王健

知識要點：函數(shù)的性質

●單調性的判斷方法

①定義法：在定義域內先后進行取值、作差、變形、判正負.注意作差時須將差值f（x1）-f（x2）分解因式到可以判斷正負為止.

②導數(shù)法：對函數(shù)進行求導，根據(jù)導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調性 （必修不作要求）.

③圖象法、復合函數(shù)法.其中復合函數(shù)法判斷單調性遵循“同增異減”的原則.

●奇偶性的判斷步驟

①先看定義域是否關于原點對稱;

②其次化簡判斷函數(shù)值是否恒為零（既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)）;

③最后依據(jù)“同偶奇反”的原則，由定義判斷出函數(shù)f（x）與f（-x）的關系.

含有指數(shù)的函數(shù)的判斷過程需注意將f（x）與f（-x）用相同的形式來表示，如f（x）中含有ax，那么也要將f（-x）中的a-x化為來表示. 含有對數(shù)的函數(shù)可以通過觀察對數(shù)的真數(shù)部分相等還是互為倒數(shù)最終判斷出f（x）與f（-x）的關系，如lnx與ln互為相反數(shù).

●求周期的方法

①定義法：對定義域內任意的x，存在非零常數(shù)T，使得f（x+T）=f（x）恒成立，則T即為函數(shù)y=f（x）的一個周期.如f（x+a）=-的周期T=2a.

②公式法：y=asin（ωx+φ），y=acos（ωx+φ）的最小正周期T=;y=tan（ωx+φ）的最小正周期T=.三角函數(shù)周期一般用公式法求.

③歸納法或圖象法：通過已知條件進行歸納或直接觀察圖象得出周期.

【提醒】

（1） 注意函數(shù)單調性的隱性描述與應用：

①符號乘積描述：任意a，b∈D，a≠b，（a-b）[f（a）-f（b）]的正負恒定.

②幾何描述：任意一點處的切線斜率的正負恒定（必修不作要求）.

③導數(shù)描述：單調函數(shù)的導數(shù)正負恒定（必修不作要求）.

常見的與單調性有關的問題：比較函數(shù)值大小、解不等式、求函數(shù)值域、求參數(shù)的范圍等.注意所求單調區(qū)間不可超出定義域的范圍.

（2） 函數(shù)奇偶性的重要結論：

①若奇函數(shù)f（x）在原點有定義，則必有f（0）=0.

②奇函數(shù)在關于原點對稱的單調區(qū)間部分有相同的單調性，偶函數(shù)則有相反的單調性.

（3） 周期性常應用于三角函數(shù)、函數(shù)求值、數(shù)列求和等問題中.要能準確區(qū)分出f（x+a）=f（x+b）反映的是函數(shù)周期特征，f（a-x）=f（b+x）反映的是函數(shù)對稱特征.一個周期函數(shù)周期的整數(shù)倍還是這個函數(shù)的周期，若無特別說明，一般在求周期問題中所求的是最小正周期.

（4） 一般地，若一個函數(shù)有兩個對稱特征（對稱軸和對稱中心），則其一定為周期函數(shù).其中對稱中心與其相鄰的對稱軸的距離是周期的，相鄰的兩條對稱軸或兩對稱中心的距離是周期的.

【自查題組】

（1） 定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對任意的x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2），有（x2-x1）·[f（x2）-f（x1）]>0.則當n∈N*時，有 .

（A） f（-n）

（C） f（n+1）

（2） 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（-∞，0）上單調遞增的是 .

（A） f（x）= ? ? （B） f（x）=x2+1 （C） f（x）=x3 （D） f（x）=2-x

（3） f（x）=為R上的奇函數(shù)，則實數(shù)a= .

（4） 函數(shù)f（x）=log（x2-4）的單調遞增區(qū)間是 .

（5） 奇函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+2）為偶函數(shù)，則f（1）=1，則f（8）+f（9）= .

知識要點：指數(shù)、指數(shù)冪與對數(shù)運算

●指數(shù)、指數(shù)冪運算公式

① n次方根：當n為奇數(shù)時，=a;當n為偶數(shù)時，=a.

② 運算性質：aras=ar+s，=ar-s，（ar）s=ars，（ab）r=arbr （a>0）.

