崔加鑫，宋貴寶

（海軍航空工程學(xué)院，山東煙臺(tái) 264001）

0 引言

導(dǎo)彈是投資巨大、長期貯存、一次性使用的裝備。在長期貯存過程中導(dǎo)彈的貯存可靠性隨著貯存時(shí)間的延長會(huì)下降，這會(huì)直接影響其戰(zhàn)備完好率和任務(wù)成功率。因此導(dǎo)彈武器的貯存可靠性的評(píng)估是非常有必要的，其有利于找出其貯存失效規(guī)律，能夠及時(shí)排除故障隱患，以保持其良好的性能?，F(xiàn)代導(dǎo)彈裝備的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，造價(jià)也越來越高。這種情況下，需要大量樣本的傳統(tǒng)試驗(yàn)鑒定方法不再適用，因?yàn)榘嘿F的導(dǎo)彈武器系統(tǒng)若進(jìn)行大量的試驗(yàn),其代價(jià)是難以接受的。而以小樣本為基礎(chǔ)的Bayes方法可以利用以往積累的數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合少量的現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，能大大減少試驗(yàn)樣本數(shù)，節(jié)省了試驗(yàn)的時(shí)間和費(fèi)用。

1 導(dǎo)彈貯存可靠性的概念及主要指標(biāo)參數(shù)

所謂導(dǎo)彈貯存可靠性是指導(dǎo)彈在一定的貯存條件下和一定的貯存時(shí)間內(nèi)，保持自身功能的能力。導(dǎo)彈的可靠性越高，導(dǎo)彈就越能保持其性能的能力就越強(qiáng)。導(dǎo)彈可靠性的指標(biāo)參數(shù)主要有：貯存可靠度，可靠貯存壽命和失效率。

1.1 貯存可靠度

導(dǎo)彈的貯存可靠度是指在規(guī)定時(shí)間t內(nèi)和規(guī)定的貯存條件下，維持其規(guī)定功能的概率，它是時(shí)間t的函數(shù)，記為R(t)。當(dāng)時(shí)間t增大時(shí)，R(t)逐漸減少。

設(shè)隨機(jī)變量T是系統(tǒng)正常工作時(shí)間，則有：

1.2 可靠貯存壽命

設(shè)產(chǎn)品的可靠度函數(shù)為R(t)，可靠貯存壽命指合格產(chǎn)品在規(guī)定的貯存條件下，滿足規(guī)定貯存可靠度R(0＜R＜1)要求的貯存時(shí)間。通常用TRL表示。

設(shè)隨機(jī)變量T表示導(dǎo)彈的貯存壽命,TRL表示其可靠貯存壽命，R表示貯存可靠度，三者關(guān)系可表示為:

式中1-α為規(guī)定的導(dǎo)彈貯存可靠度。

導(dǎo)彈的可靠貯存壽命越長，說明導(dǎo)彈貯存可靠度下降的速率就越慢，也從側(cè)面反應(yīng)了導(dǎo)彈抵御環(huán)境因子影響的能力就越強(qiáng)。

1.3 失效率

在規(guī)定的技術(shù)條件下，失效率λ(t)是指導(dǎo)彈系統(tǒng)貯存一段時(shí)間后，單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生失效（或故障）的概率。就是導(dǎo)彈在(0,t)內(nèi)正常工作的條件下，在(t,t+Δt)內(nèi)發(fā)生故障的條件概率。

如果產(chǎn)品的失效分布函數(shù)為F(t),失效概率分布函數(shù)為f(t)，則可將失效率和可靠度的關(guān)系表示為：

2 Bayes統(tǒng)計(jì)分析方法

2.1 Bayes統(tǒng)計(jì)分析的基本思想

Bayes方法解決問題的思路不同于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法。它與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法的區(qū)別是：Bayes方法在保證決策風(fēng)險(xiǎn)盡量小的情況下，應(yīng)用一切可以利用的信息。這些信息不僅僅包括現(xiàn)場(chǎng)的信息，還包括現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)之前的信息，也就是驗(yàn)前信息。而驗(yàn)前信息的獲取有很多不一樣方式，例如通過專家經(jīng)驗(yàn)獲得的信息，以往同類型產(chǎn)品的試驗(yàn)信息，還有通過仿真獲取的試驗(yàn)信息，以此確定其驗(yàn)前分布，然后根據(jù)試驗(yàn)信息利用Bayes公式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和推斷，而經(jīng)典統(tǒng)計(jì)法只利用現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)估。

2.2 Bayes方法應(yīng)用的一般過程

1）收集所要試驗(yàn)的產(chǎn)品或相同類型產(chǎn)品的歷史試驗(yàn)數(shù)據(jù)，將這些信息轉(zhuǎn)化成未知參數(shù)θ的分布，稱為驗(yàn)前分布π(θ)。

2）通過對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)，獲取試驗(yàn)數(shù)據(jù)X＝(x1,x2,…,xn)，并形成似然函數(shù)L(θ|X)；

3）運(yùn)用Bayes公式，將驗(yàn)前分布π(θ)與似然函數(shù)L(θ|X)融合，得到的θ驗(yàn)后分布π(θ|X)。4.根據(jù)驗(yàn)分布π(θ|X)，推斷出未知參數(shù)θ的點(diǎn)估計(jì)，區(qū)間估計(jì)等。

3 基于失效率的導(dǎo)彈貯存可靠性Bayes估計(jì)

3.1 基本假設(shè)

