李磊，郭建國(guó)，周軍，王國(guó)慶

（1.西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，西安710072；2.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京100076）

一種新的有限時(shí)間收斂的末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)*

李磊1，郭建國(guó)1，周軍1，王國(guó)慶2

（1.西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，西安710072；2.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京100076）

針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的三維攔截問(wèn)題，提出了一種基于有限時(shí)間收斂的新型末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法。首先針對(duì)三維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，提出了末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的基本設(shè)計(jì)原則和要求。其次，提出了一種新的非線性積分型Terminal滑模面，避免了傳統(tǒng)Terminal滑模的奇異問(wèn)題。并針對(duì)彈目相對(duì)學(xué)模型，設(shè)計(jì)一種具有魯棒性的積分型Terminal滑模制導(dǎo)律，同時(shí)基于李亞普諾夫穩(wěn)定性理論嚴(yán)格證明了在該制導(dǎo)律作用下，不僅可以達(dá)到零化彈目視線角速率的要求，而且也保證了末制導(dǎo)系統(tǒng)在有限時(shí)間的穩(wěn)定性。最后通過(guò)對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)的攔截仿真，與比例導(dǎo)引律相比，不僅具有更高制導(dǎo)精度，而且也實(shí)現(xiàn)了制導(dǎo)系統(tǒng)有限時(shí)間的穩(wěn)定。

制導(dǎo)律，有限時(shí)間收斂，Terminal滑模，視線角速率

0 引言

傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)律是以目標(biāo)不機(jī)動(dòng)和導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀無(wú)延遲且無(wú)控制約束情況下所得到的一種最優(yōu)制導(dǎo)律，而隨著當(dāng)前各種高空高速大機(jī)動(dòng)飛行器的出現(xiàn)與發(fā)展，傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)律的制導(dǎo)性能無(wú)法獲得滿意制導(dǎo)效果［1］。

由于滑動(dòng)模態(tài)對(duì)于內(nèi)部攝動(dòng)和外界干擾具有很強(qiáng)的魯棒性，因此，對(duì)于滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的研究已經(jīng)取得了大量成果［2-4］。文獻(xiàn)［2］是基于零化視線角速率的思想，設(shè)計(jì)了滑模制導(dǎo)律。而文獻(xiàn)［3］則是基于零化脫靶量的要求來(lái)設(shè)計(jì)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。但以上兩類(lèi)思想設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的方法均建立在傳統(tǒng)李亞普諾夫漸近穩(wěn)定性理論基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)原理上只能保證當(dāng)時(shí)間趨向于無(wú)窮大時(shí)，相應(yīng)制導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)趨向于零，文獻(xiàn)［4-6］探討了有限時(shí)間收斂的變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［5-6］均采用含有狀態(tài)分?jǐn)?shù)冪次的Terminal滑模，設(shè)計(jì)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。由于含有狀態(tài)分?jǐn)?shù)（小于1）冪次的Terminal滑模一般情況下具有奇異問(wèn)題［7］，因此，所設(shè)計(jì)的滑模必須解決該問(wèn)題，這樣影響到滑模收斂的性能［8］。

為了能夠保證制導(dǎo)系統(tǒng)在有限時(shí)間的性能，本文提出了一種新的積分型Terminal滑模，設(shè)計(jì)了非線性魯棒末制導(dǎo)律，并嚴(yán)格證明了末制導(dǎo)系統(tǒng)能夠零化彈目視線角速率，并實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間的穩(wěn)定性。最后數(shù)字仿真驗(yàn)證了制導(dǎo)律的有效性。

1 三維末端彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

針對(duì)如圖1所示的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，根據(jù)文獻(xiàn)［9］，在視線坐標(biāo)系下，得到三維末端彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為：

圖1 三維攔截幾何圖

其中R為彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)距離，a，θ分別為兩個(gè)視線角，ami與ati（i=x,y,z）分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)在視線坐標(biāo)系上的加速度分量。

由文獻(xiàn)［9］可知，描述三維末端攔截問(wèn)題的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型就是后兩個(gè)方程。針對(duì)該模型，末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的基本設(shè)計(jì)原則和要求為：

