王庭輝，任輝啟，徐流恩，易 治，高 超

（1.河南理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 焦作454000；2.總參工程兵科研三所，河南 洛陽471023）

目前，對未知目標(biāo)長時間精確彈道外推的計算方法并不多見［1－8］，對非機(jī)動目標(biāo)的精確外推方法研究有著重要的現(xiàn)實(shí)意義，它是近程防御系統(tǒng)的一項關(guān)鍵技術(shù)。在實(shí)時彈道濾波及外推計算中，鑒于計算速度和外推精度的需求，多數(shù)火控系統(tǒng)仍采用多項式（直線或拋物線）彈道模型和線性卡爾曼濾波算法實(shí)現(xiàn)濾波和外推，該方法在目標(biāo)速度不高，外推時間不大于1s的情況下，結(jié)合校射算法能夠提供較高的外推精度，對于高速目標(biāo)外推1.5s以上且無法應(yīng)用校射時，該方法的誤差就會很大。

本文針對未知目標(biāo)彈道末端飛行階段無機(jī)動飛行特點(diǎn)，采用質(zhì)點(diǎn)彈道模型描述目標(biāo)的運(yùn)動規(guī)律，鑒于雷達(dá)量測數(shù)據(jù)和目標(biāo)運(yùn)動模型的非線性特征，首先采用濾波精度高和穩(wěn)定性好的UKF濾波算法對目標(biāo)彈道和參數(shù)進(jìn)行濾波估計，根據(jù)需要在某一時刻外推計算，實(shí)時濾波并外推2s，結(jié)果表明，對于飛行馬赫數(shù)小于3的來襲目標(biāo)，外推2s位置絕對誤差在10m左右。此外，提出了一種基于最小二乘拋物線擬合和充分利用徑向速度數(shù)據(jù)的計算方法來確定目標(biāo)外推初始條件，計算過程和結(jié)果表明，該方法具有更快的計算速度和更好的精度。

1 目標(biāo)運(yùn)動模型

利用UKF濾波器實(shí)時濾波時，要選取合適的彈道模型，該模型中的狀態(tài)變量要直接或間接與測量參數(shù)有關(guān)聯(lián)，考慮到通常測量參數(shù)有限，以及濾波的快速性、實(shí)時性，通常選擇能反應(yīng)基本彈道特性的質(zhì)點(diǎn)彈道模型［9－11］來描述彈箭的飛行運(yùn)動。

2 UKF濾波并彈道外推

氣目標(biāo)的跟蹤。它以UT變換為基礎(chǔ)，通過設(shè)計少量Sigma點(diǎn)，并計算這些Sigma點(diǎn)經(jīng)由非線性函數(shù)的傳播，獲得濾波器的狀態(tài)和測量更新［13］。

地面雷達(dá)彈道探測系統(tǒng)采集目標(biāo)的斜距、方位角、高低角和徑向速度，即量測矢量為Y＝（）T。測量噪聲滿足均值為0的正態(tài)分布，誤差項r，α，β，的均方差分別為±3m，±0.2°，±0.2°，±1m／s。

把經(jīng)濾波后目標(biāo)飛行狀態(tài)估計終點(diǎn)值作為外推初值，用積分解算算法向前推算2s作為外推彈道。在仿真中，采用六自由度剛體彈道模型生成理想真實(shí)彈道，疊加雷達(dá)測量隨機(jī)誤差后作為雷達(dá)測量值，之后對該雷達(dá)測量值進(jìn)行濾波并外推計算，由外推彈道與前面生成的理想真實(shí)彈道比較來驗證算法的精確度。

同一彈體模型在2種不同速度和2種初始彈道傾角條件下的4組模擬彈道的外推絕對誤差結(jié)果如表1所示，表中v0為初始速度，te為外推時間，δ為絕對誤差。從表1中可以看出，外推2s的空間絕對誤差都在10m左右。

UKF最初由Julier等［12］提出，用于解決再入大

表1 4組彈道外推誤差比較

3 一種新擬合策略

采用質(zhì)點(diǎn)彈道模型外推計算的精度依賴于初始邊界條件和彈道系數(shù)的精確程度。這里提出了一種基于最小二乘擬合和充分利用徑向速度數(shù)據(jù)的新的目標(biāo)運(yùn)動參數(shù)估計策略，來確定某一時刻目標(biāo)的位置、速度和3個方向的彈道系數(shù)，給下一步外推提供更加準(zhǔn)確的初始邊界條件。

