王源，徐金輝，陳嶸，肖杰靈，王平

(西南交通大學(xué)高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610031)

基于中點(diǎn)弦測(cè)法的軌道不平順精確值數(shù)學(xué)模型研究

王源，徐金輝，陳嶸，肖杰靈，王平

(西南交通大學(xué)高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610031)

弦測(cè)法是測(cè)量軌道不平順的一種基本方法，原理簡(jiǎn)單，使用方便，高效迅捷。傳統(tǒng)觀點(diǎn)是直接將弦測(cè)值作為軌道不平順的近似描述，這會(huì)不可避免地因基準(zhǔn)線變動(dòng)而產(chǎn)生較大誤差。針對(duì)該問題建立了一個(gè)描述中點(diǎn)弦測(cè)法本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，分析了軌道不平順與其弦測(cè)值之間的關(guān)系，構(gòu)造了一種計(jì)算軌道不平順精確值的迭代算法與快速算法，并采用數(shù)值仿真對(duì)弦測(cè)過程進(jìn)行模擬。結(jié)果顯示:迭代算法總體誤差較小，傳遞函數(shù)較好，但由于迭代次數(shù)等原因會(huì)產(chǎn)生端點(diǎn)誤差;快速算法以犧牲計(jì)算內(nèi)存為代價(jià)能達(dá)到較高精度，絕對(duì)誤差在1 μm以內(nèi)，傳遞函數(shù)效果極好，從而證明了所建立的數(shù)學(xué)模型的正確性與計(jì)算結(jié)果的精確性。

中點(diǎn)弦測(cè)法 軌道不平順 傳遞函數(shù) 數(shù)學(xué)模型

從20世紀(jì)中葉起，各國(guó)鐵路大都采用弦測(cè)法測(cè)量軌道不平順，以弦線作為測(cè)量的基準(zhǔn)線。由于該方法具有測(cè)量原理簡(jiǎn)單、使用方便、裝備便宜等優(yōu)點(diǎn)，一度得到世界范圍的廣泛應(yīng)用［1］。傳統(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為，弦測(cè)法的傳遞函數(shù)是隨著弦長(zhǎng)與軌道不平順波長(zhǎng)的比值變化的，有較嚴(yán)重的“缺陷”，只有在部分情況下才能正確測(cè)量或近似反映軌道的平順狀態(tài)［2-3］?；诖?，文獻(xiàn)［4］分析了三點(diǎn)偏弦的軌面復(fù)原方法，文獻(xiàn)［5］研究了四點(diǎn)弦軌面復(fù)原方法，文獻(xiàn)［6］提出“以小推大”公式以改善弦測(cè)法的適用性。然而這些方法均未能從根本上改變弦測(cè)法的本質(zhì)缺陷。

本文認(rèn)為，所謂“缺陷”是由于直接使用弦測(cè)值作為軌道不平順的近似描述產(chǎn)生的，這將不可避免地因基準(zhǔn)線變動(dòng)而產(chǎn)生較大誤差。針對(duì)此，本文建立了弦測(cè)法的數(shù)學(xué)模型，從理論上解釋了軌道不平順與其弦測(cè)值之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)通過弦測(cè)值這一相對(duì)信息可以反算得出真實(shí)的軌道不平順，最后借助數(shù)值仿真驗(yàn)證了該數(shù)學(xué)模型的正確性與計(jì)算結(jié)果的精確性。

1 弦測(cè)法的數(shù)學(xué)模型

弦測(cè)法測(cè)量原理如圖1所示，在直線段軌道上，設(shè)真實(shí)的軌道不平順y=f(x)，x為里程。圖中，AB為測(cè)量弦線，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，C為弦線的中點(diǎn)，則C處的弦測(cè)正矢值為CD，由于軌道不平順幅值為毫米級(jí)，AB弦與水平向的夾角θ足夠小，可以認(rèn)為CD值與CD'值近似相等。

圖1 弦測(cè)法示意

考慮到實(shí)際的軌道不平順只在有限里程范圍內(nèi)才有意義，可將f(x)定義在［xmin，xmax］，為了方便后面的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，這里將軌道不平順推廣到(-∞，∞)，則f(x)可以表示為

