鮑慧玲， 薛 華

（1.上?？茖W(xué)技術(shù)職業(yè)學(xué)院 通信與電子信息系，上海 201800；2.濱州學(xué)院 物理與電子科學(xué)系，山東 濱州 256603）

20世紀(jì)60年代，Lorenz系統(tǒng)被提出，此后混沌理論及混沌系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性，引起了人們的廣泛關(guān)注和深入研究［1－3］?；煦绲膬?nèi)隨機(jī)性、遍歷性和普適性使其在保密通信和數(shù)字圖像信息加密等信息安全領(lǐng)域具有更廣闊的應(yīng)用前景［4－7］。近年來(lái)，各種四翼混沌系統(tǒng)不斷出現(xiàn)，文獻(xiàn)［8］提出了一個(gè)偽四翼混沌系統(tǒng)；文獻(xiàn)［9］提出了一個(gè)新的四翼混沌系統(tǒng)；文獻(xiàn)［10］提出了一個(gè)可以產(chǎn)生四翼混沌吸引子的超混沌系統(tǒng)。

本文在文獻(xiàn)［8］提出的偽四翼混沌系統(tǒng)的模型下，引入狀態(tài)變量x的正反饋，生成了一個(gè)新的三維四翼混沌系統(tǒng)。

該系統(tǒng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，有5個(gè)系統(tǒng)參數(shù)和3個(gè)二次交叉乘積項(xiàng)，包含5個(gè)平衡點(diǎn)，在其中2個(gè)對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)處發(fā)生Hopf分岔行為，系統(tǒng)由不動(dòng)點(diǎn)演變?yōu)橹芷谲?。?duì)系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)特性變化進(jìn)行了研究，分析了Lyapunov指數(shù)和分岔圖，揭示了參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)軌跡由不動(dòng)點(diǎn)、周期軌到混沌吸引子的變化過(guò)程。同時(shí)，通過(guò)硬件電路對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 三維四翼混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)［8］提出的偽四翼混沌系統(tǒng)為：

通過(guò)在系統(tǒng)的第3式中引入變量x的正反饋，可以生成一個(gè)新的三維四翼混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)存在著復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，即

其中，系統(tǒng)參數(shù)a、b、c、d、k均大于0。

三維四翼混沌系統(tǒng)的5個(gè)平衡點(diǎn)S1、S2、S3、S4、S5分別為：

其中

當(dāng)a＝3、b＝8、c＝4、k＝1、d＝2時(shí)，系統(tǒng)平衡點(diǎn)為：

此時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。通過(guò)大量的數(shù)值仿真，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在較寬的參數(shù)范圍內(nèi)能生成四翼混沌吸引子。圖1所示為三維四翼混沌系統(tǒng)的相平面圖。

圖1 三維四翼混沌系統(tǒng)的相平面圖

1.1 耗散性

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)b＞0、d＞0、a＜0時(shí)，可得：

根據(jù)各參數(shù)取值，▽V＝－（b＋d－a）＝－7＜0，系統(tǒng)為耗散性系統(tǒng)，并按照指數(shù)速率收斂，即dV／dt＝e－（b＋d－a）t＝e－7t，系統(tǒng)軌跡按照指數(shù)速率收縮到0，其動(dòng)力學(xué)行為被局限在一個(gè)吸引子上。

1.2 對(duì)稱(chēng)性

通過(guò)代數(shù)變換和平衡點(diǎn)分析，可知系統(tǒng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，其中平衡點(diǎn)S2與S3，S4與S5都關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，這2組平衡點(diǎn)對(duì)具有相同的局部穩(wěn)定性和中心流行。但是系統(tǒng)關(guān)于x軸、z軸和原點(diǎn)都是不對(duì)稱(chēng)的，這些不對(duì)稱(chēng)性意味著系統(tǒng)有著更豐富的動(dòng)力學(xué)行為。

1.3 Hopf分岔分析

（2）式在各個(gè)平衡點(diǎn)的Jacobian矩陣通式可以表示為：

其中，x＊、y＊、z＊分別代表平衡點(diǎn)S1～S5的坐標(biāo)值。

平衡點(diǎn)S1（0，0，0）處的Jacobian矩陣為：

其特征值方程為｜J1｜－λI＝0，得到平衡點(diǎn)S1處的特性方程為：

簡(jiǎn)化方程得：

特征方程有3個(gè)特征根，λ1＝a，λ2＝－b，λ3＝－d，系統(tǒng)中的參數(shù)a、b、c、d、k均大于0，該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)S1為一個(gè)鞍點(diǎn)，故在平衡點(diǎn)S1處不可能發(fā)生 Hopf分岔行為。平衡點(diǎn)S2＝（x2，y2，z2）處的Jacobian矩陣為：

其特征值方程為｜J2｜－λI＝0，得到平衡點(diǎn)S2處的特性方程為：

根據(jù)Routh－Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)，當(dāng)下列不等式成立時(shí)，（5）式的特征根都具有負(fù)實(shí)部，平衡點(diǎn)S2為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。不等式如下：隨著參數(shù)a的變化，若不滿(mǎn)足上述不等式時(shí)，

