袁瑞俠，劉金琨

(北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京100191)

0 引言

垂直起降飛行器(VTOL)的控制系統(tǒng)有三個自由度，因為兩個控制輸入的欠驅動為非最小相位系統(tǒng)，所以其控制系統(tǒng)的設計極具挑戰(zhàn)性。

在過去的幾十年里，根據不同的目標和側重點，國內外學者有針對性地提出許多控制方法。早期VTOL飛行器控制［1-3］中忽略了輸入滾轉力和推力之間存在的耦合項，采用反饋線性化技術使系統(tǒng)穩(wěn)定。但實際中耦合項并不能忽略，這種控制方法不能保證零動態(tài)是穩(wěn)定的。文獻［4］在考慮耦合項的情況下，通過反饋和坐標變換把參數不確定非線性系統(tǒng)近似為輸入輸出線性化系統(tǒng)，在此基礎上設計的控制器可實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定，且能把跟蹤誤差限制在一定范圍內。但這種方法對于耦合項很大的情況仍不能得到很好的控制效果。文獻［5］通過對狀態(tài)變量進行坐標變換，使變換后的系統(tǒng)中不含有零動態(tài)，利用靜態(tài)反饋很方便地實現(xiàn)了飛行器的穩(wěn)定性和輸入有界問題。文獻［6］首先利用輸入-輸出線性化對VTOL系統(tǒng)全局坐標變換，然后對系統(tǒng)進行了分解，很方便地采用了滑?？刂破?，但只能保證閉環(huán)系統(tǒng)是局部穩(wěn)定的。隨著研究的深入，文獻［7］中給出了VTOL飛行器鎮(zhèn)定和軌跡跟蹤的控制規(guī)范準則。

反演設計(Backstepping)為非匹配不確定非線性系統(tǒng)控制提供了一種有效的方法。文獻［8］首先利用全局坐標變換使新系統(tǒng)符合下三角的形式，然后采用反演法完成控制律的設計，最后使飛行器可以全局漸進跟蹤一個由參考模型產生的參考軌跡。然而，由于需要對非線性函數重復求導，反演設計得到的控制律復雜，這即是所謂的“微分爆炸”現(xiàn)象。另外，為了保證系統(tǒng)全局穩(wěn)定性，Lyapunov函數和參數的選取條件較為苛刻。為了克服上述缺點，本文采用文獻［8-9］提出的動態(tài)面控制(Dynamic Surface Control)，在反演設計的基礎上引入一階低通濾波器，使得每一步控制律設計與前一級設計基本解耦，從而使控制律的復雜程度大大下降，根本上避免了微分爆炸現(xiàn)象，在完成航跡跟蹤的同時簡化了Lyapunov函數的選取，并拓寬了控制律中參數的選取條件。

1 系統(tǒng)描述

利用機理分析法可建立VTOL動力學平衡方程為［1］:

式中，u1和u2為控制輸入，即飛行器底部推力力矩和滾動力矩;g為重力加速度;ε0為描述u1和u2之間耦合關系的系數;Δ1(t)，Δ2(t)和Δ3(t)為外界干擾力矩，且對于正數 δ1，δ2，δ3滿足 |Δ1(t)|≤δ1，

采用文獻［5］中的全局坐標變換，可將控制系統(tǒng)變換為下三角結構的系統(tǒng)。另外，變換后的系統(tǒng)輸出是平坦的，也就避免了原系統(tǒng)零動態(tài)不穩(wěn)定的問題。令 z1=x1－ ε0sin θ，z2=x2－ ε0ω cos θ，w1=y1+ε0cos θ，w2=y2－ ε0ω sin θ，ξ1= θ，ξ2= ω，則變換后的系統(tǒng)為:

假設1:系統(tǒng)(2)中所有狀態(tài)變量均可得到并用于反饋。

假設2:理想軌跡xd有界，其一階、二階導數存在并對正數χ1滿足理想軌跡yd有界，其一階、二階導數存在并對正數χ2滿足理想軌跡θd有界，其一階、二階導數存在并對正數χ3滿足

2 動態(tài)面控制設計

仿照傳統(tǒng)反演控制的“遞進式”設計方法，自適應動態(tài)面控制的設計分為4步:

第1步:定義

式中，z1d=x1d－ε0sin θd;w1d=y1d+ε0cos θd。設計虛擬控制:

