霍 平，張海旺，李寧寧，張光浩，張學鋒

（1.河北聯(lián)合大學 機械工程學院，河北 唐山 063009；2.唐山開元自動焊接裝備有限公司，河北 唐山 063020）

0 引言

在以CCD相機為傳感器的機器視覺焊接系統(tǒng)中，往往需要對系統(tǒng)進行標定，以確定世界坐標系和圖像坐標系的關系，這樣就可以通過圖像的尺寸信息導出焊縫實際尺寸信息。目前研究的透視變換矩陣模型一般都基于小孔成像原理，利用矩陣變換，導出三維空間坐標系和二維圖像坐標系的關系，且其數(shù)學模型一般均為非線性方程。由于方程中參數(shù)的個數(shù)大于獨立方程的個數(shù)，而且方程中參數(shù)不是相互獨立的，所以出現(xiàn)了過參數(shù)化現(xiàn)象。本文運用非線性方程組參數(shù)估計法對其進行了研究，以解決焊接模型標定過程中的過參數(shù)化問題。

1 利用透視變換矩陣建立的焊接模型

基于小孔成像的基本原理和一系列的矩陣變換，建立如圖1所示的焊接數(shù)學模型［1］。數(shù)學模型標定的實質是推導出世界坐標系和圖像坐標系的幾何對應關系。首先應建立世界坐標系（Xg，Yg，Zg）和物體成像的圖像坐標系（Xi，Yi，Zi），世界坐標系和圖像坐標系都為左手坐標系，Oc為圖像坐標系的中心，Og為世界坐標系的中心。P為線結構光的平面，Zi軸斜向下，與光平面P相交于Og點。世界坐標系Zg軸在光平面P內，且在圖像坐標系Zi軸與Xi軸所決定的平面內，方向朝上。由左手坐標系確定Xg軸。Yg軸平行于Yi軸，其目的是減少系統(tǒng)標定的參數(shù)，簡化模型。

由透視變換矩陣的數(shù)學模型可以得出：

其中：Vi為物體在世界坐標系中的坐標；Vo為物體在圖像中的坐標；H為總的變換矩陣，具體表達式見參考文獻［1］。

圖1 焊接數(shù)學模型

但是在實際應用中我們要解決的是由圖像坐標求解出世界坐標。設H－1為H的逆矩陣，則有：

其中：f為透鏡中心到像平面的距離；β為Zi軸和光平面P的夾角；Dpc為像面中心到光平面的垂直距離；Dgp為Op到圖像坐標系的水平距離，如圖1所示。

2 傳統(tǒng)的焊接系統(tǒng)標定過程

焊接模型的方程可以表示為：其中：u和v為圖像像素坐標系中的坐標；M1為攝像機的內部參數(shù)矩陣；M2為攝像機的外部參數(shù)矩陣；mij為M1和M2相乘后的系數(shù)矩陣。

焊接系統(tǒng)的標定其實就是對式（1）和式（3）的未知參數(shù)進行求解。由于未知數(shù)個數(shù)大于有效的方程個數(shù)，故各參數(shù)之間并不是相互獨立的，為了能夠求解出方程，就必須找出至少6個獨立的數(shù)據(jù)點。

消去Zi即可得到如下方程組：

式（4）可簡寫為：

其中：m為攝像機內部參數(shù)和外部參數(shù)相乘后的系數(shù)矩陣；U為常系數(shù)矩陣；K為已知的標定點參數(shù)。式（5）的最小二乘法解為m＝（KTK）－1KTU。求解了m矩陣就可以求得內部參數(shù)矩陣M1和外部參數(shù)矩陣M2，進而就可以求得模型的各參數(shù)數(shù)值。

3 焊接模型的非線性方程組參數(shù)估計法

一般地，設L為求解目標函數(shù)，X＝［Xg1，Xg2，…，Xgn］T為未知參數(shù)矩陣，Δ為誤差向量，則非線性方程組可寫為［4］：

設參數(shù)X的估計值為Xo，則求解非線性模型的估計值就是求參數(shù)X的估計值Xo，使：

由于f（Xo）是Xo的非線性函數(shù)，因此無法對式（6）求導，只能尋找近似解使X＊滿足如下關系式：

其中：R（X＊）為近似的目標函數(shù)；R（Xo）為待求的目標函數(shù)。

利用泰勒公式在Xk附近展開，去二項得：

其中：dXk＝X＊－Xk。由此可以得到迭代公式：

可以根據(jù)最小二乘法求解的數(shù)值作為X的初始值，代入式（12）進行求解。本方法對于簡單模型求解方便，而對于復雜模型的求解，可根據(jù)如圖2所示的計算非線性方程組參數(shù)的程序流程進行求解。

4 實驗結果及分析

本文需要標定的設備如圖3所示。

本文所提出的實驗，選取的數(shù)學模型較為簡單，以方便驗證兩種不同的理論方法。選取的參數(shù)如下：攝像機的鏡頭焦距為12mm，β為15°，Dgp為70mm。本實驗的標定值均為多次標定的平均值。標定結果見表1。

圖2 計算非線性方程組參數(shù)的程序流程圖

圖3 需要標定的設備

表1 標定結果

本實驗主要采用了傳統(tǒng)標定法和非線性方程組法標定兩種方法，分別在有干擾和無干擾的情況下進行。由于電弧干擾的存在，導致標定板上特征點的提取不準確，從而影響標定參數(shù)的準確性。對比表1中的標定值，當實驗有電弧干擾和沒有電弧干擾時，實驗的結果誤差較大，電弧的干擾很強。即使在新方法中，電弧的干擾也是不可去除的，因為新方法的初值依賴于傳統(tǒng)方法的計算結果。新方法的計算精度還取決于程序中的迭代次數(shù)，由于計算的實時要求，所以迭代次數(shù)不可能很大，因此限制了計算的精度，但是從實驗數(shù)據(jù)上還是可以分析出新的計算方法要優(yōu)于傳統(tǒng)的標定方法。

5 結束語

本文在透視變換矩陣焊接模型基礎上，介紹了標定過程中的關鍵步驟。對焊接模型參數(shù)運用傳統(tǒng)的最小二乘法進行了參數(shù)估計。針對傳統(tǒng)標定的過參數(shù)化問題，提出了焊接模型的非線性方程組參數(shù)估計法，對焊接模型的參數(shù)進行了重新估計。通過實驗證明非線性方程組參數(shù)估計法在求解焊接模型參數(shù)時還是很有效的。

［1］ 賀忠海，王寶光.線結構光傳感器的模型及成像公式［J］.光學精密工程，2001，6（3）：270－273.

［2］ 姜勇.攝像機標定算法庫的設計與實驗驗證［D］.青島：青島大學：2006：36－40.

［3］ 張國亮，趙彥玲，王一文，等.焊縫視覺跟蹤系統(tǒng)中標定算法的研究［J］.哈爾濱理工大學學報，2005（1）：27－31.

［4］ 王新洲.非線性模型參數(shù)估計理論與應用［M］.武漢：武漢大學出版社，2002.