張 耿，王建華，勞奇成，李 陽(yáng)

（西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安710021）

滾刀的齒面屬于復(fù)雜的空間曲面，國(guó)內(nèi)外多用計(jì)算機(jī)數(shù)字控制（Computer Numerical Control，CNC）齒輪測(cè)量中心對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)．同一滾刀在不同的設(shè)備上進(jìn)行測(cè)量時(shí)，由于測(cè)量程序的不同，測(cè)量結(jié)果會(huì)存在差異．目前，國(guó)內(nèi)外缺少適用于檢驗(yàn)一般滾刀測(cè)量?jī)x器的高精度樣板，滾刀測(cè)量難以溯源，根據(jù)測(cè)量結(jié)果無(wú)法判斷測(cè)量程序的正確性［1］．虛擬齒輪測(cè)量中心是用于仿真真實(shí)CNC齒輪測(cè)量中心測(cè)量過(guò)程的虛擬系統(tǒng)，本質(zhì)是理論的數(shù)學(xué)模型，其結(jié)合滾刀測(cè)量程序，對(duì)理論準(zhǔn)確的虛擬滾刀進(jìn)行仿真測(cè)量，從而驗(yàn)證測(cè)量程序的正確性．在建立復(fù)雜三維模型時(shí)，常采用逆向工程法和數(shù)學(xué)模型法兩種方法．逆向工程法的核心是實(shí)物的逆向重構(gòu)，采用一定的測(cè)量方法對(duì)實(shí)物進(jìn)行數(shù)據(jù)測(cè)量，然后借助三維幾何建模方法對(duì)實(shí)物的CAD模型進(jìn)行重構(gòu)［2］．?dāng)?shù)學(xué)模型法的核心是通過(guò)數(shù)學(xué)方法求解目標(biāo)模型的幾何方程，結(jié)合CAD軟件建立模型［3］．這種方法得到的模型誤差小，且精度可控．文獻(xiàn)［4］采用空間交錯(cuò)軸原理，根據(jù)齒輪的齒面方程推導(dǎo)出共軛滾刀的齒面方程．文獻(xiàn)［5］根據(jù)加工原理得出了滾刀的齒面方程，建立了滾刀加工齒輪的三維模型，借助三維CAD平臺(tái)，對(duì)齒輪加工過(guò)程進(jìn)行三維模擬．

根據(jù)虛擬齒輪測(cè)量中心對(duì)虛擬工件的接口要求可知，虛擬工件必須為STL格式文件（Stereo Lithography，STL）．STL文件格式是用三角面片集來(lái)逼近還原實(shí)體模型表面的一種文件格式［6］．構(gòu)造三角面片集模型的方法有兩種：①通過(guò)三維CAD軟件建立幾何模型，借助軟件的功能，直接將模型保存為三角面片集模型．這種方法簡(jiǎn)便快捷，可視性好，易實(shí)現(xiàn)參數(shù)化．但所建模型精度受建模軟件限制，在生成三角面片集模型時(shí)有嚴(yán)重的精度損失，且三角面片間易出現(xiàn)縫隙、孔洞［2］，難以滿足測(cè)量的要求；②通過(guò)構(gòu)建工件的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算出大量的精確的離散點(diǎn)，將這些離散點(diǎn)連接成三角面片集．此方法中，離散點(diǎn)的密度和精度完全可控，可滿足虛擬測(cè)量中心的測(cè)量要求．文獻(xiàn)［6］根據(jù)加工原理和坐標(biāo)變換矩陣，求出弧齒錐齒輪的齒面離散點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算三角面片到理論曲面的最大距離，得到了離散點(diǎn)數(shù)目與誤差的對(duì)應(yīng)表，構(gòu)建了誤差小于1μm的三角面片集模型．

文中通過(guò)分析齒輪滾刀的加工原理，推導(dǎo)出滾刀的齒面方程，經(jīng)過(guò)離散處理，得到大量精確的齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)，從而建立了理論標(biāo)準(zhǔn)的齒輪滾刀三角面片集模型．

