趙春慧，李仕海

（上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

0 引言

國內(nèi)外對(duì)遠(yuǎn)程導(dǎo)引變軌方案設(shè)計(jì)進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)［1，2］介紹了遠(yuǎn)程導(dǎo)引段的Hohmann交會(huì)、雙橢圓轉(zhuǎn)移和Lambert交會(huì)等方法；文獻(xiàn)［3］在考慮測(cè)控約束的條件下，針對(duì)燃料消耗最優(yōu)、交會(huì)時(shí)間最優(yōu)或兩者加權(quán)最優(yōu)的目標(biāo)進(jìn)行了多脈沖變軌設(shè)計(jì)。上述脈沖式變軌是工程問題的簡(jiǎn)化處理。實(shí)際變軌過程中，推力大小有限，推進(jìn)并非瞬時(shí)進(jìn)行，特別是容許過載較小的衛(wèi)星進(jìn)行大軌道轉(zhuǎn)移時(shí)，在軌道上存在較長的推力弧段，此時(shí)脈沖假設(shè)不再成立。隨著高性能，中、低推進(jìn)水平的液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的廣泛采用，對(duì)有限推力變軌進(jìn)行了大量研究［4－6］。但與脈沖變軌相比，有限推力變軌設(shè)計(jì)的理論研究和工程實(shí)踐尚不成熟。另外，設(shè)計(jì)對(duì)遠(yuǎn)程導(dǎo)引變軌方案時(shí)，攝動(dòng)模型一般較簡(jiǎn)單（至多粗略估計(jì)J2項(xiàng)的長期效應(yīng)），當(dāng)飛行時(shí)間較長時(shí)攝動(dòng)模型誤差對(duì)交會(huì)結(jié)果的影響的積累量較大，會(huì)使由設(shè)計(jì)獲得的變軌方案在實(shí)際攝動(dòng)模型中難以實(shí)現(xiàn)追蹤航天器和目標(biāo)航天器的攔截或交會(huì)。

為此，本文對(duì)多脈沖式變軌方案的轉(zhuǎn)換修正算法進(jìn)行了研究。

1 基本原理

1.1 轉(zhuǎn)換原理

脈沖式變軌方案到有限推力式變軌方案的轉(zhuǎn)換如圖1所示。圖中：第i次速度脈沖Δvi作用在變軌時(shí)刻ti，第i次推力矢量Fi作用開始和結(jié)束時(shí)刻分別為tbi，tfi，1≤i≤n。

圖1 脈沖式變軌到有限推力式變軌

由牛頓第二定律，F(xiàn)i的作用時(shí)間

式中：M為變軌過程中航天器的平均質(zhì)量；F為發(fā)動(dòng)機(jī)推力。F為常值時(shí)，式（1）可近似變?yōu)?/p>

此處：ω為有效排氣速度。

在確定Fi作用的開始和結(jié)束時(shí)刻后，還應(yīng)確定其在作用時(shí)間內(nèi)的推力方向，可用軌道系中的方位角Al和俯仰角Ei描述，即

式中：Δvix，Δviy，Δviz分別為 Δvi在軌道系x、y、z三軸的分量；Δvi＝｜Δvi｜。

發(fā)動(dòng)機(jī)在工作過程中，其推力方向分為慣性系定向和軌道系（原點(diǎn)在航天器質(zhì)心，z軸垂直向下指向地心；x軸在軌道平面內(nèi)，垂直于z軸，指向前；y軸垂直于軌道平面，指向右）定向兩種。慣性系定向是指在發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)刻將推力方向調(diào)至Ai，Ei，此后推力方向在慣性空間保持不變；軌道系定向是指在整個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)段內(nèi)不斷調(diào)整推力方向，使之在軌道系中的方位角、俯仰角始終為Ai，Ei。工程中慣性系定向更易實(shí)現(xiàn)，軌道系定向可在固定方位、俯仰偏置角的準(zhǔn)對(duì)地定向三軸穩(wěn)定模式下操縱，或采用擺動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)在對(duì)地定向三軸穩(wěn)定模式下操縱。

1.2 修正原理

記遠(yuǎn)程導(dǎo)引結(jié)束時(shí)刻tf時(shí)追蹤航天器和目標(biāo)航天器的相對(duì)位置和相對(duì)速度矢量分別為ΔRf，Δvf，則實(shí)現(xiàn)交會(huì)的條件為

實(shí)現(xiàn)攔截的條件為

此修正問題實(shí)際是求解無約束優(yōu)化問題

式中：X為優(yōu)化變量（可選擇歷次變軌的起始、結(jié)束時(shí)間、推力方位角、俯仰角等變量）。

ΔRf，Δvf各有三個(gè)分量，當(dāng)且僅當(dāng)優(yōu)化變量個(gè)數(shù)≥6時(shí)，交會(huì)問題可解；當(dāng)且僅當(dāng)優(yōu)化變量個(gè)數(shù)≥3時(shí)，攔截問題可解。

