王 毅，宋衛(wèi)東，佟德飛

（軍械工程學(xué)院 火炮工程系，石家莊050003）

打擊精確化是陸軍在未來信息化戰(zhàn)爭中立足的基礎(chǔ)，新型炮兵制導(dǎo)彈藥的發(fā)展受到各國陸軍的高度重視。彈道修正彈作為一種具有一定打擊精度的新型制導(dǎo)彈藥，自美國上世紀(jì)70年代中期提出以來取得了長足的發(fā)展。各國學(xué)者提出了制導(dǎo)炮彈的多種二維修正控制方式，大致可歸為2類：基于氣動力的修正控制和基于直接力的修正控制?；跉鈩恿Φ亩S修正常用的是基于鴨舵或正常舵的控制方式，該方式可連續(xù)提供用于修正的力和力矩。另外，基于擺動頭錐的修正控制方式也屬于該種類型［1－2］?；谥苯恿Φ男拚刂品绞酵ㄟ^在彈丸質(zhì)心位置附近沿彈體圓周布置脈沖推沖器，利用脈沖推力矢量修正彈道軌跡，該方式具有響應(yīng)速度快、控制方式簡單的特點(diǎn)。

彈道修正引信是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。彈道修正引信在具備已有功能的基礎(chǔ)上，擴(kuò)展了彈道探測、彈道解算和修正控制等功能，僅采用彈道修正引信替換原有引信即可達(dá)到減小散布、提高精度的目的［3］。Clancy J A、Bybee T D等研制了基于固定鴨舵的彈道修正引信［4］，該引信采用修正組件與彈體具有不同的滾轉(zhuǎn)角速度的單通道修正控制技術(shù)，克服了旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈轉(zhuǎn)速過高不易修正控制的問題。修正組件與彈體具有不同的滾轉(zhuǎn)角速度，傳統(tǒng)的六自由度剛體彈道模型不能有效地描述彈丸在飛行過程中的運(yùn)動狀態(tài)。針對該問題，Costello M建立了七自由度剛體彈道模型［5］，但該模型沒有針對具體的修正模式進(jìn)行研究，雖可用于基于固定鴨舵的彈道修正彈，但不能精確反映彈丸在飛行過程中的受力，也不能有效描述彈丸修正組件與彈體之間的相互作用。

對基于固定鴨舵的彈道修正引信，國內(nèi)外進(jìn)行了大量研究。郝永平、張嘉易等研究了舵片面積、翼展、翼型、舵偏角等因素與彈丸升力之間的關(guān)系，并分析了前置舵片對彈丸氣動特性的影響［6－7］。紀(jì)秀玲等利用TVD格式求解N－S方程，采用雙時間推進(jìn)方法對帶可旋轉(zhuǎn)固定鴨舵的旋轉(zhuǎn)彈丸的流場進(jìn)行數(shù)值模擬，分析其俯仰特性隨鴨舵方位角的變化規(guī)律［8］。Wernert P采用線性化理論分析了安裝基于固定鴨舵的彈道修正引信的某型155mm旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的穩(wěn)定性［9］，但未針對基于固定鴨舵的二維彈道修正彈進(jìn)行仔細(xì)深入的建模分析。綜上，迄今未有學(xué)者針對基于固定鴨舵的二維彈道修正彈的建模問題進(jìn)行深入研究。

本文引入多剛體理論，將彈丸作為滾轉(zhuǎn)角速度不同的2個剛體進(jìn)行研究。針對修正組件氣動外形不對稱的問題，在修正組件質(zhì)心建立新坐標(biāo)系，分析其在彈丸飛行過程中的受力；應(yīng)用多剛體理論，研究2個剛體間的相對運(yùn)動關(guān)系和相互作用。在此基礎(chǔ)上建立了描述彈丸飛行過程的七自由度彈道模型，并通過仿真驗(yàn)證了模型的正確性。

