李 黎，叢炳龍，呂高見，劉向東，陳 振

（1.航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京 100094；2.北京理工大學(xué) 自動化學(xué)院，北京 100081；3.北京控制工程研究所，北京 100094）

0 引言

滑?？刂疲⊿MC）是一種魯棒性強(qiáng)且簡單易行的非線性控制技術(shù)，近年來被廣泛用于剛體航天器的姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計［1－4］。在滑模姿態(tài)控制器設(shè)計中，切換增益的選擇需事先知道外部干擾和慣量陣不確定性的上界信息。但在實際應(yīng)用中，這些上界信息常難以獲得。為去除該限制，提出了ASMC方法［5－6］。與傳統(tǒng)SMC事先確定的常值切換增益不同，ASMC中的切換增益通過自適應(yīng)機(jī)制進(jìn)行實時更新。但對大角度姿態(tài)跟蹤來說，現(xiàn)有ASMC方法會出現(xiàn)切換增益過度適應(yīng)問題，即自適應(yīng)算法產(chǎn)生的切換增益值遠(yuǎn)大于控制所需值。因非連續(xù)ASMC的抖振程度與切換增益值成正比，故過度適應(yīng)的切換增益會加劇抖振問題。另對采用邊界層法連續(xù)化后的ASMC，過度適應(yīng)問題則會導(dǎo)致控制力矩的大幅值跳變，不利于執(zhí)行結(jié)構(gòu)伺服系統(tǒng)對力矩的實現(xiàn)。

導(dǎo)致ASMC過度適應(yīng)問題的原因是切換增益的自適應(yīng)律中未考慮初始跟蹤誤差的影響。為消除初始跟蹤誤差對切換增益自適應(yīng)過程的影響，本文將積分滑模的全局滑模擴(kuò)展至模型參考策略中，對基于模型參考自適應(yīng)滑模技術(shù)的姿態(tài)跟蹤控制進(jìn)行了研究。

1 數(shù)學(xué)模型及問題描述

用修正羅德里格斯參數(shù)（MRP）表示航天器的姿態(tài)，并結(jié)合陰影 MRP解決其奇異性問題［7］。設(shè)σb，σd分別為航天器當(dāng)前和期望的MRP向量，則定義MRP誤差為

式中：上標(biāo)“＊”表示MRP的共軛，且σ＊d＝－σd；⊕為MRP的乘法算子，且

此處：‖·‖表示向量的2范數(shù)；上標(biāo)“×”表示向量的反對稱矩陣算子，且對任一一個3×1維向量α＝［α1α2α3］T有

令ωb，ωd分別為航天器當(dāng)前和期望的角速度向量，則定義相應(yīng)的角速度誤差向量為

式中：R為姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣算子，且

此處：I3為3×3維的單位矩陣。

式中：uc為控制力矩；d為包括外部干擾力矩和慣量陣不確定性影響在內(nèi)的聚合干擾力矩，并假設(shè)其無窮范數(shù)有界；M為Jacobian矩陣算子，且

至此，本文的控制目標(biāo)可描述為：針對式（3）、（4）的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)，當(dāng)聚合擾動上界未知時，設(shè)計姿態(tài)跟蹤的ASMC算法實現(xiàn)對期望姿態(tài)軌跡的漸近穩(wěn)定跟蹤。此外，切換增益在滿足控制所需的前提下應(yīng)盡可能小。

2 基于模型參考的ASMC設(shè)計

為說明基于模型參考的ASMC能有效解決現(xiàn)有ASMC對切換增益的過度適應(yīng)問題，將設(shè)計過程分為兩步：先假設(shè)聚合擾動上界‖d‖∞已知，設(shè)計姿態(tài)跟蹤的模型參考SMC算法，并揭示其全局滑模的特點，再針對‖d‖∞未知的情況，利用自適應(yīng)機(jī)制對切換增益進(jìn)行調(diào)節(jié)，并根據(jù)全局滑模的特點消除初始跟蹤誤差對切換增益自適應(yīng)過程的影響，給出基于模型參考的ASMC設(shè)計。

2.1 姿態(tài)跟蹤的模型參考SMC設(shè)計

姿態(tài)跟蹤的模型參考SMC設(shè)計思路如下。針對期望姿態(tài)運(yùn)動軌跡σd，ωd，結(jié)合給定的跟蹤響應(yīng)G（σcd，ωcd）＝0（此處：σcd，ωcd為輔助跟蹤誤差變量；G為描述跟蹤指標(biāo)的向量函數(shù)），反解出參考姿態(tài)運(yùn)動軌跡σc，ωc（此處：σc（t0）＝σb（t0），ωc（t0）＝ωb（t0）；t0為初始時刻）。設(shè)計姿態(tài)跟蹤的 SMC 算法實現(xiàn)對參考姿態(tài)軌跡的全跟蹤，即對t∈［t0，∞）成立σb（t）≡σc（t），ωb（t）≡ωc（t），從而保證實際跟蹤誤差變量σbd，ωbd同樣滿足指標(biāo)G（σbd，ωbd）＝0。相應(yīng)的控制框圖如圖1所示。