1 齒面離散點(diǎn)的求解

齒輪滾刀相當(dāng)于蝸桿，只是在蝸桿上切出了容屑槽以形成切削刃，刀齒經(jīng)過(guò)鏟背以形成后角，使蝸桿變成了滾刀．這個(gè)蝸桿稱為滾刀的基本蝸桿．滾刀在鏟齒時(shí)，需要進(jìn)行螺距掛輪，在橫向鏟齒進(jìn)給的同時(shí)，還要有縱向螺距走刀運(yùn)動(dòng)．在鏟螺旋槽滾刀時(shí)，還應(yīng)進(jìn)行差動(dòng)掛輪．可以看出，滾刀切削刃落在其基本蝸桿表面上，側(cè)鏟面和齒頂鏟背面由鏟背運(yùn)動(dòng)得到．鏟背運(yùn)動(dòng)可看作是滾刀切削刃上每一點(diǎn)沿鏟背曲線進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，如圖1所示．

圖1 切削刃在基本蝸桿上Fig．1 Cutting edges on the basic worm

圖1中，齒面上一點(diǎn)G落在鏟背曲線MN上，曲線MN的起點(diǎn)M落在切切削刃上．由此可以看出，只需求出切削刃及其相應(yīng)的鏟背曲線，就可得到鏟面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)值．

1．1 建立阿基米德滾刀切削刃方程

切削刃落在基本蝸桿上，是基本蝸桿表面和前刀面的交線．

在坐標(biāo)系xyz中，設(shè)阿基米德蝸桿的直母線在坐標(biāo)系平面xoy內(nèi)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)o，蝸桿導(dǎo)程為P，其軸向截形為如圖2中曲線oabcde所示．其中Sox為蝸桿分圓處的軸向齒寬，α為齒形角．

線段oa為直線，方程為

其中ry為蝸桿任意點(diǎn)半徑．

線段ab為圓弧，圓心坐標(biāo)為（x1，r1），半徑為rc，方程為

線段bc為直線，方程為其中ra為齒頂圓半徑．

線段cd為圓弧，圓心坐標(biāo)為（x2，r2），半徑為rc，方程為

線段de為直線，方程為

其中Δx0＝Sox＋2r0tanα，r0為分圓半徑．

圖2 阿基米德蝸桿的軸向截形Fig．2 Axial cross-sectional shape of Archimedes worm

令基本蝸桿的軸向截形繞x軸做導(dǎo)程為P螺旋運(yùn)動(dòng)，可得出基本蝸桿各面的方程，當(dāng)轉(zhuǎn)過(guò)θ角度后，其左側(cè)面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為

用同樣方法可求得左圓角面的方程為

右圓角面方程為

齒頂面方程為

右側(cè)面方程為

正前角滾刀前刀面的母線是一條偏離中心為e值的直線，滾刀齒頂處的前角為γ．令該母線作螺旋運(yùn)動(dòng)，即得正前角螺旋槽滾刀的前刀面，其方程為

其中Pk為螺旋槽的導(dǎo)程．

前刀面和基本蝸桿表面的交線，即為滾刀的切削刃．左側(cè)切削刃方程為

切削刃左圓角方程為

齒頂切削刃方程為

切削刃右圓角方程為

右側(cè)切削刃方程為

1．2 建立鏟背曲線方程

鏟齒時(shí)，滾刀轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)齒，鏟刀徑向前進(jìn)K（鏟背量）；滾刀轉(zhuǎn)過(guò)一周，鏟刀軸向進(jìn)給p（基本蝸桿導(dǎo)程），如圖3所示．

圖3 滾刀的鏟齒Fig．3 Relieving tooth of hob

圖3中鏟背曲線以M（rm，xm，θm）為起點(diǎn)，當(dāng)滾刀轉(zhuǎn)過(guò)角度Δθ時(shí)，鏟刀徑向前進(jìn)Δr，鏟刀軸向前進(jìn)Δx，則

其中ZK是滾刀的圓周齒數(shù)．鏟背曲線的方程為

1．3 求解齒面離散點(diǎn)

鏟面上離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的獲得方法為：將切削刃離散成一系列i個(gè)點(diǎn)，分別以這些點(diǎn)為起點(diǎn)建立相應(yīng)的鏟背曲線，再將每條鏟背曲線離散成一系列j個(gè)點(diǎn)，這樣我們就可以得到鏟面上的i×j個(gè)離散點(diǎn)．結(jié)合切削刃和鏟背曲線的方程，實(shí)現(xiàn)鏟面上任一點(diǎn)的求解．