1）假設(shè)導(dǎo)彈的壽命是服從指數(shù)分布的，即f(t|λ)＝λe-λt，λ＞0。其中，分布參數(shù)λ為導(dǎo)彈的失效率。

2）假定對(duì)M枚導(dǎo)彈進(jìn)行貯存壽命試驗(yàn)（獨(dú)立試驗(yàn)），得到失效時(shí)間數(shù)據(jù)為:

對(duì)于定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)，N為指定的失效數(shù)。對(duì)于定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)，τ為預(yù)先指定的試驗(yàn)終止時(shí)間，此時(shí)失效數(shù)N是隨機(jī)的。

3.2 導(dǎo)彈貯存可靠性Bayes模型

1）通過現(xiàn)場(chǎng)失效數(shù)據(jù)t1≤t2≤…≤tN，建立似然函數(shù)為：

其中T為總試驗(yàn)時(shí)間：

由于兩種截尾試驗(yàn)的似然函數(shù)是一樣的，在Bayes分析中兩者也是完全類似的，因此此處我們僅討論定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)。

2）相同類型的導(dǎo)彈已經(jīng)經(jīng)過歷次試驗(yàn)，有驗(yàn)前信息可以利用。此時(shí)可以將前一段（歷次）試驗(yàn)后的λ的驗(yàn)后密度作為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的驗(yàn)前信息，那么λ就取共軛驗(yàn)前分布 Gamma分布作為它的驗(yàn)前分布。記此時(shí)它的驗(yàn)前分布為：

其中：0α、0β為超參數(shù)。0α、0β的統(tǒng)計(jì)意義為：在過去的試驗(yàn)中，總試驗(yàn)時(shí)間為0α，總失效數(shù)為0β。

3）根據(jù)驗(yàn)前分布和似然函數(shù)可得到驗(yàn)后分布：

也可表示為：

其中，N+β0為聯(lián)合失效次數(shù)，T+α0為聯(lián)合試驗(yàn)時(shí)間。由此可以看出,應(yīng)用驗(yàn)前信息的作用，相當(dāng)于現(xiàn)場(chǎng)失效次數(shù)N增加了β0次，而試驗(yàn)時(shí)間T延長了α0個(gè)單位時(shí)間。

3.3 導(dǎo)彈貯存可靠性Bayes點(diǎn)估計(jì)和置信限

1）失效率λ的Bayes估計(jì)和置信上限。

在平方損失函數(shù)之下，λ的Bayes估計(jì)為：

下面對(duì)λ進(jìn)行置信估計(jì)，只需注意在給定N之下，2(T+α0)·λ的概率密度函數(shù)為：

很明顯，它是自由度為 2(N+β0)的χ2分布密度函數(shù)。于是可以得到λ的單側(cè)置信上界為：

2）可靠度R的Bayes估計(jì)和置信下限。

上面給出了失效率λ的Bayes估計(jì)和置信估計(jì)。由此，可以求出導(dǎo)彈在t時(shí)刻內(nèi)正常工作的概率R＝e-λt的Bayes估計(jì)及置信估計(jì)。

λ的驗(yàn)前密度為 Gamma密度函數(shù)G(λ;α0,β0)，由于λ＝-lnRt，可推算出R的驗(yàn)后密度為：

于是，在二次損失函數(shù)之下，可靠度R的 Bayes估計(jì)為：

利用λ的置信上界，可知R的置信概率為1-α的置信下界為：

4 實(shí)例分析

某型導(dǎo)彈的故障主要發(fā)生在彈上電氣系統(tǒng)和制導(dǎo)控制系統(tǒng)等電子產(chǎn)品密集部位，這些部位發(fā)生故障后導(dǎo)彈將無法正常工作，因此可以通過分析這些部位的故障數(shù)據(jù)來確定導(dǎo)彈的可靠性水平，現(xiàn)有導(dǎo)彈30枚，經(jīng)過一段時(shí)間的貯存后，共有10枚導(dǎo)彈發(fā)生故障，故障時(shí)間分別為：4860，10016，11201，14982，35942，43689，48792，50876，57213，62105（小時(shí)）；且通過查閱相關(guān)技術(shù)資料，可得到同類型導(dǎo)彈貯存的歷史數(shù)據(jù)：總試驗(yàn)時(shí)間α0＝2 864752，總失效數(shù)β0＝18。

4.1 求λ的點(diǎn)估計(jì)和置信上限

根據(jù)題意可得現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)總時(shí)間T和失效數(shù)

然后由公式（7）可求得λ的點(diǎn)估計(jì)為：

取置信水平 1-α＝0.95，則λ的單側(cè)置信上界為：

4.2 求可靠度R的點(diǎn)估計(jì)和置信下限

根據(jù)公式（11）可求得R的點(diǎn)估計(jì)如下:

通過此式，可得到不同貯存時(shí)間（年）時(shí)的導(dǎo)彈可靠性水平，見下表：

表1 不同貯存時(shí)間(年)時(shí)的導(dǎo)彈可靠性水平

取置信水平 1-α=0.95，則R的單側(cè)置信下界為：

5 結(jié)論

本文針對(duì)導(dǎo)彈貯存可靠性驗(yàn)證過程中樣本少的問題，利用Bayes方法，融合歷史試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立了基于失效率的貯存可靠性驗(yàn)證的Bayes模型,通過推斷得到了導(dǎo)彈貯存可靠性的Bayes點(diǎn)估計(jì)和置信限。并通過實(shí)例驗(yàn)證了此模型的可行性，而且此模型也可用到其它裝備的可靠性評(píng)估中。

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