stochastic stability of the continuous-time Unscented Kalman Filter[C]//Decision and Control，2008.CDC 2008.47th IEEE Conference on.IEEE，2008:5110-5115.

[6]LI Li，XIA Yuan-qing.Stochastic stability of the Unscented Kalman Filter with intermittent observations[J].Automatica，2012，48（5）:978-981.

[7]Dymirkovsky G.New results on stochastic stability of discrete-time Unscented Kalman Filter[C]//2012 7th IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications（ICIEA），2012:1543-1548.

[8]Boutayeb M，Aubry D.A strong tracking extended Kalman observer for nonlinear discrete-time systems [J].IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44（8）:1550-1556.

[9]徐峰，張少博，陳海峰.發(fā)動(dòng)機(jī)熱試車數(shù)據(jù)測量誤差分析及處理方法[J].火箭推進(jìn)，2012（4）:72-75.XU Feng，ZHANG Shao-bo，CHEN Hai-feng.Error analysis and processing of engine hot test data[J].Journal of Rocket Propulsion，2012（4）:72-75.