③ 指數(shù)冪運算：a=（a>0），a-n=（n>0）.

●對數(shù)的運算公式

①指對互化：ab=N？圳logaN=b（a>0且a≠1）.

②和差公式：logaM+logaN=logaMN，logaM-logaN=loga.

③化簡公式：loga MbN=loga b，aloga b=b（b>0）.

④換底公式：loga b=（c>0且c≠1），MlogaN=Nloga M.

【提醒】

①指數(shù)、指數(shù)冪與對數(shù)運算是解相應的方程、不等式和比較大小等典型常考問題的基礎，解題時注意利用公式統(tǒng)一函數(shù)、方程、不等式或代數(shù)式的形式，如：化成同底的指數(shù)或對數(shù)形式.

②解對數(shù)函數(shù)問題應注意真數(shù)與底數(shù)的限制條件：真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1.

③含參代數(shù)式開偶次方要注意討論其正負才能去掉絕對值，如=a.

【自查題組】

（6） 設a=log32，b=ln2，c=5-，則a，b，c的大小關系為 .

（7） 方程+=3x-1的實數(shù)解為 .

（8） 不等式log2（2x-1）·log2（2x+1-2）<2的解集是 .

（9） 化簡：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10） 已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，則的值為 .

知識要點：分段函數(shù)和含有絕對值的函數(shù)

●分段函數(shù)的特征

分段函數(shù)是一個函數(shù)，但在不同范圍內對應不同的表達式.其定義域是各段函數(shù)的定義域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函數(shù)最值中的最大值，最小值是各段函數(shù)最值中的最小值.

●分段函數(shù)圖象畫法

研究分段函數(shù)的重要方法是從它的圖象入手，畫分段函數(shù)的圖象應先根據(jù)各段函數(shù)的表達式畫出該段的函數(shù)圖象，然后將各段函數(shù)圖象通過定義域結合在一起，構成所求的完整圖象.

●分段函數(shù)的常見問題

①求值問題：解此類問題的關鍵是判斷自變量的值屬于分段函數(shù)定義的哪一段，再代入相應的表達式計算.關于周期函數(shù)的題目，代值所得結果會出現(xiàn)循環(huán)（如【自查題組】第12題），這時需要反復確認自變量的值所屬分段函數(shù)定義域的范圍，結合相應解析式來計算結果.

②解析式問題：比如知道f（x）在某一分段區(qū)間的函數(shù)解析式求對稱區(qū)間的函數(shù)解析式，這種情況通常需要結合函數(shù)的奇偶性，先將-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函數(shù)的奇偶性探究f（x）與f（-x）的關系，最后寫出所求函數(shù)表達式.

●含絕對值的函數(shù)的處理策略

①換元法：如函數(shù)y=x2+2x-1可化為y=x2+2x-1后令t=x換元為二次函數(shù)y=t2+2t-1（t≥0）.

②圖象變換法：y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）原來在x軸上方的圖象、把x軸下方部分沿x軸向上翻折后得到;y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）在y軸右方的圖象、去除y軸左方的圖象、然后將y軸右方的圖象關于y軸向左翻折后得到.

③化為分段函數(shù)：通過分類討論絕對值內代數(shù)式的正負去絕對值，轉化為分段函數(shù).

【提醒】

（1） 分段函數(shù)是一個函數(shù)，不能把它誤認為是幾個函數(shù).解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2） 含有參數(shù)的分段函數(shù)問題，利用圖象法研究時要注意參數(shù)對函數(shù)圖象范圍的影響，關注各段圖象的交點坐標與參數(shù)的聯(lián)系，注意關鍵點的計算.

（3） 求有關分段函數(shù)性質的問題時，應關注端點取值、每段函數(shù)圖象是相連的還是斷開的、能否取到特殊點（如奇函數(shù)能否取原點）等.

【自查題組】

（11） 設函數(shù)g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12） 已知函數(shù)f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，則f（2014）的值為 .

（13） 已知函數(shù)f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是 .

（14） 若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的單調遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為

.

（15） 設a為實常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為 .