1 彈丸受力分析

圖1所示為某彈道修正引信的外形圖。舵1和舵3具有相同的舵偏角，但舵偏角方向不同，稱其為一對差動舵；舵2與舵4舵偏角方向均相同，稱其為一對操縱舵。引信通過螺紋連接彈體上，并與彈體同軸。在來流作用下，差動舵形成的導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩使引信頭部產(chǎn)生與彈體方向相反的滾轉(zhuǎn)角速度，而引信尾部將與彈體一同旋轉(zhuǎn)。將轉(zhuǎn)速不同的兩部分作為不同的剛體進(jìn)行分析，并分別將其稱為修正組件和彈體，分別用下標(biāo)f和a進(jìn)行標(biāo)記。

圖1 引信舵片分布示意圖

由于彈丸氣動外形非對稱，若來流速度大小一定，來流從不同方位吹向圖1所示姿態(tài)的彈丸，彈丸所受氣動力不同。在彈丸飛行過程中，彈丸軸線與彈丸質(zhì)心速度矢量的夾角（以下稱章動角δ）按二圓運(yùn)動的規(guī)律變化，且修正組件繞彈丸軸線旋轉(zhuǎn)，彈丸所受氣動力不斷變化，且比軸對稱外形彈丸的受力復(fù)雜。

假設(shè)修正組件與彈體之間無氣動耦合現(xiàn)象，將修正組件和彈體作為不同的剛體進(jìn)行分析。

1.1 修正組件受力

引入修正組件體坐標(biāo)系、修正組件速度坐標(biāo)系，如圖2所示。坐標(biāo)系定義如下。

地面發(fā)射系Oxyz：坐標(biāo)原點(diǎn)取發(fā)射點(diǎn)，Ox軸在發(fā)射點(diǎn)水平面內(nèi)指向發(fā)射瞄準(zhǔn)方向，Oy軸沿發(fā)射點(diǎn)的鉛垂線向上，Oz軸垂直于Oxy平面，構(gòu)成右手系。

修正組件體坐標(biāo)系Ofxf1yf1zf1：坐標(biāo)原點(diǎn)位于修正組件質(zhì)心，Ofxf1沿修正組件軸線，Ofyf1在修正組件縱向?qū)ΨQ面內(nèi)垂直于Ofxf1；Ofxf1，Ofyf1，Ofzf1構(gòu)成右手系。

修正組件速度坐標(biāo)系Ofxf2yf2zf2：坐標(biāo)原點(diǎn)位于修正組件質(zhì)心，Ofxf2沿修正組件速度方向，Ofyf2在修正組件縱向?qū)ΨQ面內(nèi)垂直于Ofxf2；Ofxf2，Ofyf2，Ofzf2構(gòu)成右手系。

G為彈丸質(zhì)心，Gf和Ga分別為修正組件和彈體的質(zhì)心，且分別距質(zhì)心G的距離為lf和la，則有：

圖2 坐標(biāo)系定義

引入攻角αf、側(cè)滑角βf，定義如下。

攻角αf：修正組件速度矢量在修正組件縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的投影與Ofxf1軸的夾角，規(guī)定Ofxf1軸在上時攻角αf為正。

側(cè)滑角βf：修正組件速度矢量與修正組件縱向?qū)ΨQ面的夾角，規(guī)定速度矢量指向修正組件縱向?qū)ΨQ面右側(cè)時側(cè)滑角βf為正。

幾何關(guān)系方程為

式中：φ，ψ，γf，θ，σ分別為修正組件的俯仰角、偏航角、滾轉(zhuǎn)角、修正組件速度傾角和修正組件速度偏角。

通過攻角αf、側(cè)滑角βf和馬赫數(shù)Ma插值獲得了氣動參數(shù)后，經(jīng)計(jì)算得到修正組件所受空氣動力。

修正組件受力包括空氣動力、重力和彈體對修正組件的力，彈體對修正組件的力Ffa＝（Ffa，xFfa，yFfa，z）T，F(xiàn)fa，x，F(xiàn)fa，y，F(xiàn)fa，z為其在發(fā)射系下的分量。將修正組件受力投影到發(fā)射系中，有：