2 構(gòu)建三角面片集模型

虛擬測(cè)量中心能識(shí)別的三角面片集文件是STL文件，該格式的文件包含每個(gè)三角面片的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及該面片的法矢．本文生成的數(shù)據(jù)點(diǎn)是以鏟背方向?yàn)樾?，以徑向?yàn)榱信帕械?，生成STL文件時(shí)，根據(jù)三角面片的構(gòu)造算法，按順序依次讀入數(shù)據(jù)點(diǎn)作為三角面片的頂點(diǎn)，再計(jì)算出各面片的法矢，按照STL文件的格式輸出滾刀齒的三角面片集模型，如圖4所示．

圖4 鏟背面三角面片集模型Fig．4 Shoveling surface model of triangular patch set

3 結(jié)果分析及驗(yàn)證

3．1 齒面方程驗(yàn)證

文獻(xiàn)［7］中滾刀鏟面形成理論指出，滾刀在鏟側(cè)刃時(shí)，左、右側(cè)鏟面的軸向齒形角和基本蝸桿相等，左右側(cè)鏟面的導(dǎo)程應(yīng)不同，以右旋直槽滾刀為例，左側(cè)鏟面導(dǎo)程P′應(yīng)小于基本蝸桿導(dǎo)程對(duì)于直槽滾刀，左側(cè)導(dǎo)程P′小于基本蝸桿導(dǎo)程P，其值為

由式（10）可知，當(dāng)滾刀為直槽零前角，軸向齒形角為α0時(shí)，左切削刃上半徑為rh的點(diǎn)H（xh，rh）滿足如下方程

如圖5所示，鏟刀從H點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)行鏟齒，由式（15）可知，所創(chuàng)成的左側(cè)鏟面上一點(diǎn)G的坐標(biāo)滿足

其中鏟削當(dāng)量Ke＝ZKK．

圖5 鏟刀創(chuàng)成側(cè)鏟面Fig．5 The side shoveling surface made by relieving tool

聯(lián)立式（16）～（18），即得左側(cè)鏟面的方程

可以看出鏟刀創(chuàng)成的側(cè)鏟面是一個(gè)阿基米德螺旋面，其齒形角為α0，導(dǎo)程為

綜上所述，文中所建立的齒面方程與滾刀鏟面形成理論相符．

3．2 相鄰齒面間的無(wú)縫連接

文中所建立的滾刀模型，作為虛擬工件，應(yīng)用于虛擬齒輪測(cè)量中心的掃描檢測(cè)．在虛擬測(cè)量過(guò)程中，首先檢測(cè)測(cè)頭與工件是否發(fā)生碰撞，如碰撞則沿零件邊緣進(jìn)行連續(xù)掃描式檢測(cè)，在此過(guò)程中要實(shí)現(xiàn)返回碰撞點(diǎn)的坐標(biāo)信息和觸測(cè)矢量，以檢測(cè)測(cè)量程序和測(cè)量方案正確與否［8］．故虛擬工件待測(cè)部分要求每一點(diǎn)都必須有數(shù)據(jù)，三角面片集無(wú)孔洞、裂縫和重疊等現(xiàn)象，否則無(wú)法得出是否發(fā)生碰撞及相關(guān)的重要信息，甚至造成死機(jī)或無(wú)法預(yù)知的錯(cuò)誤．

文中通過(guò)程序?qū)崿F(xiàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的求解以及三角面片集模型的構(gòu)建，在計(jì)算各齒面離散數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)，使兩個(gè)相接的面在交線處共用一組完全相同的數(shù)據(jù)點(diǎn)，從而使第一個(gè)面邊界處的三角形面片和第二個(gè)面邊界處的三角形面片共用同一條邊，以此實(shí)現(xiàn)各面之間的無(wú)縫連接．

4 結(jié) 論

文中提出了一種基于加工原理的齒輪滾刀鏟背面方程的求解算法，由方程得到大量精確的齒面離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，以此構(gòu)建了齒輪滾刀的三角面片集模型．理論分析表明，文中所述算法建立的齒面方程與滾刀鏟面形成理論相符，所建模型的各三角面之間實(shí)現(xiàn)無(wú)縫連接．后續(xù)研究在于模型精度和離散數(shù)據(jù)點(diǎn)密度之間關(guān)系的量化．

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