3.1 假定

采用該方法計算時系統(tǒng)需滿足如下基本條件：

①雷達(dá)量測數(shù)據(jù)Y＝（rαβ）T需進(jìn)行粗差揀擇并無長時間空白數(shù)據(jù)；

②末端彈道比較平穩(wěn)，隨機(jī)風(fēng)影響不大，即在彈道末端（最后4s以內(nèi)），可以近似認(rèn)為目標(biāo)在一個彈道面內(nèi)運(yùn)動。

3.2 確定目標(biāo)空間位置

圖1為目標(biāo)在雷達(dá)地面直角坐標(biāo)系中的位置圖。

圖1 目標(biāo)在雷達(dá)地面直角坐標(biāo)系中的位置

如圖1所示，將距離r投影到xyz坐標(biāo)軸上時，分別得到x（t）、y（t）和z（t）曲線，某一時刻tk，對前面1s內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)采用最小二乘二次多項式擬合，得到曲線方程，由此確定tk時刻目標(biāo)空間坐標(biāo)位置：x（tk）、y（tk）和z（tk）。

3.3 確定目標(biāo)速度

速度的確定比較關(guān)鍵，也是充分挖掘測量先驗信息的關(guān)鍵。速度大小和方向精確度對外推精度影響很大，初始位置誤差在整個外推過程中引起的位置偏差基本是一個穩(wěn)定常值，而初始速度和方向誤差所引起的外推誤差則隨外推時間增加而變大。充分挖掘測量先驗信息就是要充分利用雷達(dá)測量數(shù)據(jù)（rαβ）T，尤其是徑向速度的信息，獲得tk時刻的目標(biāo)速度vx（tk）、vy（tk）和vz（tk）。

如果不考慮隨機(jī)風(fēng)、彈體不對稱因素，那么目標(biāo)的運(yùn)動可以忽略橫偏，航跡在水平面xoz上的投影將會是一條直線。該直線方程由擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)（x（t），z（t））得到，即z＝f（x），直線與x軸之間的夾角就是彈道面的方向角αs，如圖2所示。

圖2 目標(biāo)彈道空間投影關(guān)系

目標(biāo)在彈道面內(nèi)的速度方向角度暫定義為與水平面的夾角βs，該角度投影到xoy平面和zoy平面的角度分別為βs1和βs2，其投影關(guān)系為

式中：βs1可通過擬合x（t）和y（t）得到曲線y（x），由y（x）的斜率確定；βs2可通過擬合z（t）和y（t）得到曲線y（z），由y（z）的斜率確定。這樣由上式得到兩組βs，對其取算術(shù)平均值作為真實(shí)的βs。

由彈道面方向角αs和tk時刻速度方向角βs，就可以確定tk時刻目標(biāo)絕對速度v（tk）在三個坐標(biāo)軸方向上的分量：

對徑向速度測量數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合得到tk時刻速度值（tk），徑向速度可以表達(dá)為

有了tk時刻的目標(biāo)空間坐標(biāo)x（tk）、y（tk）和z（tk），再由雷達(dá)量測徑向距離r得到tk時刻的徑向距離r（tk），結(jié)合式（2）、式（3）得到目標(biāo)速度v（tk）的表達(dá)式：

式中：

得到了v（tk），由式（2）就可得到tk時刻目標(biāo)3個較為精確的速度分量了。

3.4 確定目標(biāo)彈道系數(shù)

此時已經(jīng)有了tk時刻目標(biāo)的空間位置和速度信息，尚需確定目標(biāo)的彈道系數(shù)c。由質(zhì)點(diǎn)彈道方程可知，彈道系數(shù)可由加速度確定，而加速度則可由離散的速度分量確定，即由得到的較為精確的速度分量得到加速度分量，進(jìn)一步得到3個方向的彈道系數(shù)：

3.5 計算結(jié)果

通過上述計算方法對前文計算彈道進(jìn)行擬合和外推計算，結(jié)果如圖3、圖4所示。表2給出了前文4種彈道的外推精度結(jié)果，和表1對比可知，高精確初始邊界條件情況下，采用質(zhì)點(diǎn)彈道模型外推結(jié)果精確度更高。

表2 4組彈道新方法外推誤差

圖3 x方向噪聲、濾波、外推和真值比較

圖4 y方向噪聲、濾波、外推和真值比較

4 結(jié)束語

UKF濾波算法計算效率能夠滿足實(shí)時濾波需要，質(zhì)點(diǎn)彈道模型能夠作為濾波中的目標(biāo)運(yùn)動方程和相對精確的外推彈道模型使用。