【參考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4） （-∞，-2） 【復合函數(shù)單調性遵循同增異減的原則判斷】

（5） 1 【根據(jù)f（x）=-f（-x）與f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），則log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，則有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意對數(shù)式中真數(shù)大于0】

（11） -，0∪（2，+∞） 【如圖1所示】

（12） -2

（13） （10，12） 【f（x）圖象如圖2所示，若滿足題意，則平行于x軸的直線與圖象有三個不同的交點，且交點橫坐標分別為a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0時，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0時，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根據(jù)均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由題意可知6a-7≥a+1恒成立，當a≥0時不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 綜上所述，a≤-】

（9） 化簡：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10） 已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，則的值為 .

知識要點：分段函數(shù)和含有絕對值的函數(shù)

●分段函數(shù)的特征

分段函數(shù)是一個函數(shù)，但在不同范圍內對應不同的表達式.其定義域是各段函數(shù)的定義域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函數(shù)最值中的最大值，最小值是各段函數(shù)最值中的最小值.

●分段函數(shù)圖象畫法

研究分段函數(shù)的重要方法是從它的圖象入手，畫分段函數(shù)的圖象應先根據(jù)各段函數(shù)的表達式畫出該段的函數(shù)圖象，然后將各段函數(shù)圖象通過定義域結合在一起，構成所求的完整圖象.

●分段函數(shù)的常見問題

①求值問題：解此類問題的關鍵是判斷自變量的值屬于分段函數(shù)定義的哪一段，再代入相應的表達式計算.關于周期函數(shù)的題目，代值所得結果會出現(xiàn)循環(huán)（如【自查題組】第12題），這時需要反復確認自變量的值所屬分段函數(shù)定義域的范圍，結合相應解析式來計算結果.

②解析式問題：比如知道f（x）在某一分段區(qū)間的函數(shù)解析式求對稱區(qū)間的函數(shù)解析式，這種情況通常需要結合函數(shù)的奇偶性，先將-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函數(shù)的奇偶性探究f（x）與f（-x）的關系，最后寫出所求函數(shù)表達式.

●含絕對值的函數(shù)的處理策略

①換元法：如函數(shù)y=x2+2x-1可化為y=x2+2x-1后令t=x換元為二次函數(shù)y=t2+2t-1（t≥0）.

②圖象變換法：y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）原來在x軸上方的圖象、把x軸下方部分沿x軸向上翻折后得到;y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）在y軸右方的圖象、去除y軸左方的圖象、然后將y軸右方的圖象關于y軸向左翻折后得到.

③化為分段函數(shù)：通過分類討論絕對值內代數(shù)式的正負去絕對值，轉化為分段函數(shù).

【提醒】

（1） 分段函數(shù)是一個函數(shù)，不能把它誤認為是幾個函數(shù).解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2） 含有參數(shù)的分段函數(shù)問題，利用圖象法研究時要注意參數(shù)對函數(shù)圖象范圍的影響，關注各段圖象的交點坐標與參數(shù)的聯(lián)系，注意關鍵點的計算.

（3） 求有關分段函數(shù)性質的問題時，應關注端點取值、每段函數(shù)圖象是相連的還是斷開的、能否取到特殊點（如奇函數(shù)能否取原點）等.

【自查題組】

（11） 設函數(shù)g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12） 已知函數(shù)f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，則f（2014）的值為 .

（13） 已知函數(shù)f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是 .

（14） 若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的單調遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為

.

（15） 設a為實常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為 .

【參考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4） （-∞，-2） 【復合函數(shù)單調性遵循同增異減的原則判斷】

（5） 1 【根據(jù)f（x）=-f（-x）與f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），則log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，則有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意對數(shù)式中真數(shù)大于0】

（11） -，0∪（2，+∞） 【如圖1所示】

（12） -2

（13） （10，12） 【f（x）圖象如圖2所示，若滿足題意，則平行于x軸的直線與圖象有三個不同的交點，且交點橫坐標分別為a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0時，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0時，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根據(jù)均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由題意可知6a-7≥a+1恒成立，當a≥0時不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 綜上所述，a≤-】

（9） 化簡：①20.5+0.1-2+2--3π0+; ②a.

（10） 已知2lg（x-2y）=lgx+lgy，則的值為 .

知識要點：分段函數(shù)和含有絕對值的函數(shù)

●分段函數(shù)的特征

分段函數(shù)是一個函數(shù)，但在不同范圍內對應不同的表達式.其定義域是各段函數(shù)的定義域的并集，值域是各段值域的并集，最大值是各段函數(shù)最值中的最大值，最小值是各段函數(shù)最值中的最小值.

