余亞東，侯為根

(安徽工業(yè)大學數(shù)理科學與工程學院，安徽馬鞍山243032)

二維空間中有唯一領導者的集群模型分析

余亞東，侯為根

(安徽工業(yè)大學數(shù)理科學與工程學院，安徽馬鞍山243032)

為了研究平面內(nèi)的動物集群在運動過程中的同步和聚集現(xiàn)象，對具有唯一領導者的動物集群進行分析，建立了每個個體的運動方向隨時間更新的數(shù)學模型。運用矩陣理論證明這種動物集群模型在運動過程中具有同步性和聚集性，從而證明動物集群通過個體間的感知作用可以實現(xiàn)同步運動。

集群；領導者；同步；隨機矩陣

對于二維空間中的動物集群運動（如草原上馬群的奔跑），雖然每個個體在初始時刻的速度方向不同，但是最終整個集群中所有個體會具有相同的運動方向，即該集群最終會同步。對于這一現(xiàn)象國內(nèi)外眾多學者做了大量研究，提出了著名的Boid模型和Vicsek模型等并對此現(xiàn)象加以解釋和證明。如文獻[1-4]研究了基于動物個體之間相互感知作用的Vicsek模型，其中：文獻[1]研究了Vicsek模型連通和同步，得到了Vicsek模型連通的條件；文獻[2-3]對Vicsek模型進行改進，提高了收斂效率；文獻[4]給出了Vicsek模型在工程科學中的應用實例。文獻[5-7]給出了基于個體間吸引力與排斥力作用的集群運動模型，其中文獻[5]研究了有界交互作用下的集群運動，并對此進行仿真，表明集群系統(tǒng)在此條件下能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定收斂；文獻[6]研究各向異性的群體行為，通過實例仿真表明個體最終會聚集在集群加權(quán)中心的有界區(qū)域內(nèi)；文獻[7]提出了多維空間下集群集聚模型，證明了個體會聚集成具有內(nèi)聚性的集群。文獻[8]研究了如何構(gòu)建一個線性的數(shù)學模型去模擬實際問題的方法。

在動物的集群運動中，有些個體是具有特殊地位的領導者（如羊群中的領頭羊），其運動不受其他個體的影響，集群中其他個體在運動過程中逐漸使得自己的運動方向與領導者的運動方向保持一致。本文旨在建立一種具有唯一領導者的二維空間中的集群運動模型，并證明模型具有同步性，且所有個體與領導者間的距離始終小于一個有限值。

1 模型構(gòu)建

考慮在二維空間中的集群S有N個個體，分別用1,2,3,…，N表示，S={1,2,…,N}，其中“1”代表這個集群中的領導者。假定集群中所有個體的運動速率均為v0，領導者的運動方向始終不變，盡管如此由于其他個體的運動方向可能時刻在變，因此這些個體的運動實際上可能是曲線運動。在時間軸上從初始時刻開始依次取等間隔時刻：t0,t1,t2,…,tk,…，Δt=tk-tk-1(k∈N*，N*表示正整數(shù)集)。因為個體的運動狀態(tài)具有一定的連續(xù)性，假定時間間隔Δt足夠小，以至于個體在[tk-1,tk]內(nèi)的運動可以看作是勻速直線運動。

為研究二維空間的集群運動，建立平面直角坐標系，用αi(tk)表示個體i在tk時刻速度的方向(即運動方向與x軸正方向的夾角)，顯然有αi(tk)∈(-π,π]。假定個體i(2≤i≤N)在tk時刻的運動方向取決于其在tk-1時刻的運動方向和領導者的運動方向，并受周圍其他個體的運動方向的影響，顯然其余個體對個體i的影響力大小與距離成反比，用dij(tk)表示tk時刻個體i和個體 j之間的距離，因此個體i在tk時刻的運動方向可以用式(1)表示

其中：λ＞0；θ＞0；μ＞0；λ+θ+μ=1；Si=S{1,i}。

用(xi(tk),yi(tk))表示個體i在tk時刻的位置坐標，由于個體在時間間隔[tk-1,tk]內(nèi)的運動可以看作是勻速直線運動，因此其位置坐標按式(2)更新

2 同步性與聚集性證明

2.1預備定理

為證明同步性與聚集性，作為預備，先來證明關(guān)于矩陣的兩個性質(zhì)。

定理1A和B均為n階非負方陣，若A的每一行和均為a，Β的每一行和均為b，則矩陣AB的每一行和均為ab。

定理2A(k)為一列n階隨機矩陣(行和為1的非負矩陣)，且A(k)具有如下形式

令C(k)=A(k)A(k-1)…A(1)=(cij(k))n×n，則有，其中0＜λ＜1。

2.2同步性

定理3動物集群的運動過程中，所有個體的運動方向會與領導者趨于一致，即有

2.3聚集性

定理4 存在一個常數(shù)r，滿足d1i(tn)≤r(n∈N*)。

3 結(jié) 語

本文所構(gòu)建的集群運動模型，通過上述定理可以看出最終其所有個體運動方向趨于一致，且任意兩個個體之間的距離會控制在一定范圍內(nèi)，也就是說此集群運動模型具有同步性和聚集性。

[1]劉志新，郭雷.Vicsek模型的連通和同步[J].中國科學，2007,37(8):979-988.

[2]高建喜.一種提高Vicsek模型收斂效率的方法[J].控制與決策，2009,24(8):1269-1272.

[3]陳世明.一類改進的Vicsek模型的收斂性能[J].信息與控制，2011,40(3):318-322.

[4]崔顥.基于Vicsek模型的導彈集群建模分析[J].航空兵器，2013(1):27-31.

[5]陳世明.特征個體有界交互作用構(gòu)成的集群模型[J].控制理論與研究，2010,27(9):1227-123.

[6]毛學志.各向異性的群體行為分析[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,2011,31(8):913-920.

[7]Gazi V，Passion K M.Stability analysis of swarms[J].IEEE Trans onAutomatic Control,2003,48(4):692-697.

[8]侯為根.一類參數(shù)規(guī)劃問題最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)及其應用[J].安徽工業(yè)大學學報：自然科學版，2001,18(3):261-265.

責任編輯：丁吉海

Analysis of Model with a Unique Cluster Leader in Two-dimensional Space

YU Yadong HOU Weigen
(School of Mathematics&Physics Science and Engineering,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

In order to study animal cluster synchronization and aggregation phenomenon during movement in the plane,animal cluster with the only leader was analyzed.Mathematical model of movement direction of each individual updated over time was built.With matrix theory the model was proved to be with aggregation and synchronism during movement,which indicates that animal cluster can achieve synchronous motion through mutual awareness between each individual.

cluster;leader;synchronous;random matrix

O242.1

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2015.01.014

2014-06-20

國家自然科學基金項目(31300125)

余亞東(1988-)，男，安徽蚌埠人，碩士生，研究方向為偏微分方程與數(shù)學建模。

侯為根(1962-)，男，安徽繁昌人，副教授，研究方向為偏微分方程與數(shù)學建模。

1671-7872(2015)-01-0072-04