一般，由初始脈沖式變軌方案轉(zhuǎn)換得到的有限推力式變軌方案為此優(yōu)化問題提供了一組較好的初值。只要選擇合適的優(yōu)化算法并構(gòu)造合適的優(yōu)化變量和目標(biāo)函數(shù)，此優(yōu)化問題能快速收斂至最優(yōu)解。

1.3 算法流程

算法流程如圖2所示。其中：修正算法模塊為核心部分，包括優(yōu)化算法模塊和預(yù)報(bào)器模塊兩部分。

L－BFGS－B算法依賴于模型梯度信息，可求解精確的局部最優(yōu)解，對(duì)初值依賴性較強(qiáng)［7］。遺傳算法不依賴于模型梯度信息，使用隨機(jī)轉(zhuǎn)換原則工作，可將結(jié)果優(yōu)化至全局最優(yōu)解附近，對(duì)初值依賴性弱［5］。當(dāng)優(yōu)化問題初值較好時(shí)，可直接用L－BFGSB算法求解；當(dāng)初值不好時(shí)，可先用遺傳算法將結(jié)果優(yōu)化至全局最優(yōu)解附近，再用L－BFGS－B算法求取精確的全局最優(yōu)解。

遺傳算法設(shè)計(jì)流程包含參數(shù)編碼、初始群體的設(shè)定、適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計(jì)、遺傳操作設(shè)計(jì)和控制參數(shù)設(shè)定五個(gè)基本要素。其中，參數(shù)編碼將需優(yōu)化的參數(shù)結(jié)合入遺傳算法，主要有二進(jìn)制編碼、浮點(diǎn)數(shù)編碼、動(dòng)態(tài)變量編碼等方式。本文問題為多約束多目標(biāo)連續(xù)變量優(yōu)化問題，故采用浮點(diǎn)數(shù)編碼。

圖2 修正算法流程Fig.2 Modified algorithm flowchart

控制參數(shù)選擇對(duì)遺傳算法收斂的作用非常重要。本文通過對(duì)交叉概率和變異概率的控制，使遺傳算法達(dá)到自適應(yīng)控制，在算法的速度和尋優(yōu)能力間取得了較好平衡。

STK／Astrogator預(yù)報(bào)器是STK軟件中的軌道機(jī)動(dòng)模塊，此模塊（通過STK／X技術(shù)嵌入程序）能提供真實(shí)攝動(dòng)環(huán)境中的精確軌道數(shù)據(jù)，但存在仿真速度慢的問題；J234軌道預(yù)報(bào)器是指在無推力作用段和推力作用段分別采用J234解析軌道預(yù)報(bào)器和Cowell數(shù)值積分法進(jìn)行軌道預(yù)報(bào)，一般情況下其精度能滿足要求，具有仿真速度快的優(yōu)點(diǎn)。

2 優(yōu)化問題分析

空間軌跡優(yōu)化是多變量復(fù)雜問題，非線性程度高，收斂性與初值誤差、優(yōu)化變量和目標(biāo)函數(shù)選取關(guān)系密切。

2.1 初值誤差分析

初值誤差為轉(zhuǎn)換誤差和攝動(dòng)模型誤差。

不同工況下由脈沖轉(zhuǎn)換為有限推力后的位置誤差如圖3所示。圖中：實(shí)線表示軌道系定向；虛線表示慣性系定向。由圖可知：脈沖速度越小，發(fā)動(dòng)機(jī)的推力和衛(wèi)星初始質(zhì)量之比越大，轉(zhuǎn)換誤差越?。煌屏Ψ较蛟谲壍老刀ㄏ虻霓D(zhuǎn)換誤差小于在慣性系定向的誤差。

圖3 不同工況下轉(zhuǎn)換位置誤差Fig.3 Transfer position error under various states

對(duì)攝動(dòng)誤差，其主要影響因素是地球非球形引力勢(shì)。一般飛行時(shí)間越長，軌道高度越低，由攝動(dòng)模型帶來的誤差就越大。

初始設(shè)計(jì)的多脈沖式變軌方案，轉(zhuǎn)換為有限推力式后，在真實(shí)攝動(dòng)環(huán)境中仿真，交會(huì)誤差可達(dá)102～103km量級(jí)。

2.2 優(yōu)化變量選擇

2.3 目標(biāo)函數(shù)選擇

對(duì)攔截，可直接將ΔRf作為目標(biāo)函數(shù)，即

式中：Δx，Δy，Δz為攔截時(shí)刻兩航天器在慣性坐標(biāo)系或軌道坐標(biāo)系中相對(duì)位置的三軸分量。

對(duì)交會(huì)，若用ΔRf，Δvf構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，則因兩者量綱和量級(jí)均不同，目標(biāo)函數(shù)相對(duì)優(yōu)化變量的敏度較大，優(yōu)化變量的微小變化就會(huì)引起目標(biāo)函數(shù)值的劇烈振蕩，目標(biāo)函數(shù)隨優(yōu)化變量變化的曲線形態(tài)較惡劣，不利于優(yōu)化問題的快速搜索求解。用相對(duì)軌道要素構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，可解決此問題［3］。