●分段函數(shù)圖象畫法

研究分段函數(shù)的重要方法是從它的圖象入手，畫分段函數(shù)的圖象應先根據(jù)各段函數(shù)的表達式畫出該段的函數(shù)圖象，然后將各段函數(shù)圖象通過定義域結合在一起，構成所求的完整圖象.

●分段函數(shù)的常見問題

①求值問題：解此類問題的關鍵是判斷自變量的值屬于分段函數(shù)定義的哪一段，再代入相應的表達式計算.關于周期函數(shù)的題目，代值所得結果會出現(xiàn)循環(huán)（如【自查題組】第12題），這時需要反復確認自變量的值所屬分段函數(shù)定義域的范圍，結合相應解析式來計算結果.

②解析式問題：比如知道f（x）在某一分段區(qū)間的函數(shù)解析式求對稱區(qū)間的函數(shù)解析式，這種情況通常需要結合函數(shù)的奇偶性，先將-x代入f（x）的解析式，求出f（-x），再由函數(shù)的奇偶性探究f（x）與f（-x）的關系，最后寫出所求函數(shù)表達式.

●含絕對值的函數(shù)的處理策略

①換元法：如函數(shù)y=x2+2x-1可化為y=x2+2x-1后令t=x換元為二次函數(shù)y=t2+2t-1（t≥0）.

②圖象變換法：y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）原來在x軸上方的圖象、把x軸下方部分沿x軸向上翻折后得到;y=f（x）的圖象可由先保留y=f（x）在y軸右方的圖象、去除y軸左方的圖象、然后將y軸右方的圖象關于y軸向左翻折后得到.

③化為分段函數(shù)：通過分類討論絕對值內代數(shù)式的正負去絕對值，轉化為分段函數(shù).

【提醒】

（1） 分段函數(shù)是一個函數(shù)，不能把它誤認為是幾個函數(shù).解析式形式：f（x）=f1（x），x∈D1，f2（x），x∈D2，…

（2） 含有參數(shù)的分段函數(shù)問題，利用圖象法研究時要注意參數(shù)對函數(shù)圖象范圍的影響，關注各段圖象的交點坐標與參數(shù)的聯(lián)系，注意關鍵點的計算.

（3） 求有關分段函數(shù)性質的問題時，應關注端點取值、每段函數(shù)圖象是相連的還是斷開的、能否取到特殊點（如奇函數(shù)能否取原點）等.

【自查題組】

（11） 設函數(shù)g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

（12） 已知函數(shù)f（x）=2x，x≤1，-f（x-3），x>1，則f（2014）的值為 .

（13） 已知函數(shù)f（x）=lgx，010.若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是 .

（14） 若f（x）=ax（x>1），4-x+2（x≤1）是R上的單調遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為

.

（15） 設a為實常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f（x）=9x++7. 若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為 .

【參考答案】

（1） C

（2） A

（3） 1 【f（0）=0】

（4） （-∞，-2） 【復合函數(shù)單調性遵循同增異減的原則判斷】

（5） 1 【根據(jù)f（x）=-f（-x）與f（x+2）=f（2-x）求解】

（6） c

（7） x=log34

（8） {xlog2<x<log23} 【log2（2x-1）·log2[2×（2x-1）]<2，令t=（2x-1），則log2t·log2（2t）=log2t·（log22+log2t）<2.再令m=log2t，則有m2+m-2<0，解得-2

（9） ①100;②-

（10） 4 【注意對數(shù)式中真數(shù)大于0】

（11） -，0∪（2，+∞） 【如圖1所示】

（12） -2

（13） （10，12） 【f（x）圖象如圖2所示，若滿足題意，則平行于x軸的直線與圖象有三個不同的交點，且交點橫坐標分別為a，b，c】

（14） [4，8）

（15） {aa≤-} 【x=0時，f（0）=0，所以由f（x）≥a+1得a≤-1;x>0時，f（x）=-f（-x）=9x+-7，根據(jù)均值不等式可知[f（x）]min=6a-7，由題意可知6a-7≥a+1恒成立，當a≥0時不等式不恒成立，所以a<0，故a≤-. 綜上所述，a≤-】