圖1 姿態(tài)跟蹤的模型參考SMC設(shè)計Fig.1 Block diagram of model reference based adaptive SMC for attitude tracking

為簡單起見，選擇期望的跟蹤指標(biāo)函數(shù)為

式中：kd＝2ξωn，kp＝ （ωn）2，且ξ＞0，ωn＞0，分別為二階系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和無阻尼自振角頻率。

根據(jù)式（5）所確定的σcd，ωcd，結(jié)合σd，ωd，可得σc，ωc的表達(dá)式為

類似式（1）、（2），定義

對應(yīng)的相對姿態(tài)動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)方程為

定義滑模函數(shù)

式中：λ為滑模函數(shù)切換，且λ＞0。設(shè)計姿態(tài)跟蹤的模型參考SMC算法為

式中：η為切換增益，且η＝‖d‖＋δ；

此處：δ為任意小的正數(shù)。則可得下述引理。

引理1：對式（8）、（9）所示的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)，式（11）的姿態(tài)控制律使σbc，ωbc始終處于式（10）確定的滑模面上，即對t∈［t0，∞）有S＝0成立。

式中：‖·‖1為向量的1范數(shù)。

因σc（t0）＝σb（t0），ωc（t0）＝ωb（t0），由式（7）可得σbc（t0）＝ωbc（t0）＝0，而由式（10）可知S（t0）＝0，繼而V1（t0）＝0。結(jié)合Lyapunov函數(shù)的正定性和其導(dǎo)數(shù)的負(fù)定性，可知V1（t）≡0，即S＝0。

在引理1的基礎(chǔ)上，可得下述推論。

推論1：對式（3）、（4）所示的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)，當(dāng)采用式（11）所示的姿態(tài)控制律時，σbd，ωbd同樣滿足給定的跟蹤指標(biāo)G（σbd，ωbd）＝0。

證明：根據(jù)引理1，有

式（12）兩端同時左乘矩陣M，有

求解上述微分方程可得：

繼而

綜合式（7）可知：σb≡σc，ωb≡ωc，即實現(xiàn)了參考姿態(tài)運(yùn)動軌跡的全跟蹤。由此可得G（σbd，ωbd）＝0。

注1：從上述推導(dǎo)中可知模型參考SMC設(shè)計具有積分滑?？刂频娜只Ｌ攸c，但積分滑模控制器在設(shè)計過程中需對標(biāo)稱系統(tǒng)設(shè)計顯式標(biāo)稱控制律，該控制律直接決定積分滑模函數(shù)。模型參考SMC只需確定期望的跟蹤響應(yīng)，該響應(yīng)可由標(biāo)稱控制律得到，也可用軌跡規(guī)劃等方法獲得，因此更具設(shè)計靈活性。

2.2 姿態(tài)跟蹤的模型參考ASMC設(shè)計

因?qū)嶋H工程中聚合干擾結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和不可預(yù)知性，‖d‖∞通常無法獲得，繼而無法確定式（11）中的切換增益η。為此，采用自適應(yīng)機(jī)制對切換增益進(jìn)行調(diào)節(jié)。令為式（11）中η的最終解且η＞‖d‖∞，且為的估值。此時，姿態(tài)跟蹤的模型參考ASMC算法設(shè)計為

式中：κ為調(diào)節(jié)自適應(yīng)速率的增益，且κ＞0。則可得下述定理。

定理1：對式（8）、（9）所示的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)，當(dāng)采用式（15）、（16）的模型參考ASMC算法時，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

取t→∞時的極限，有

注2：由式（16）可知ASMC通過系統(tǒng)狀態(tài)偏離滑模面的程度調(diào)整切換增益值。為盡可能精確估計，希望聚合干擾是導(dǎo)致滑模面偏離的主要或全部原因，但現(xiàn)有ASMC并未考慮初始跟蹤誤差的影響。對大角度姿態(tài)跟蹤來說，初始跟蹤誤差所引起的滑模面偏離程度遠(yuǎn)大于聚合干擾。繼而產(chǎn)生的切換增益會遠(yuǎn)大于控制所需值。模型參考ASMC利用全局滑模的特點消除了初始跟蹤誤差對切換增益自適應(yīng)過程的影響，因此能有效地解決過度適應(yīng)問題。