平衡點(diǎn)S2將失去穩(wěn)定性。當(dāng)下式成立時(shí)，特征方程具有一對(duì)純虛根，即

固定系統(tǒng)參數(shù)b＝8，c＝4，k＝1，d＝2，當(dāng)a＝1.292 7時(shí)，（5）式的特征根分別為λ1，2＝±2.706 7i，λ3＝－8.707 3，（5）式很明顯具有1對(duì)純虛根，根據(jù)Routh－Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)，平衡點(diǎn)S2在a＝1.292 7處發(fā)生了Hopf分岔。

通過(guò)數(shù)值分析，平衡點(diǎn)S2處的Hopf分岔是一個(gè)前向分岔過(guò)程，當(dāng)a＜1.292 7時(shí)，平衡點(diǎn)S2是一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。當(dāng)a≥1.292 7時(shí)，平衡點(diǎn)S2不穩(wěn)定，系統(tǒng)軌跡離開(kāi)平衡點(diǎn)S2趨于一個(gè)穩(wěn)定的周期軌。由于S2，3是一組對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)，在局部范圍內(nèi)有相同的穩(wěn)定性質(zhì)，所以，在S3處發(fā)生同樣的Hopf分岔，發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)條件和S2處的參數(shù)條件一致。平衡點(diǎn)S4＝（x4，y4，z4）處的Jacobian矩陣為：

其特征值方程為｜J4｜－λI＝0，得到平衡點(diǎn)S4處的特性方程為：

2 數(shù)值分岔分析

對(duì)于一個(gè)連續(xù)的非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)改變能引起整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜變化，當(dāng)參數(shù)取值變化時(shí)，系統(tǒng)軌跡會(huì)經(jīng)歷平衡點(diǎn)、周期、擬周期及混沌等。Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖能呈現(xiàn)出動(dòng)力系統(tǒng)隨參數(shù)變化的過(guò)程，如圖2所示。

圖2 參數(shù)a的數(shù)值分岔分析

從圖2可以看出，隨著參數(shù)a的變化，系統(tǒng)軌跡從不動(dòng)點(diǎn)到周期吸引子、混沌吸引子。從Lyapunov指數(shù)譜可以看出，當(dāng)a屬于［0，1.292 7），Lyapunov指數(shù)都小于0，系統(tǒng)軌跡收斂于一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；當(dāng)a屬于［1.292 7，1.75），Lyapunov指數(shù)1個(gè)為0，其余為負(fù)，系統(tǒng)軌跡為周期狀態(tài)。其中，a屬于［1.292 7，1.43］時(shí)，系統(tǒng)軌跡為一個(gè)單周期軌道；a屬于［1.43，1.56］時(shí)，系統(tǒng)軌跡為一個(gè)雙周期軌道；a屬于［1.56，1.75］時(shí)，系統(tǒng)軌跡為一個(gè)三周期軌道。系統(tǒng)從平衡點(diǎn)演變?yōu)橹芷谲壍?，也證實(shí)了a＝1.292 7時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處發(fā)生了Hopf分叉行為。當(dāng)a屬于［1.75，5.3］時(shí)，Lyapunov指數(shù)1個(gè)為正，1個(gè)為0，其余為負(fù)，系統(tǒng)軌跡為混沌狀態(tài)。

如圖3所示，當(dāng)參數(shù)a取不同數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出單周期軌道、雙周期軌道、三周期軌道以及混沌吸引子等運(yùn)動(dòng)形式，表明系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力 學(xué)行為。

圖3 b＝8，c＝4，d＝2，k＝1時(shí)系統(tǒng)x－y平面相圖

3 系統(tǒng)電路的實(shí)現(xiàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證三維四翼混沌系統(tǒng)的存在，利用模擬電路器件構(gòu)建了這一混沌系統(tǒng)的硬件電路，該電路采用運(yùn)算放大器（TL082）和基本的電阻、電容（1μF）等元器件，實(shí)現(xiàn)了求和、積分及反相等運(yùn)算，模擬乘法器（AD633）用來(lái)實(shí)現(xiàn)非線(xiàn)性乘積運(yùn)算，電路結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

圖4 三維四翼混沌系統(tǒng)的電路結(jié)構(gòu)圖

電路相應(yīng)數(shù)學(xué)模型通過(guò)線(xiàn)性變換，可得：

當(dāng)a＝3、b＝8、c＝4、k＝1、d＝2時(shí)，設(shè)R＝R11＝R21＝R31＝R12＝R22＝R32＝10kΩ，得到R13＝33.3kΩ，R14＝1kΩ，R23＝12.5kΩ，R24＝0.25kΩ，R33＝100kΩ，R34＝50kΩ，R35＝1kΩ。

通過(guò)上述參數(shù)的設(shè)置，在示波器上觀察到的混沌吸引子相圖和仿真結(jié)果一致，如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)中觀察到的混沌吸引子

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在文獻(xiàn)［8］偽四翼混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入變量x的正反饋，構(gòu)造了一個(gè)新的三維四翼混沌系統(tǒng)。理論分析和數(shù)值仿真證明在平衡點(diǎn)S2、S3處發(fā)生了Hopf分岔行為。Lyapunov指數(shù)和分岔圖證明系統(tǒng)軌跡經(jīng)歷了不動(dòng)點(diǎn)、單周期、雙周期、三周期及混沌吸引子等，驗(yàn)證了混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性。硬件電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了三維四翼混沌系統(tǒng)的四翼混沌吸引子存在性。

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