（1）彈道要盡可能平滑，由制導(dǎo)系統(tǒng)的準(zhǔn)平行接近原理可知，在導(dǎo)彈攔截的末制導(dǎo)段，要以零化彈目視線角速率為原則；

（2）由于末制導(dǎo)段飛行時(shí)間有限，所以整個(gè)末制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)該是有限穩(wěn)定。

針對(duì)以上兩個(gè)基本設(shè)計(jì)原則和要求，本文提出了新型的Terminal滑模制導(dǎo)律。

2 有限時(shí)間收斂的末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為了能夠設(shè)計(jì)得到有限時(shí)間收斂的末制導(dǎo)律，這里提出一種新的積分型Terminal滑模面，并基于該滑模來(lái)設(shè)計(jì)具有魯棒性的非線性末制導(dǎo)律。

2.1 新型的Terminal滑模

提出一種新的積分型Terminal滑模為式中l(wèi)=q/p，q，p均為奇數(shù)，且q＞p，a＞0，b＞0的常數(shù)。當(dāng)s=0，可得

為了證明系統(tǒng)（2）是有限時(shí)間穩(wěn)定的，先引入以下引理：

引理1［10］：考慮系統(tǒng)=（fx），（f0）=0，x?Rn，其中（f·）：Rn→Rn是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。假定存在一個(gè)連續(xù)正定函數(shù)V（x）：U→R，其中U是一個(gè)開(kāi)領(lǐng)域，且滿足，其中c＞0，a?（0,1），則=（fx）在原點(diǎn)時(shí)有限時(shí)間穩(wěn)定，且收斂時(shí)間T滿足T≤V1-a（V（0））/c（1-α）。

選擇正定函數(shù)：

則

可由引理1可知系統(tǒng)（2）在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。由此可知，如果系統(tǒng)狀態(tài)在滑動(dòng)模態(tài)s=0上，則狀態(tài)可在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到原點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間穩(wěn)定。

2.2 有限時(shí)間穩(wěn)定的非線性末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為了便于說(shuō)明末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法，這里主要以縱向平面內(nèi)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型為受控對(duì)象，并充分考慮末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的基本設(shè)計(jì)原則和要求，來(lái)完成末制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)。

利用所提出的Terminal滑模設(shè)計(jì)新的制導(dǎo)律，可得以下定理：

定理1：針對(duì)縱向彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型（3），如果末制導(dǎo)律采取如下形式：

其中ε＞δ，則可在有限時(shí)間內(nèi)制導(dǎo)系統(tǒng)（3）的狀態(tài)收斂到原點(diǎn)，即保證了末制導(dǎo)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定，并實(shí)現(xiàn)了零化彈目視線角速率的目的。

證明：考慮Terminal滑模（1），可選取a=b=1/R＞0。可得

引入正定函數(shù)：

對(duì)V求導(dǎo)，得：

其中c=（ε＞δ）/R1/2＞0，由引理1可知，滑動(dòng)模態(tài)s在有限時(shí)間收斂到原點(diǎn)。

當(dāng)s=0，由2.1部分的推導(dǎo)知，狀態(tài)x是有限時(shí)間穩(wěn)定，因此，末制導(dǎo)系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定，且實(shí)現(xiàn)了零化彈目視線角速率的目的。

根據(jù)以上定理1，注意以下幾點(diǎn)：

（1）由定理1知，制導(dǎo)律（4）不會(huì)出現(xiàn)奇異問(wèn)題，因此，就避免了原來(lái)分?jǐn)?shù)（小于1）冪次Terminal滑模的奇異問(wèn)題。

（2）所得到該線性制導(dǎo)律（4）是非線性形式，主要由兩部分組成，第1部分為比例導(dǎo)引律的形式，而第2部分含有兩個(gè)符號(hào)函數(shù)和一個(gè)冪次項(xiàng)，是對(duì)比例導(dǎo)引的補(bǔ)償項(xiàng)。

（3）制導(dǎo)律（4）由于含中符號(hào)函數(shù)而不連續(xù)，為此可將飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，從而使其連續(xù)化，可得如下的制導(dǎo)律：