定義相對(duì)軌道要素型的目標(biāo)函數(shù)

式中：D，Δex，Δey，Δix，Δiy，ΔM′為交會(huì)時(shí)刻兩航天器的相對(duì)軌道要素；at0為初始時(shí)刻目標(biāo)航天器的半長軸；Tt0為初始時(shí)刻目標(biāo)航天器的軌道周期［8］。

相對(duì)軌道要素的定義如圖4所示。圖中：S0為基準(zhǔn)航天器軌道；S1為伴隨航天器軌道；O－XnYnZn為基準(zhǔn)航天器節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系Sn。

圖4 相對(duì)軌道要素定義Fig.4 Definition of relative orbit elements

在攝動(dòng)條件下，瞬時(shí)軌道要素時(shí)刻在變化，而平均軌道要素則是一組變化很慢的量。同理，為使目標(biāo)函數(shù)隨優(yōu)化變量變化的曲線性態(tài)更平緩，更利于優(yōu)化問題的快速求解，目標(biāo)函數(shù)中所用的相對(duì)軌道要素采用交會(huì)時(shí)刻兩航天器的平均軌道要素求得。

3 算例與分析

設(shè)初始時(shí)刻追蹤航天器和目標(biāo)航天器的軌道參數(shù)見表1。表中：a為半長軸；e為偏心率；i為軌道傾角；Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)；ω為近地點(diǎn)幅角；f為真近點(diǎn)角。令追蹤航天器的初始質(zhì)量（包括燃料）1 000kg，變軌發(fā)動(dòng)機(jī)推力50N，比沖300s。工程任務(wù)要求：將初始設(shè)計(jì)的脈沖式變軌方案轉(zhuǎn)換為有限推力式并進(jìn)行修正，使交會(huì)時(shí)刻兩航天器的相對(duì)距離在15km以內(nèi)，以便順利轉(zhuǎn)入近程階段。

表1 初始瞬時(shí)軌道根數(shù)Tab.1 Initial instance orbit elements

將初始設(shè)計(jì)得到的4次脈沖式變軌方案轉(zhuǎn)換為有限推力變軌方案，結(jié)果見表2。

表2 轉(zhuǎn)換后的有限推力變軌方案Tab.2 Finite thrust orbital transfer after transition

采用轉(zhuǎn)換后的有限推力變軌方案，真實(shí)飛行環(huán)境中，遠(yuǎn)程導(dǎo)引結(jié)束時(shí)刻兩航天器的交會(huì)誤差為176.74km（推力方向軌道系定向）；796.08km（推力方向慣性系定向）。兩種定向的優(yōu)化收斂過程分別如圖5、6所示。

圖5 推力方向軌道系定向修正收斂Fig.5 Modified convergence with orbit system orientation in thrust direction

圖6 推力方向慣性系定向修正收斂Fig.6 Modified convergence with inertial system orientation in thrust direction

初始設(shè)計(jì)脈沖式變軌方案和不同修正結(jié)果的有限推力式變軌方案的燃料消耗為：脈沖式變軌方案37.117kg；推力方向軌道系定向（修推力方向）38.285kg；推力方向軌道系定向（不修推力方向）38.455kg；推力方向慣性系定向（修推力方向）40.424kg；推力方向慣性系定向（不修推力方向）49.309kg。

實(shí)際上，脈沖式變軌方案只是一種簡(jiǎn)化處理，實(shí)際工程中需轉(zhuǎn)化為有限推力方案實(shí)施。用本文的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化和修正，由上述不同方案結(jié)果可知：有限推力式變軌方案消耗的燃料多于脈沖式變軌方案，這是因?yàn)樵谧冘壔《芜^程中存在引力損失；推力方向在慣性系定向消耗的燃料多于軌道系定向，是因?yàn)閼T性系定向的引力損失大于軌道系定向；不修正推力方向的燃料消耗多于修正推力方向，是因?yàn)橥ㄟ^修正推力方向可通過尋優(yōu)找到此種推力定向方式下（軌道系或慣性系中）引力損失最小要求的推力方位角和俯仰角。

4 結(jié)束語

本文對(duì)遠(yuǎn)程導(dǎo)引脈沖變軌方案的有限推力修正進(jìn)行了研究，可基于真實(shí)飛行環(huán)境對(duì)變軌方案進(jìn)行修正，仿真算例證明了各種工況下算法的有效性。由仿真結(jié)果可知：雖然推力方向在慣性系中定向較軌道系中定向操縱更容易，但消耗燃料更多。修正過程中可通過優(yōu)化推力方位角、俯仰角，實(shí)現(xiàn)節(jié)省燃料目的。

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