里程x處的弦測(cè)值g(x)可以表示為［1］

這里，控制測(cè)量步長(zhǎng)為L(zhǎng)/2，可以在每個(gè)L/2處得到一個(gè)弦測(cè)值。式(1)稱為從不平順f(x)到弦測(cè)值g(x)的正變換過程。然而，問題的關(guān)鍵在于如何利用g(x)逆推得到f(x)，將式(1)變換如下

從式(2)可知，里程x處的不平順值與弦測(cè)值g(x)、不平順值f(x-L/2)和f(x+L/2)有關(guān)，通過弦測(cè)法只能測(cè)得g(x)，然而f(x-L/2)與f(x+L/2)均未知，故由式(2)無法直接得到真實(shí)的不平順f(x)，但是由式(2)可構(gòu)造一個(gè)遞推式

進(jìn)一步遞推有

依次遞推下去，可以得到第n階公式

式中f0(x)是迭代的初值。

通過數(shù)學(xué)歸納法可證明式(5)即為式(3)的第n步遞推結(jié)果。分析式(5)可以發(fā)現(xiàn)，fn(x)由兩部分組成，其中第一部分只與g(x)有關(guān)，第二部分只與f0(x)有關(guān)，并且隨著n值的逐漸增大，由于初值f0(x)為有界收斂序列，可以證明

結(jié)合式(5)、式(6)、式(7)可以得到

從式(8)能夠發(fā)現(xiàn)f(x)可以僅用g(x)求出，通過式(8)可構(gòu)造一種迭代算法，以實(shí)現(xiàn)通過弦測(cè)值求出較準(zhǔn)確的不平順值。

2 軌道不平順的逆推算法

2.1 軌道不平順的迭代算法

圖2為軌道不平順迭代算法的示意圖，圖中AC， BD，CE為測(cè)量弦線，O，N分別為AC，BD、CE中點(diǎn)，P為MN中點(diǎn)。BM，CO，DN分別為B，C，D三處的L長(zhǎng)弦測(cè)值。

從圖2中能夠看出，C點(diǎn)的真實(shí)不平順|CC'|為

然后將CP值作為C點(diǎn)新的不平順近似值，再用該近似值修正B，D兩點(diǎn)的不平順值，根據(jù)式(10)的原理對(duì)每一個(gè)點(diǎn)的弦測(cè)值進(jìn)行修正，進(jìn)而得到不平順新的近似值，如此修正多次后，所得不平順近似值將收斂于真實(shí)不平順值，如式(11)所示。

該過程即構(gòu)成一套迭代算法，在迭代有限次之后即可發(fā)現(xiàn)不平順近似值趨于穩(wěn)定，此時(shí)對(duì)比原不平順與該迭代計(jì)算所得的近似不平順，即可發(fā)現(xiàn)兩者誤差很小。

2.2 逆推軌道不平順的快速算法

由于迭代過程計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，本文還針對(duì)此設(shè)計(jì)了一個(gè)快速算法，借助矩陣運(yùn)算跳過如上迭代過程。如果把不平順f(x)作離散采樣，轉(zhuǎn)化為向量T，采樣間隔L/2，把測(cè)得的弦測(cè)值記作向量G，則式(2)可以用矩陣的形式寫為

式中T為轉(zhuǎn)換矩陣，如式(13)所示

把式(12)稱為正變換方程，也即弦測(cè)值測(cè)量過程。通過G向量逆推求出F向量稱為反變換方程，這里需要找到一個(gè)逆轉(zhuǎn)換矩陣S，使得

將式(14)帶入式(12)可得

也即

式中，I為單位矩陣，因而S為T的逆矩陣。

該方法本質(zhì)是求解線性方程組，在該過程中需要儲(chǔ)存一個(gè)N階三對(duì)角矩陣，N為采樣數(shù)目。在矩陣維數(shù)N較小時(shí)可以通過求轉(zhuǎn)換矩陣的逆矩陣的方式迅速求解，在維數(shù)N較大時(shí)對(duì)系統(tǒng)內(nèi)存需求較多，因而只能采取上述占用內(nèi)存較少的迭代算法，或者可以考慮使用其他線性方程組求解方法。從這點(diǎn)看來，上文所述迭代算法本質(zhì)上即為雅克比迭代格式的一種描述。