新的擬合計算方法能夠獲得更為精確的外推初始參數(shù)，且計算量不大，便于實(shí)時處理。

［1］張先萌，王建新.卡爾曼濾波在炮位偵查雷達(dá)中的應(yīng)用［J］.華東工學(xué)院學(xué)報，1987（3）：64－72.ZHANG Xian－meng，WANG Jian－xin.The applications of Kalman filter in fire－finder radar［J］.Journal of East China Institute of Technology，1987（3）：64－72.（in Chinese）

［2］周德全.中遠(yuǎn)程地炮偵校雷達(dá)彈道外推技術(shù)研究［D］.南京：南京理工大學(xué)，1994.ZHOU De－quan.Study on the application of medium－long range artillery location radar in trajectory extrapolation［D］.Nanjing：Nanjing University of Science and Technology，1994.（in Chinese）

［3］王建新，錢冬寧，周俊羽.數(shù)字濾波技術(shù)在彈道外推中的應(yīng)用［J］.火控雷達(dá)技術(shù)，1996，2（5）：47－51.WANG Jian－xin，QIAN Dong－ning，ZHOU Jun－yu.Applications of digital filter technology in the trajectory extrapolation［J］.Fire Control Radar Technology，1996，2（5）：47－51.（in Chinese）

［4］史金光，徐明友，王中原，等.卡爾曼濾波在彈道修正彈落點(diǎn)推算中的應(yīng)用［J］.彈道學(xué)報，2008，20（3）：41－48.SHI Jin－guang，XU Ming－you，WANG Zhong－yuan，et al.Application of Kalman filtering in calculation of trajectory falling point of trajectory correction projectiles［J］.Journal of Ballistics，2008，20（3）：41－48.（in Chinese）

［5］賀明科，朱炬波，周海銀，等.彈道導(dǎo)彈落點(diǎn)的外推方法［J］.戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù)，2002（5）：1－5.HE Ming－ke，ZHU Ju－bo，ZHOU Hai－yin，et al.An extrapolation method for ballistic missile impact point［J］.Tactical Missile Technology，2002（5）：1－5.（in Chinese）

［6］陶卿，劉欣，唐升平，等.基于支持向量機(jī)的彈道識別機(jī)器在雷 達(dá) 彈 道 外 推 中 的 應(yīng) 用 ［J］.兵 工 學(xué) 報，2005，26（3）：308－311.TAO Qing，LIU Xin，TANG Sheng－ping，et al.Support vector machine－based trajectory recognition with applications in the adjustment of radar trajectory prediction［J］.Acta Armamentarii，2005，26（3）：308－311.（in Chinese）

［7］高策，張淑梅，趙立榮，等.基于數(shù)值積分法的彈道導(dǎo)彈落點(diǎn)實(shí)時預(yù)測［J］.計算機(jī)測量與控制，2012，20（2）：404－406.GAO Ce，ZHANG Shu－mei，ZHAO Li－rong，et al.A real－time forecast method for impact point of ballistic missile based on numerical methods of integration［J］.Computer Measurement＆ Control，2012，20（2）：404－406.（in Chinese）

［8］劉彥君，喬士東，黃金才，等.一種高精度彈道導(dǎo)彈落點(diǎn)預(yù)測方法［J］.彈道學(xué)報，2012，24（1）：22－26.LIU Yan－jun，QIAO Shi－dong，HUANG Jin－cai，et al.A method of impact point prediction of ballistic missile［J］.Journal of Ballistics，2012，24（1）：22－26.（in Chinese）

［9］PAMADI K B，OHLMEYER E J，PEPITONE T R.Assessment of a GPS guided spinning projectile using an accelerometer only IMU，AIAA2004－4881［R］.2004.

［10］楊榮軍，王良明，修觀，等.利用雷達(dá)測量數(shù)據(jù)的實(shí)際彈道重建［J］.彈道學(xué)報，2011，23（3）：43－46.YANG Rong－jun，WANG Liang－ming，XIU Guan，et al.Tracjectory reconstruction using radar measured data［J］.Journal of Ballistics，2011，23（3）：43－46.（in Chinese）

［11］徐明友.現(xiàn)代外彈道學(xué)［M］.北京：兵器工業(yè)出版社，1999.XU Ming－you.Modern exterior ballistics［M］.Beijing：Ordnance Industry Press，1999.（in Chinese）

［12］JULIER S J，UHLMANN J K.A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems［C］／／The Proceedings of AeroSense：11th International Symposium Aerospace／Defense Sensing，Simulation and Controls.Orlando：Int Symp Aerospace Defense Sensing，Simulation and Controls，1997：182－193.

［13］JULIER S J，UHLMANN J K.Reduced sigma point filters for the propagation of means and covariances through nonlinear transformations［C］／／Proceedings of the American Control Conference.Jefferson City：IEEE，2002：887－892.