孫 龍，陳松林

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

一類具有慢變特性的Logistic模型解的合成展開(kāi)

孫 龍，陳松林

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

針對(duì)現(xiàn)實(shí)自然中Logistic模型中的參數(shù)是隨著時(shí)間變化的特點(diǎn)，研究一類帶有慢變特性的單種群的Logistic模型。利用合成法展開(kāi)法，構(gòu)造帶有慢變特性的Logistic模型的形式漸近解；在一定假定條件下，利用微分不等式上下解理論證明了所構(gòu)造的形式漸近解的存在性及一致有效性，并給出形式漸近解和精確解之間的誤差估計(jì)。

慢變特性；Logistic模型；合成展開(kāi)法；上下解；奇攝動(dòng)

奇異攝動(dòng)理論和方法的研究長(zhǎng)期以來(lái)得到較為普遍的關(guān)注，在自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛的應(yīng)用，常用的奇攝動(dòng)方法有合成展開(kāi)法、匹配法、邊界層校正法、多重尺度法[1-2]等。近年來(lái)，運(yùn)用奇攝動(dòng)方法去分析帶有小參數(shù)生物模型[3]解的漸近性質(zhì)，得到研究者們的廣泛關(guān)注，其中Shepherd等[4],Idlango等[5],Grozdanovski[6]在對(duì)帶有一個(gè)或者多個(gè)小參數(shù)的Logistic模型的研究方面做了大量的工作，Shen等[7-8]在研究帶有小參數(shù)的非收獲Logistic模型和收獲的Logistic模型漸近性質(zhì)中運(yùn)用了多重尺度法、匹配法。本文對(duì)含有慢變特性的非收獲Logistic模型，運(yùn)用合成展開(kāi)法進(jìn)行研究。首先構(gòu)造出形式漸近解，然后在適當(dāng)條件下，利用微分不等式理論，討論問(wèn)題解的一致有效性，并給出誤差估計(jì)。

描述單生物種群增長(zhǎng)的Logistic模型如下

其中：r為種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率；k為環(huán)境容納量；p0是初始狀態(tài)。

然而由于外部環(huán)境的影響或干預(yù)，種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率r，環(huán)境容納量k都是隨著時(shí)間緩慢變化的，即如下具有慢變特性的模型

其中0＜ε?1為小參數(shù)，k(εt)≥K＞0,K為常數(shù)，k(εt)，r(εt)充分光滑。

對(duì)上述問(wèn)題，本文構(gòu)造出形式漸近解，在適當(dāng)條件下，討論問(wèn)題解的一致有效性。

假設(shè)

H1：r(?),k(?)＞0,且關(guān)于其變?cè)B續(xù)可微；

定義慢尺度τ=εt，由此式(1)可以表示形式為

即式(1)對(duì)應(yīng)的慢系統(tǒng)。

1 形式漸近解的構(gòu)造

2 解的存在性及其一致有效性

定理1在假設(shè)條件H1，H2下，含有小參數(shù)非收獲Logistic模型奇攝動(dòng)問(wèn)題(1)存在一個(gè)解p(τ,ε)，并且漸近展開(kāi)式(3)一致有效的，即當(dāng)ε→0時(shí)在τ∈[0,T]上一致地有

且精確解和近似解之間的誤差可表示為

其中γ＞0。

3 結(jié) 語(yǔ)

(1)用合成展開(kāi)法構(gòu)造了N次漸近近似解，其關(guān)于t的有效區(qū)間為，與文獻(xiàn)[7]由匹配法所得漸近解的有效區(qū)間[0,T]相比，擴(kuò)大了漸近解的一致有效區(qū)間。

(2)文獻(xiàn)[7]中漸近解的一致有效性是在假定條件p0＞k(0)下成立，而本文假定條件存在正常數(shù)m，使得因此可以看出本文方法適用范圍更廣。

[1]倪明康，林武忠.奇異攝動(dòng)問(wèn)題中的漸近理論[M].北京：高等教育出版社，2009:9-21.

[2]倪明康，林武忠.邊界層函數(shù)法在微分不等式中的應(yīng)用[J].華東師范大學(xué)：自然科學(xué)版，2007(3):1-10.

[3]肖燕妮，周義倉(cāng)，唐三一.生物數(shù)學(xué)原理[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2012:13-24.

[4]Shepherd J J,Stojkov L.The logistic population model with slowly varying carrying capacity[J].ANZIAM Journal,2007,47: C492-C506.

[5]Idlango M A,Shepherd J J,Nguyrn L,et al.Harvesting a logistic population in a slowly varying environment[J].Applied Mathe matics Letters,2012,25(1):81-87.

[6]Grozdanovski T,Shepherd J J,Stacey A.Multi-scaling analysis of a logistic model with slowly varying coefficients[J].Applied Mathematics Letters,2009,22(7):1091-1095.

[7]Shen J H,Zhou Z Y.Fast-slow dynamics in first-order initial value problems with slowly varying parameters and application to a harvested Logistic models[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2014,19(8):2624-2631.

[8]Shen J H,Zhou Z Y.Fast-slow dynamics in Logistic models with slowly varying parameters[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2013,18(8):2213-2221.

[9]周明儒，杜增吉，王廣瓦.奇異攝動(dòng)中的微分不等式理論[M].北京：高等教育出版社，2012:6-18.

[10]葉培培，徐彪，陳松林.具有邊界攝動(dòng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程奇攝動(dòng)Robin問(wèn)題[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011,28(1): 93-96.

責(zé)任編輯：丁吉海

Synthesis of Solution to a Class of Logistic Model with Slow Variation

SUN Long,CHEN Songlin
(School of Mathematics&Physics Science and Engineering,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

In view of the property in real world situation,the parameters in the Logistic models may vary with time,a class of single population Logistic models with slow variation and initial value problems were studied.By using synthetic method,the formal asymptotic solution of the model was constructed.Under certain assumed conditions,that the uniform validity of the asymptotic solution was proved via the way of upper and lower solution.Then the error between the approximate solution and the exact solution was estimated.

slow variation;Logistic models;synthetic method;upper and lower solution;singular perturbation

O175.1

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2015.01.013

2014-06-15

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(50975003)

孫龍(1988-)，男，安徽壽縣人，碩士生，研究方向?yàn)槲⒎址匠痰臐u近分析。

陳松林(1964-)，男，安徽安慶人，教授，研究方向?yàn)槲⒎址匠痰臐u近分析。

1671-7872(2015)-01-0067-05