反思你的假定

經(jīng)常乘飛機(jī)的人都會(huì)有一個(gè)煩惱：為了確保不誤機(jī)，就要提前幾個(gè)小時(shí)去機(jī)場(chǎng)，長此以往會(huì)浪費(fèi)很多寶貴的時(shí)間。諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者喬治·斯蒂格勒曾經(jīng)說過：“如果你從未錯(cuò)過航班，這說明你在機(jī)場(chǎng)花了太多時(shí)間?！卑瑐惒裉嶙h的做法是，你弄清前往機(jī)場(chǎng)的末班車的時(shí)間，然后搭乘它前面的那一班。

到底該什么時(shí)候去機(jī)場(chǎng)？到機(jī)場(chǎng)太早和太晚都不好，對(duì)早到和晚到的壞處進(jìn)行量化有助于我們尋找最佳的到達(dá)時(shí)間。假如在機(jī)場(chǎng)等候一個(gè)小時(shí)要花費(fèi)10個(gè)效用，誤機(jī)要花費(fèi)50個(gè)效用。如果你早到半小時(shí)，你誤機(jī)的概率是20%，早到1個(gè)小時(shí)，誤機(jī)的概率為5%，早到兩個(gè)小時(shí)誤機(jī)的概率就只有1%。假如你早到1個(gè)小時(shí)，候機(jī)的損失是10個(gè)效用，誤機(jī)的損失是誤機(jī)的概率乘以誤機(jī)損失的效用，假如早到1小時(shí)，你誤機(jī)的概率是5%，這將令你損失50個(gè)效用，預(yù)期的損失就是5%乘以50，等于2.5個(gè)效用。加在一起的話，早到l小時(shí)的預(yù)期損失是12.5個(gè)效用。

如果早到2個(gè)小時(shí)，候機(jī)損失20個(gè)效用，而誤機(jī)的預(yù)期損失只有1%乘以50，等于0.5，總的預(yù)期損失為20.5，這比早到1個(gè)小時(shí)大多了。如果你提前半小時(shí)到達(dá)機(jī)場(chǎng)，你候機(jī)時(shí)只損失5個(gè)效用.但誤機(jī)概率是20%，預(yù)期損失是20%乘以50，結(jié)果是10個(gè)效用，總的預(yù)期損失是15個(gè)效用，大于早到1個(gè)小時(shí)的結(jié)果。預(yù)期效用分析是經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本觀念，許多經(jīng)濟(jì)學(xué)模型都是以效用最大化為基礎(chǔ)。

如何解決無限循環(huán)

一般人都會(huì)認(rèn)為0.999……這個(gè)無限循環(huán)小數(shù)不等于1，它比1小，雖然它越來越接近1，但永遠(yuǎn)都到不了1。有人說，0.999……就是l，很多人都知道如何證明：0.333……=1/3，兩邊都乘以3，結(jié)果就是0.999……等于1。

還有一個(gè)更詭異的例子：1—1+1—1十1.1+……是多少？如果這樣變換：（1-1）+（1-1）+（1-1）+……=0+0+0+……它就等于0。如果這樣變換：1-（1-1）一（1-1）一（1-1）一……=1-O-0-O……它就等于1。出現(xiàn)這種情況，肯定要從無限上找原因。

艾倫伯格說，無限循環(huán)的數(shù)學(xué)符號(hào)到底是多少，這取決于我們?nèi)绾味x它，或者說這種提問方式本身就有問題。0.999……到底是多少？它好像是許多加數(shù)的結(jié)果：0.9+0.09+0.009+0.0009+-……問題就在這個(gè)省略號(hào)。把2個(gè)、3個(gè)或者100個(gè)數(shù)加起來時(shí)，不會(huì)引起什么爭議。這就是用數(shù)字表示把100堆東西放在一起的物理過程。但是無限個(gè)東西相加就不一樣了。在現(xiàn)實(shí)世界中，你不會(huì)弄到無限個(gè)東西。一個(gè)無限的數(shù)字的數(shù)量是多少呢？它沒有數(shù)量，直到我們賦予它一個(gè)數(shù)量。數(shù)學(xué)家哈代解釋說：“近代的數(shù)學(xué)家不會(huì)認(rèn)為一組數(shù)學(xué)符號(hào)要我們通過定義指派給它一個(gè)意義時(shí)，它才有意義。他們沒有下定義的習(xí)慣，他們不會(huì)問我們?cè)撊绾味x1-1+l-1+……而是問它是多少。這一習(xí)慣導(dǎo)致他們陷入了不必要的困惑和爭議。”

艾倫伯格說，給數(shù)學(xué)符號(hào)下定義并不是相對(duì)主義。單單因?yàn)槲覀兛梢噪S意給一系列數(shù)學(xué)符號(hào)指派意義，并不等于我們就應(yīng)該這么做。在數(shù)學(xué)上，跟生活中一樣，有好的選擇，也有壞的選擇。在數(shù)學(xué)上，好的選擇就是能夠解決困惑而又不帶來新的困惑的選擇。18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家柯西說，我們應(yīng)該把0.999……定義為1，接著他證明這一選擇并不會(huì)造成沖突。

艾倫伯格談到了法國大革命時(shí)期的政治哲學(xué)家孔多塞，孔多塞曾試圖改善選舉辦法。在有三個(gè)以上候選人的選舉中，多數(shù)人裁定的制度會(huì)產(chǎn)生問題。他希望想出一個(gè)公平的投票方法，這個(gè)方法要滿足這樣一個(gè)公理：如果大部分選民更喜歡候選人A而非B，那么候選人B就不是人民的選擇。但是有可能會(huì)出現(xiàn)這樣一種剪刀石頭布式的情形：大部分人更喜歡A而不是B，更喜歡B而不是C，更喜歡C而不是A。這樣誰都贏不了?！皵?shù)學(xué)家哈代會(huì)建議孔多塞，不要問誰是最佳候選人，或者公眾想讓誰當(dāng)選，而是問應(yīng)該把哪個(gè)候選人定義為公眾的選擇。”數(shù)學(xué)形式主義把找到正確答案變成了遵循規(guī)則去尋找答案。