3 弦測(cè)法的數(shù)值仿真過程

為了驗(yàn)證上面所述方法的可行性，本文采用數(shù)值仿真方法，通過MATLAB設(shè)計(jì)程序模擬弦測(cè)過程，并將測(cè)得的弦測(cè)值通過本文所述迭代算法與快速算法反算軌道不平順。仿真過程分為三部分:第一部分采用數(shù)值仿真模擬弦測(cè)過程;第二部分根據(jù)弦測(cè)數(shù)據(jù)逆推真實(shí)不平順;第三部分對(duì)比分析逆推不平順的效果、傳遞函數(shù)等。仿真流程如圖3所示。

圖3 仿真流程

第一部分模擬弦測(cè)過程，設(shè)置弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，采樣間隔為L(zhǎng)/2，算法流程如圖4所示。第二部分逆推過程的算法流程如圖5所示。第三部分分別從時(shí)域上的誤差與頻域上的傳遞函數(shù)兩個(gè)角度出發(fā)分析計(jì)算結(jié)果的正確性與準(zhǔn)確性。

4 實(shí)例驗(yàn)證

4.1 弦測(cè)過程數(shù)值仿真

本文弦測(cè)法仿真使用的軌道不平順數(shù)據(jù)通過美國(guó)六級(jí)軌向不平順譜反演獲得。采用文獻(xiàn)［7］提出的方法，首先根據(jù)軌道不平順功率譜密度與頻譜幅值的關(guān)系，得出不平順的頻域幅值，并給出隨機(jī)相位;然后根據(jù)實(shí)數(shù)離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性，將頻譜擴(kuò)展完整;最后通過傅里葉逆變換得到軌道不平順的模擬時(shí)域樣本。不平順樣本截止波長(zhǎng)為1～200 m，采樣間隔為0.25 m。圖6為美國(guó)六級(jí)軌向不平順譜的反演樣本，圖7為反演樣本的模擬譜與美國(guó)六級(jí)軌向不平順譜的比較，可以看出模擬譜與美國(guó)六級(jí)軌向不平順譜幾乎完全重合。

圖4 弦測(cè)法測(cè)量過程算法流程

圖5 逆推軌道不平順的迭代算法流程

圖6 美國(guó)六級(jí)軌向不平順譜的反演樣本

圖7 反演樣本的模擬譜與美國(guó)六級(jí)譜比較

反演不平順樣本長(zhǎng)度取為1 km，用固定0.5 m弦線以0.25 m的步長(zhǎng)測(cè)量得到弦測(cè)值，弦測(cè)結(jié)果如圖8所示。

圖80 .5 m弦測(cè)值

4.2 逆推軌道不平順

分別采用迭代算法與快速算法對(duì)弦測(cè)值進(jìn)行反演。迭代算法的計(jì)算精度與迭代步數(shù)有關(guān)，對(duì)于不同的測(cè)量弦長(zhǎng)，要達(dá)到同樣的精度其迭代步數(shù)是不一樣的。對(duì)于固定的軌道長(zhǎng)度，測(cè)量弦線越短所需迭代步數(shù)越多。另外，由于迭代算法存在端點(diǎn)效應(yīng)，本文控制精度選用的是中間80%范圍內(nèi)的測(cè)量數(shù)據(jù)。對(duì)1 000 m軌道長(zhǎng)度，采用0.5 m測(cè)量弦長(zhǎng)，并設(shè)置迭代步數(shù)為10萬次，其計(jì)算效果如圖9(a)所示，圖9(b)為絕對(duì)誤差曲線，在100～900 m范圍內(nèi)數(shù)據(jù)吻合得很好，而兩邊出現(xiàn)邊緣效應(yīng)，總體而言在100～900 m范圍內(nèi)誤差＜0.5 mm，精度很高。

圖9 迭代算法逆推不平順與真實(shí)不平順的對(duì)比

通過快速算法計(jì)算得到的軌道不平順與真實(shí)不平順的結(jié)果如圖10(a)所示，絕對(duì)誤差曲線如圖10(b)所示?？梢娫谡畏秶鷥?nèi)誤差在1 μm以內(nèi)?？焖偎惴ㄓ?jì)算過程占用的內(nèi)存遠(yuǎn)多于迭代算法，在工程中測(cè)量點(diǎn)過多時(shí)宜采用迭代算法。