注3：在實際應(yīng)用中，為消除非連續(xù)ASMC中的抖振，可采用邊界層法對式（15）所示的姿態(tài)控制律進(jìn)行連續(xù)化。此時，由于滑模函數(shù)值無法嚴(yán)格為零，自適應(yīng)律使切換增益持續(xù)增加并最終無界。為解決該參數(shù)漂移問題，采用Sigma修正對式（15）、（16）進(jìn)行修正。相應(yīng)的連續(xù)化ASMC算法設(shè)計為

3 仿真測試

仿真中設(shè)＝diag［950 600 360］kg·m2，ΔJ為標(biāo) 稱值 10%，外部干擾力矩為［sin0.1t2cos0.1t3sin0.2t］T×10－3N·m，初 始MRP姿態(tài)σb（t0）＝［0.3 －0.4 －0.5］T，初始姿態(tài)角速度為ωb（t0）＝［0 0 0］Trad／s，初始期望MRP姿態(tài)為σd（t0）＝［－0.2 0.3 0.1］T，期望角速度ωd（t0）＝［sin0.05t5sin0.02t3sin0.02t］T×10－3rad／s。為驗證本文方法的有效性，將文獻(xiàn)［6］提出的現(xiàn)有ASMC算法用于此姿態(tài)跟蹤控制。為便于比較，調(diào)節(jié)兩種控制器的參數(shù)使誤差MRP響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間均為30s，令記模型參考ASMC設(shè)計為R－ASMC，文獻(xiàn)［6］的 ASMC設(shè)計為C－ASMC。

設(shè)仿真采樣時間為0.001s以近似實現(xiàn)無窮頻率的切換動作。仿真結(jié)果如圖2～4所示。由圖2可知：當(dāng)聚合干擾上界未知時，兩種ASMC設(shè)計均可保證誤差MRP的調(diào)節(jié)時間要求。由圖3可知：C－ASMC中的控制力矩出現(xiàn)了嚴(yán)重的抖振，RASMC中的抖振被有效抑制。因非連續(xù)ASMC算法的抖振程度與切換增益成正比，這意味著CASMC產(chǎn)生的切換增益遠(yuǎn)大于R－ASMC，即出現(xiàn)了過度適應(yīng)問題。這可由圖4的切換增益對比結(jié)果得到驗證。由圖4可知：C－ASMC的切換增益值約13.5，R－ASMC中的≈0.8，說明本文方法能有效解決現(xiàn)ASMC設(shè)計的過度適應(yīng)問題。

圖2 兩種控制器作用下的誤差MRP響應(yīng)Fig.2 Error MRP response under action of two controllers

圖3 兩種控制器的軸1控制力矩Fig.3 1st axis control torque of two controllers

圖4 兩種控制器的切換增益對比Fig.4 Switching gain of two controllers

測試兩種控制器邊界層滑模條件下的性能。設(shè)仿真采樣時間為0.2s，均用式（17）、（18）的sigma修正保證切換增益的一致有界性。因誤差MRP響應(yīng)對比和切換增益對比類非連續(xù)ASMC的情況，本文僅給出連續(xù)化控制器的軸1控制力矩如圖5所示。由圖5可知：C－ASMC的控制力矩出現(xiàn)了大幅值跳變，在t≈13s時，控制力矩從－20N·m變?yōu)?0N·m，這顯然不利于執(zhí)行機(jī)構(gòu)的伺服控制系統(tǒng)對該力矩指令的實現(xiàn)。

圖5 兩種連續(xù)化控制器軸1控制力矩Fig.5 1st axis control torque of two continuous controllers

4 結(jié)束語

本文對基于模型參考自適應(yīng)滑模技術(shù)的姿態(tài)跟蹤控制進(jìn)行了研究。將積分滑?？刂频娜只Ｌ攸c擴(kuò)展到模型參考控制策略，設(shè)計了剛體航天器姿態(tài)跟蹤的模型參考自適應(yīng)滑?？刂品椒?。該方法消除了初始跟蹤誤差對切換增益自適應(yīng)過程的影響，有效解決了現(xiàn)有自適應(yīng)滑模控制中的過度適應(yīng)問題，且無需設(shè)計標(biāo)稱控制器。仿真結(jié)果驗證了所提方法的有效性。與現(xiàn)有的ASMC算法相比，本文方法能很大程度減少切換增益值，且與積分滑?？刂菩枰O(shè)計顯式的標(biāo)稱控制律不同，基于模型參考的ASMC策略利用參考軌跡描述標(biāo)稱姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的響應(yīng)過程，可與現(xiàn)有的路徑規(guī)劃方法結(jié)合解決約束條件下的姿態(tài)跟蹤問題，設(shè)計上有較大的靈活性。

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