式中，k1，k2為待定正常數。

將ˉz2，ˉw2輸入到如下時間常數為τ2z，τ2w的低通濾波器，得到新的狀態(tài)變量z2d，w2d:

第2步:定義兩個誤差面為:

設計虛擬控制:

式中，k3，k4為待定正常數;和為非線性阻尼項，用于克服 Δ1(t)，Δ2(t)和 Δ3(t)。

解式(7)可設計虛擬控制為:

其中:

第3步:定義

設計虛擬控制:

式中，k5為待定正常數。

第4步:定義

設計控制律:

式中，k6為待定正常數為非線性阻尼項，用于克服干擾Δ3(t)。

3 穩(wěn)定性分析

動態(tài)面控制器設計簡單，但是由于引入低通濾波器，穩(wěn)定性分析較為復雜。定義邊界層誤差為:

從式(5)、式(9)、式(13)得到:

對邊界層誤差求導得到:

定義整個閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數為:

其中:

存在非負連續(xù)函數 B2z，B2w，B1ξ，B2ξ，使得:

由式(25)容易得到如下不等式:

定理1:考慮由對象式(2)與實際控制器式(8)和式(15)組成的閉環(huán)系統(tǒng)，如果滿足假設1和假設2并且初始條件滿足V(0)≤p(p為任意正數)，則存在調節(jié)參數 ki(i=1，2，…，6)，τ2z，τ2w，τ1ξ，τ2ξ和ε，使得閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致有界，系統(tǒng)跟蹤誤差可以收斂到任意小殘集內。

證明:在V≤p成立的時刻，可考慮緊集:

易知，此時Ω1×Ω2也是緊集。由此說明，在V≤p 成立時，B2z，B2w，B1ξ和 B2ξ在 Ω1× Ω2上有最大值，記為 M2z，M2w，M1ξ，M2ξ。

對V1求導，可得:

控制參數選取如下:

式中，r為待設計正數。則:

選取r≥3.5ε/(2p)。由于當 V=p時，Bi≤Mi成立，所以當 V=p時。由此可知V≤p是一個不變集，即如果V(0)≤p，則對所有t＞0均有V(t)≤p。由于有條件V(0)≤p，所以有:

解上式得到:

顯然，閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局有界，并且有:

這意味著可以通過調節(jié)參數 ki(i=1，2，…，6)，B2z，B2w，B1ξ，B2ξ和 ε 使得 r任意大，即跟蹤誤差任意小。證明完畢。

4 仿真試驗

仿真中，取動態(tài)面控制的參考航跡為x1d=3.5，y1d=4+cos t。假設外界干擾為 Δ1=0.1 sin t，Δ2=0.1 cos t和 Δ3=0.1 sin t，g 取9.8 m/s2。設定初始狀態(tài) x1(0)=5，x2(0)=0.1，y1(0)=3，y2(0)=0.2，φ(0)=0.1為了完成跟蹤目標，根據在保證控制量大小合理的同時盡量減小跟蹤誤差的調參原則，取 ki=1(i=1，2，…，6)，τ2z= τzw= τ1ξ=τ2ξ=0.01，并取 ε =0.01。

仿真結果如圖1～圖4所示。

圖1 橫向跟蹤效果圖Fig.1 Lateral trajectory tracking effect

圖2 垂向跟蹤效果圖Fig.2 Vertical trajectory tracking effect

圖3 滾轉角及其角速度Fig.3 Roll angle and its angular speed

圖4 控制輸入Fig.4 Control input

由仿真結果可以看出，在控制輸入的作用下，飛行器實際位置軌跡快速收斂于參考位置軌跡，且滾轉角及其角速度是有界的。相比文獻［8-9］中的Backstepping控制方法，證明閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的Lyapunov函數的選取在簡單的同時也降低了控制參數選取的難度。

5 結束語

針對帶有外界干擾的VTOL飛行器系統(tǒng)，提出一種魯棒動態(tài)面跟蹤控制。通過引入低通濾波器避免了反復求導，消除了傳統(tǒng)Backstepping方法存在的“微分爆炸”現(xiàn)象。通過引入非線性阻尼項克服了外界干擾，保證了系統(tǒng)的魯棒性，滿足實際工程要求。該策略能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的半全局一致穩(wěn)定，VTOL飛行器的位置信號能快速準確跟蹤理想軌跡，同時保證滾轉角有界。

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