沈建平，唐矛寧

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州313000）

0 引 言

美式未定權(quán)益問(wèn)題研究由來(lái)已久，Mckean［1］很早就較深入地分析了美式期權(quán)，并把未定權(quán)益的定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為自由邊界問(wèn)題，把美式期權(quán)的價(jià)格同最優(yōu)停止邊界聯(lián)系起來(lái).Bensoussan［2］和Karatzas［3］分別在1984年和1988年研究了完備的無(wú)摩擦金融市場(chǎng)中的美式未定權(quán)益定價(jià)問(wèn)題，用套期保值和等價(jià)鞅測(cè)度理論得到了完備市場(chǎng)下的標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)理論.1998年，Karatzas和Kou［4］對(duì)投資策略受限制的美式未定權(quán)益定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了研究，用Doob－Meyer分解和隨機(jī)控制方法解決了投資策略受限制的美式未定權(quán)益的套期保值問(wèn)題.

本文主要研究的也是有摩擦金融市場(chǎng)中美式未定權(quán)益的套期保值問(wèn)題，新穎之處在于所討論的金融市場(chǎng)的摩擦性同時(shí)表現(xiàn)在三個(gè)方面：一是投資策略受限制；二是借款利率大于存款利率；三是投資者擁有或借入某種股票需交納比例費(fèi)用.參考文獻(xiàn)［3～8］中的證明方法，通過(guò)引入反映上述金融市場(chǎng)摩擦的輔助無(wú)摩擦金融市場(chǎng)類，使用鞅表示定理和一致Doob－Meyer分解給出了美式未定權(quán)益的上套期保值價(jià)格hup（K）的定價(jià)公式，并證明了最優(yōu)上套期保值策略的存在性.本研究與文獻(xiàn)［8］相比較，考慮的問(wèn)題更一般，更具有現(xiàn)實(shí)意義.

1 基本模型

設(shè)金融市場(chǎng)M中有d＋1種標(biāo)的資產(chǎn)：一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；另外d種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).用P0（t）表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格，且在［0，T］內(nèi)滿足：

其中：r（t）為時(shí)刻t的短期存款利率；Pi（t）為第i種股票在t時(shí)刻的價(jià)格（i＝1，2，…，d），且在［0，T］內(nèi)滿足：

在（2）式中，W（t）＝（W1（t），…，Wd（t））＊，0≤t≤T（＊表示向量的轉(zhuǎn)置），為帶域流的完全概率空間（Ω，F(xiàn)，（Ft）0≤t≤T，P）上的一個(gè)d維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).其中：（Ft）0≤t≤T為布朗運(yùn)動(dòng)W（·）生成的自然σ－域流的擴(kuò)張；σij（·）為股票價(jià)格的波動(dòng)系數(shù)；bi（·）為股票的平均回報(bào)率；pi＞0是第i種股票的初始價(jià)格.記b（t）＝（b1（t），…，bd（t））＊，σ（t）＝（σij（t））d×d，0≤t≤T.

設(shè)b（t），r（t），σ（t），0≤t≤T滿足假設(shè)H1：過(guò)程b（·），r（·），σ（·）為［0，T］×Ω上的（Ft）0≤t≤T循序可測(cè)過(guò)程；過(guò)程b（·），r（·），σ（·）在［0，T］×Ω是一致有界的；對(duì)?（t，ω）∈［0，T］×Ω，矩陣σ（t，ω）的逆σ－1（t，ω）存在，且在［0，T］×Ω 是一致有界的.

2 財(cái)富方程

定義1 一個(gè)（Ft）0≤t≤T循序可測(cè)過(guò)程π：［0，T］×Ω →Rd稱為一個(gè)投資策略，如果＜＋∞，a.e..

定義2 一個(gè)（Ft）0≤t≤T循序可測(cè)過(guò)程C：［0，T］×Ω→［0，＋∞）稱為消費(fèi)過(guò)程，如果C（0）＝0，C（T）＜∞，a.e.，且它的軌道是右連左極遞增的.

但在實(shí)際金融市場(chǎng)中，存款利率和借款利率常常是不一樣的，且借款利率常大于存款利率.設(shè)t時(shí)刻借款利率為R（t），且滿足假設(shè)H2：R（·）是［0，T］×Ω上的（Ft）0≤t≤T循序可測(cè)過(guò)程；R（t，ω）≥r（t，ω），a.e.（t，ω）∈［0，T］×Ω；R（·）在［0，T］×Ω上一致有界.特別地，如果R（t，ω）＝r（t，ω），a.e.（t，ω）∈［0，T］×Ω，稱為金融市場(chǎng)無(wú)摩擦.