式 中：vf，x，vf，y，vf，z，F(xiàn)f，x，F(xiàn)f，y，F(xiàn)f，z分 別 為 修 正 組 件質(zhì)心速度和其所受空氣動力在發(fā)射系中的分量，mf為修正組件的質(zhì)量。

將修正組件所受氣動力矩分解到準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系，并在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系建立動力學(xué)方程：

式中：Jf，x，Jf，y，Jf，z為修正組件相對彈丸質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量；ωf，x4，ωf，y4，ωf，z4為修正組件角速度在準(zhǔn)彈體 坐 標(biāo) 系 中 的 分 量；Mf，x4，Mf，y4，Mf，z4，Mfa，x4，Mfa，y4，Mfa，z4分別為修正組件所受氣動力矩和彈體對修正組件的力矩在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系中的分量。

1.2 彈體受力

彈體為旋成體氣動外形，其受力和力矩相對簡單。為便于受力，建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于彈體的質(zhì)心上。彈體質(zhì)心運(yùn)動方程為

將彈體所受氣動力矩分解到準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系，并在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系建立動力學(xué)方程：

式中：Ja，x，Ja，y，Ja，z為彈體相對彈丸質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量；ωa，x4，ωa，y4，ωa，z4為彈體角速度在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系中 的 分 量 ；Ma，x4，Ma，y4，Ma，z4，Maf，x4，Maf，y4，Maf，z4分別為彈體所受氣動力矩和修正組件對彈體的力矩在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系中的分量。

2 二體運(yùn)動分析

在軸承的約束下，修正組件和彈體具有相同的俯仰角速度和偏航角速度，即

式中：ωy，ωz為發(fā)射系下彈丸繞質(zhì)心的偏航角速度和俯仰角速度；，為其相應(yīng)的偏航角速度和俯仰角加速度。

以彈丸質(zhì)心為基點(diǎn)，則發(fā)射系下修正組件和彈體的質(zhì)心速度矢量分別為

設(shè)彈丸質(zhì)心加速度為a。以彈丸質(zhì)心為基點(diǎn)，則修正組件和彈體的質(zhì)心加速度矢量分別為

則由式（1）可得：

修正組件和彈體通過軸承連接，不計(jì)安裝誤差，兩剛體同軸，且準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下偏航角速度和俯仰角速度 相 同，即ωf，y4＝ωa，y4＝ωy4，ωf，z4＝ωa，z4＝ωz4，在保證連接強(qiáng)度的條件下，兩組件間通過軸承傳遞俯仰力矩和偏航力矩。由于軸承摩擦的存在，差動舵形成的導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩需要克服軸承的摩擦力矩使修正組件旋轉(zhuǎn)；在修正過程中，制動器輸出摩擦力矩改變修正組件轉(zhuǎn)速從而調(diào)整彈體姿態(tài)。兩摩擦力矩構(gòu)成準(zhǔn)彈體系中兩組件間的軸向力矩。由式（6），可將式（3）和式（5）的第2個和第3個方程分別相加，并消去兩剛體間的相互作用力矩，可得：

3 彈道建模

彈丸質(zhì)心速度矢量為v＝（vxvyvz）T，由式（12）可得：

彈丸繞質(zhì)心的角運(yùn)動方程為

式中：Jy＝Jf，y＋Ja，y，Jz＝Jf，z＋Ja，z。

彈丸質(zhì)心運(yùn)動方程為

彈丸角運(yùn)動方程為

綜上，可得彈丸數(shù)學(xué)模型。由于修正組件與彈體滾轉(zhuǎn)角速度不同，需要不同的方程進(jìn)行描述，故可將該模型稱為七自由度彈道模型。

4 仿真結(jié)果分析

采用某型炮彈的氣動參數(shù)進(jìn)行無控仿真，彈丸結(jié)構(gòu)參數(shù)和仿真初始參數(shù)見表1。表中m、L、S、vi、A1、Ad分別為彈丸的質(zhì)量、特征長度、特征面積、初速、射角和射向。仿真步長取0.001s，仿真初始位置取圖1所示位置。

