反思你的假定

經(jīng)常乘飛機的人都會有一個煩惱：為了確保不誤機，就要提前幾個小時去機場，長此以往會浪費很多寶貴的時間。諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者喬治·斯蒂格勒曾經(jīng)說過：“如果你從未錯過航班，這說明你在機場花了太多時間?！卑瑐惒裉嶙h的做法是，你弄清前往機場的末班車的時間，然后搭乘它前面的那一班。

到底該什么時候去機場？到機場太早和太晚都不好，對早到和晚到的壞處進行量化有助于我們尋找最佳的到達時間。假如在機場等候一個小時要花費10個效用，誤機要花費50個效用。如果你早到半小時，你誤機的概率是20%，早到1個小時，誤機的概率為5%，早到兩個小時誤機的概率就只有1%。假如你早到1個小時，候機的損失是10個效用，誤機的損失是誤機的概率乘以誤機損失的效用，假如早到1小時，你誤機的概率是5%，這將令你損失50個效用，預(yù)期的損失就是5%乘以50，等于2.5個效用。加在一起的話，早到l小時的預(yù)期損失是12.5個效用。

如果早到2個小時，候機損失20個效用，而誤機的預(yù)期損失只有1%乘以50，等于0.5，總的預(yù)期損失為20.5，這比早到1個小時大多了。如果你提前半小時到達機場，你候機時只損失5個效用.但誤機概率是20%，預(yù)期損失是20%乘以50，結(jié)果是10個效用，總的預(yù)期損失是15個效用，大于早到1個小時的結(jié)果。預(yù)期效用分析是經(jīng)濟學(xué)的基本觀念，許多經(jīng)濟學(xué)模型都是以效用最大化為基礎(chǔ)。

如何解決無限循環(huán)

一般人都會認為0.999……這個無限循環(huán)小數(shù)不等于1，它比1小，雖然它越來越接近1，但永遠都到不了1。有人說，0.999……就是l，很多人都知道如何證明：0.333……=1/3，兩邊都乘以3，結(jié)果就是0.999……等于1。

還有一個更詭異的例子：1—1+1—1十1.1+……是多少？如果這樣變換：（1-1）+（1-1）+（1-1）+……=0+0+0+……它就等于0。如果這樣變換：1-（1-1）一（1-1）一（1-1）一……=1-O-0-O……它就等于1。出現(xiàn)這種情況，肯定要從無限上找原因。

艾倫伯格說，無限循環(huán)的數(shù)學(xué)符號到底是多少，這取決于我們?nèi)绾味x它，或者說這種提問方式本身就有問題。0.999……到底是多少？它好像是許多加數(shù)的結(jié)果：0.9+0.09+0.009+0.0009+-……問題就在這個省略號。把2個、3個或者100個數(shù)加起來時，不會引起什么爭議。這就是用數(shù)字表示把100堆東西放在一起的物理過程。但是無限個東西相加就不一樣了。在現(xiàn)實世界中，你不會弄到無限個東西。一個無限的數(shù)字的數(shù)量是多少呢？它沒有數(shù)量，直到我們賦予它一個數(shù)量。數(shù)學(xué)家哈代解釋說：“近代的數(shù)學(xué)家不會認為一組數(shù)學(xué)符號要我們通過定義指派給它一個意義時，它才有意義。他們沒有下定義的習(xí)慣，他們不會問我們該如何定義1-1+l-1+……而是問它是多少。這一習(xí)慣導(dǎo)致他們陷入了不必要的困惑和爭議?！?/p>

艾倫伯格說，給數(shù)學(xué)符號下定義并不是相對主義。單單因為我們可以隨意給一系列數(shù)學(xué)符號指派意義，并不等于我們就應(yīng)該這么做。在數(shù)學(xué)上，跟生活中一樣，有好的選擇，也有壞的選擇。在數(shù)學(xué)上，好的選擇就是能夠解決困惑而又不帶來新的困惑的選擇。18世紀法國數(shù)學(xué)家柯西說，我們應(yīng)該把0.999……定義為1，接著他證明這一選擇并不會造成沖突。

艾倫伯格談到了法國大革命時期的政治哲學(xué)家孔多塞，孔多塞曾試圖改善選舉辦法。在有三個以上候選人的選舉中，多數(shù)人裁定的制度會產(chǎn)生問題。他希望想出一個公平的投票方法，這個方法要滿足這樣一個公理：如果大部分選民更喜歡候選人A而非B，那么候選人B就不是人民的選擇。但是有可能會出現(xiàn)這樣一種剪刀石頭布式的情形：大部分人更喜歡A而不是B，更喜歡B而不是C，更喜歡C而不是A。這樣誰都贏不了。“數(shù)學(xué)家哈代會建議孔多塞，不要問誰是最佳候選人，或者公眾想讓誰當選，而是問應(yīng)該把哪個候選人定義為公眾的選擇。”數(shù)學(xué)形式主義把找到正確答案變成了遵循規(guī)則去尋找答案。