（5）側(cè)向平面的制導(dǎo)律可參考以上設(shè)計(jì)方法獲得。

3 數(shù)學(xué)仿真

下面通過(guò)在末制導(dǎo)段攔截大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的數(shù)字仿真，來(lái)分析和驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的有有限時(shí)間收斂的末制導(dǎo)律的有效性。

圖2～圖4分別為導(dǎo)彈采用有限時(shí)間穩(wěn)定的制導(dǎo)律下的視線角速率˙和制導(dǎo)指令ay的變化曲線。從圖2和圖3可以看出采用本文設(shè)計(jì)的非線性末制導(dǎo)律（TMGL）可以保證末制導(dǎo)系統(tǒng)在有限時(shí)間是穩(wěn)定的，并能在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)零化視線角速率的要求。從圖4中可以看到導(dǎo)彈的加速度指令不會(huì)發(fā)散，因此，不會(huì)產(chǎn)生奇異問(wèn)題。

圖2 視線角速率˙變化曲線（TMGL）

圖3 視線角速率˙變化曲線(（放大圖）（TMGL）

圖4 制導(dǎo)指令av變化曲線（TMGL）

圖5 視線角速率變化曲線（PN）

圖6 制導(dǎo)指令ay變化曲線（PN）

圖5和圖6分別為導(dǎo)彈采用比例導(dǎo)引律的視線角速率˙和制導(dǎo)指令ay的變化曲線。從圖5中明顯看到在比例導(dǎo)引律的作用下視線角速率在末端會(huì)出現(xiàn)趨向無(wú)窮大，而圖6中的加速度也會(huì)出現(xiàn)激增。最后，采用本文設(shè)計(jì)的末制導(dǎo)律，其脫靶量為0.77 m，而比例導(dǎo)引律的脫靶量為41.01 m，因此，本文設(shè)計(jì)有限時(shí)間穩(wěn)定的制導(dǎo)律極大地提高制導(dǎo)系統(tǒng)的制導(dǎo)精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以攔截導(dǎo)彈攻擊大機(jī)動(dòng)目標(biāo)為背景，對(duì)有限時(shí)間穩(wěn)定的末制導(dǎo)律進(jìn)行研究。首先提出一種基于有限時(shí)間穩(wěn)定的積分型Terminal滑模，其次針對(duì)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，基于末制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)原則和要求，設(shè)計(jì)了具有有限時(shí)間穩(wěn)定和魯棒性的非線性末制導(dǎo)律。利用Lyapunov穩(wěn)定理論嚴(yán)格證明了末制導(dǎo)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性，并達(dá)到了零化視線角速率的目的。最后，數(shù)字仿真也表明了這種新型的非線性制導(dǎo)律使導(dǎo)彈具有對(duì)付目標(biāo)大機(jī)動(dòng)的能力，比起比例導(dǎo)引律，這種制導(dǎo)律不僅可以在有限時(shí)間內(nèi)保證系統(tǒng)穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)零化視線角速率的目的，而且能夠獲得更好的制導(dǎo)精度。

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A New Terminal Guidance Law Design with Finite Time Convergence

LI Lei1，GUO Jian-guo1，ZHOU Jun1，WANG Guo-qing2
（1.Institute of Precision Guidance and Control，Northwestern Polytechnic University，Xi’an 710072，China；
2.R&D Center,China Academy of launch Vehicle Technology,Beijing 100076，China；）

For the case of a three-dimensional interception,a new nonlinear terminal guidance law with finite time convergence is proposed.Firstly，the basic design rules are given according to the mathematic model of three-dimensional relationship between missile and target.Secondly，a new integral sliding mode is present to avoid the singular problem of traditional terminal sliding mode.A robust terminal guidance law is designed，zeroing the rate of line-of-sight angle and finite time convergence stability of guidance system are strictly proven by Lyapunov stability theory.Finally an illustrative example is given to show that better precision and finite time convergence stability are obtained under the new guidance law for intercepting the target with maneuver than proportional navigation law.

Guidance law，finite time convergence，terminal sliding mode，rate of line-of-sight angle

TJ765

A

1002-0640（2015）12-0145-04

2014-11-14

2015-01-17

航天科技創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目（N14XW0001）

李磊（1977-），男，安徽利辛人，博士研究生。研究方向：飛行器制導(dǎo)、控制與仿真。