表1 彈丸結(jié)構(gòu)參數(shù)和仿真初始參數(shù)

氣象條件取標(biāo)準(zhǔn)氣象。該彈丸為尾翼穩(wěn)定的低速滾轉(zhuǎn)彈丸，忽略馬格努斯力和馬格努斯力矩帶來的影響。

連接修正組件與彈體的軸承是球軸承，其接觸為點(diǎn)接觸。兩組件間的相對運(yùn)動會使軸承滾珠發(fā)熱膨脹，但軸承內(nèi)外圈間存在間隙且軸承內(nèi)外圈也同時產(chǎn)生不同程度的膨脹，其摩擦力與摩擦力矩不會有明顯的變化，可認(rèn)為其為常量，取摩擦力矩為0.01N·m。

4.1 相同舵偏角、不同舵片面積時仿真分析

采用舵偏角δd為4°、舵片面積比值為4∶5∶6時的3套氣動參數(shù)進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果記為S1、S2、S3，見表2，表中Xm、Ym、Zm分別為射程、最大彈道高和側(cè)偏。

由表2可知，隨舵片面積的增大，彈丸彈道高和射程減小。

隨舵片面積的增大，來流在舵片上的作用面積增大，使彈丸上所受阻力、升力和導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩增大。修正組件的轉(zhuǎn)動慣量不變而導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩增大，導(dǎo)致修正組件的轉(zhuǎn)速增大，如圖3所示。舵片上所受升力作用于彈丸質(zhì)心形成翻轉(zhuǎn)力矩，增大彈丸的章動角δ，使彈丸的穩(wěn)定性變差。隨面積增大，彈丸章動角δ增大，如圖4所示。

圖3 不同面積下修正組件滾轉(zhuǎn)角速度

4.2 相同舵片面積、不同舵偏角時仿真分析

取舵片面積相同，舵偏角分別為2°、3°、4°、5°，仿真結(jié)果見表3。

圖4 不同面積下彈丸章動角

表3 相同舵偏角、不同舵片面積時彈道特征值

隨舵偏角的增大，彈丸飛行過程中所受阻力、升力都將增大。對該型彈丸阻力及其射程影響較大，故隨舵偏角增大，彈丸射程減小。

隨舵偏角的增大，軸向力矩系數(shù)和法向力矩系數(shù)變化不大，而側(cè)向力矩系數(shù)變化較為明顯，呈線性減小趨勢。但由于修正組件極轉(zhuǎn)動慣量較小，其滾轉(zhuǎn)角速度增大較為明顯，如圖5所示。隨舵偏角增大，在來流作用下舵面形成的翻轉(zhuǎn)力矩使彈丸的恢復(fù)力矩減小，故彈丸的章動角增大，如圖6所示。

圖5 不同舵偏角下修正組件滾轉(zhuǎn)角速度

圖6 不同舵偏角下彈丸章動角

4.3 不同修正組件質(zhì)量時仿真分析

定義R為修正組件質(zhì)量與彈丸質(zhì)量的比值，無量綱。在彈丸氣動外形不發(fā)生變化的條件下，表4為不同R值時彈丸的射程、側(cè)偏和最大彈道高，圖7和圖8為不同R值下修正組件滾轉(zhuǎn)角速度曲線和彈丸章動角曲線。