圖10 快速算法逆推不平順與真實(shí)不平順對(duì)比

4.3 傳遞函數(shù)比較

圖11(a)為直接使用10 m弦線測(cè)得弦測(cè)值的傳遞函數(shù)，圖11(b)為先測(cè)得0.5 m弦測(cè)值，再通過“以小推大”公式計(jì)算所得10 m弦測(cè)值所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。由于通過美國(guó)六級(jí)譜反演的不平順截止波長(zhǎng)為1～200 m，因而傳遞函數(shù)的有效范圍為1～200 m。從圖中可見傳遞函數(shù)總體較差，僅個(gè)別波長(zhǎng)處傳遞函數(shù)為1，說明使用10 m弦測(cè)值不能很好地描述軌道的不平順狀態(tài)。

圖11兩種方法的傳遞函數(shù)

圖12 為兩種逆推算法的傳遞函數(shù)。圖12(a)所示的迭代算法計(jì)算得到的不平順的傳遞函數(shù)在1～200 m范圍內(nèi)在1上下波動(dòng)，大部分值為1，有個(gè)別波動(dòng)是由于邊界效應(yīng)所致。圖12(b)所示的快速算法傳遞函數(shù)在1～200 m范圍內(nèi)穩(wěn)定在1左右，這也驗(yàn)證了快速算法高精度的特點(diǎn)，當(dāng)然這種高精度是以占用更多的計(jì)算資源獲得的。

圖12 兩種遞推算法的傳遞函數(shù)

5 結(jié)論

傳統(tǒng)觀點(diǎn)直接將弦測(cè)值作為不平順的近似，這實(shí)質(zhì)上是對(duì)弦測(cè)數(shù)據(jù)的一種極大浪費(fèi)，本文研究了一種新的方法，借助測(cè)得的弦測(cè)值逆推真實(shí)的軌道不平順，并且能夠達(dá)到足夠的精度，傳遞函數(shù)效果極好。目前，本文涉及的數(shù)學(xué)模型為理論模型，僅適用于不計(jì)測(cè)量誤差時(shí)軌道不平順的推算，對(duì)于包含測(cè)量誤差的不平順反演則需要進(jìn)一步研究。

［1］羅林，張格明，吳旺青，等.輪軌系統(tǒng)軌道不平順狀態(tài)控制［M］.北京:中國(guó)鐵道出版社，2006.

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Research on mathematical model of accurate value of track irregularity based on midpoint chord measurement method

WANG Yuan，XU Jinhui，CHEN Rong，XIAO Jieling，WANG Ping
(MOE Key Laboratory of High-speed Railway Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu Sichuan 610031，China)

Chord measuring method is a basic method for measuring track irregularity，its theory is easily understood and it is convenient，quick and effective.T raditional method is considering the chord measuring value as approximate track irregularity，which inevitably leads to the big error because of the base line changing.In order to solve this problem，a mathematical model describing the nature of midpoint chord measuring method was established，the relationship between track irregularity and the chord measuring value was discussed，an iterative algorithm and a fast algorithm for calculating accurate track irregularity value were designed，the chord measuring process was simulated by numerical simulation.T he results showed that the iterative algorithm has less overall error，the transfer function is good and the endpoint error occurs because of such reasons as number of iterations，while the fast algorithm achieves a high accuracy at the expense of computing memory，the absolute error of which is less than 1 μm，the effect of transfer function is excellent，which proves the correctness of the mathematical model and the accuracy of the calculation results.

M idpoint chord measuring method;T rack irregularity;T ransfer function;M athematical model

U216

A

10.3969/j.issn.1003-1995.2015.05.35

1003-1995(2015)05-0139-05

(責(zé)任審編李付軍)

2014-09-28;

2014-12-30

國(guó)家自然科學(xué)基金——高鐵聯(lián)合基金項(xiàng)目(U1234201)

王源(1991—)，男，四川南充人，碩士研究生。