表4 不同R值時彈道特征值

由表4可知，不同R下彈丸的彈道射程、側(cè)偏和最大彈道高變化很小。

修正組件的質(zhì)量直接影響其極轉(zhuǎn)動慣量，決定其滾轉(zhuǎn)角加速度。質(zhì)量越小，極轉(zhuǎn)動慣量越小，滾轉(zhuǎn)角加速度越大，修正組件越容易在導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩作用下滾轉(zhuǎn)，如圖7所示。舵片滾轉(zhuǎn)整周期合力為0，故滾轉(zhuǎn)角速度越大舵片受力對彈丸的影響越小，因而彈丸章動角相對較??；隨著修正組件質(zhì)量的增大，其極轉(zhuǎn)動慣量增大，修正組件上作用的氣動力矩對其影響就會相對減小，彈丸的章動角會逐漸減小，如圖8所示。

圖7 不同R值下修正組件滾轉(zhuǎn)角速度

圖8 不同R值下彈丸章動角

5 結(jié)束語

本文基于修正組件和彈體不存在氣動耦合的假設(shè)，將彈丸作為2個剛體進(jìn)行研究；分析了彈丸在飛行過程中所受的空氣動力和兩剛體間的相互作用，建立了7D彈道模型。針對某型尾翼穩(wěn)定彈，建立了仿真模型，并對不同面積、不同舵偏角和不同修正組件質(zhì)量3種狀態(tài)進(jìn)行了仿真分析，有效驗(yàn)證了模型的正確性。該模型可用于該類彈箭的彈道解算，且可為該類彈箭的研究提供參考。

［1］曾耀華.火箭彈擺動頭錐彈道修正引信技術(shù)研究［D］.太原：中北大學(xué)，2010.ZENG Yao－h(huán)ua.The research on swing fuse trajectory correction technology for low spin rocket missile［D］.Taiyuan：North University of China，2010.（in Chinese）

［2］王朋飛，曹紅松，劉務(wù)平，等.引信頭錐擺動角對火箭彈氣動特性及控制能力影響［J］.彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2013，33（1）：152－155.WANG Peng－fei，CAO Hong－song，LIU Wu－ping，et al.The influence of fuse nose’s swing angle on rocket aerodynamic characteristics and control ability［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2013，33（1）：152－155.（in Chinese）

［3］CLANCY J A，BYBEE T D，F(xiàn)RIDRIH W.Fixed canard 2－D guidance of artillery projectile：US：6981672B2［P］.2006－01－03.

［4］馬寶華.網(wǎng)絡(luò)技術(shù)時代的引信［J］.探測與控制學(xué)報(bào)，2006，28（6）：1－5.MA Bao－h(huán)ua.Fuse in networked technology era［J］.Journal of Detection ＆Control，2006，28（6）：1－5.（in Chinese）

［5］COSTELLO M.Modeling and simulation of a differential roll projectile［C］／／Modeling and Simulation Technologies Conference.Boston：AIAA，1998：490－499.

［6］郝永平，孟慶宇，張嘉易.固定翼二維彈道修正彈氣動特性分析［J］.彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2012，32（3）：171－173.HAO Yong－ping，MENG Qing－yu，ZHANG Jia－yi.Aerodynamic characteristic analysison two－dimensional trajectory corrector shell with fixed－wing［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2012，32（3）：171－173.（in Chinese）

［7］張嘉易，王廣，郝永平.二維彈道修正彈鴨舵修正機(jī)構(gòu)氣動特性研究［J］.彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2013，33（2）：88－91.ZHANG Jia－yi，WANG Guang，HAO Yong－ping.Investigation of aerodynamic characteristics for two－dimensional trajectory correction projectile canard rudder device［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2013，33（2）：88－91.（in Chinese）

［8］紀(jì)秀玲，王海鵬，曾時明.可旋轉(zhuǎn)鴨舵對旋轉(zhuǎn)彈丸縱向氣動特性的影響［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，31（3）：265－268.JI Xiu－ling，WANG Hai－peng，ZENG Shi－ming.CFD prediction of longitudinal aerodynamic for a spinning projectile with fixed canard［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2011，31（3）：265－268.（in Chinese）

［9］WERNERT P.Stability analysis for canard guided dual－spin stabilized projectiles［C］／／Atmospheric Flight Mechanics Conference.Chicago：AIAA，2009：1－24.