另外，設(shè)在金融市場(chǎng)中投資有管理費(fèi)要求：投資者借入第i種股票需繳納的管理費(fèi)比例為1＞ni≥0，i＝1，…，d；持有第i種股票需繳納的管理費(fèi)比例為1＞mi≥0.

對(duì)初始財(cái)富x≥0，任何一對(duì)投資消費(fèi)策略（π，C），其所對(duì)應(yīng)的財(cái)富過(guò)程Xx，π，C滿足隨機(jī)微分方程：

其中：Fi（t，π）＝miI｛ πi（t）≥0｝－niI｛πi（t）＜0｝；F（t，π）＝（F1（t，π），…，F(xiàn)d（t，π））＊.其解X（·）稱為初始財(cái)富x和投資消費(fèi)策略（π，C）所對(duì)應(yīng)的財(cái)富過(guò)程Xx，π，C.

定義3 一對(duì)投資消費(fèi)策略（π，C）關(guān)于初始財(cái)富x≥0為可允許的，如果Xx，π，C（t）≥0a.e.，?0≤t≤T.Α0（x）表示關(guān)于初始財(cái)富x的可允許投資消費(fèi)策略（π，C）的全體.

3 凸投資策略

實(shí)際金融市場(chǎng)中的投資策略總是受到一定的限制.這種限制主要來(lái)自兩個(gè)方面：一是金融市場(chǎng)監(jiān)督者為防止投資者特別是大投資者操縱市場(chǎng)而強(qiáng)制規(guī)定的一些限制條件；二是投資者本身為防范風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)做出一些投資策略限制.下面給出投資策略受到限制的情況下的一種數(shù)學(xué)模型.

設(shè)K＋和K－是Rd上的兩個(gè)凸閉集，K＋∩K－非空，K＋包含原點(diǎn).

對(duì)可允許投資的消費(fèi)策略作如下限制：A（x）｛（π，C）∈A0（x）在｛Xx，π，C（t）≥0｝上，ρ（t）∈K＋；在｛Xx，π，C（t）≤0｝上，ρ（t）∈K－，?0≤t≤T｝.其中ρ（·）為投資比例.

這種可允許投資消費(fèi)策略取值于A0（x）的市場(chǎng)模型M記作M（K）.

下面討論在本文中起重要作用的－K的支撐函數(shù).

設(shè)－K的支撐函數(shù)是δ（x），且

其有效定義域?yàn)椋?/p>

由凸分析的知識(shí)易知，支撐函數(shù)δ（x）為閉的正齊次正常凸函數(shù)［9］.本文還假設(shè)δ（·）在上是連續(xù)的.

4 美式未定權(quán)益的上套期保值價(jià)格

定義4 美式未定權(quán)益定義為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)過(guò)程B：［0，T］×Ω→［0，＋∞），它是（Ft）0≤t≤T－適應(yīng)過(guò)程，具有連續(xù)軌道，且存在實(shí)數(shù)ε＞1，使得

美式未定權(quán)益B在市場(chǎng)M（K）中的上套期保值價(jià)格定義為：

本文通過(guò)引入反映市場(chǎng)摩擦的輔助無(wú)摩擦金融市場(chǎng)類，使用隨機(jī)控制和隨機(jī)分析的工具對(duì)金融市場(chǎng)M（K）中的美式未定權(quán)益B的上套期價(jià)格分別進(jìn)行刻畫.

下面首先引入輔助無(wú)摩擦金融市場(chǎng).D｛（ν，μ，γ）ν，μ均為d－維循序可測(cè)過(guò)程，且－mi≤νi≤ni，?1≤i≤d；0≥μ1＝μ2＝…＝μd≥－（R－r）ae..［0，T］×Ω，γ：［0，T］×Ω →K，為｛Ft｝0≤t≤T循序可測(cè)過(guò)程，且滿足‖2＋δ（ν（t）））dt＜＋∞｝.

對(duì)?（ν，μ，γ）∈D所對(duì)應(yīng)的無(wú)摩擦金融市場(chǎng)Mν，μ，γ中有一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和d種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其價(jià)格方程分別為：

貼現(xiàn)因子過(guò)程為：

風(fēng)險(xiǎn)市價(jià)過(guò)程為：

再定義：

由Girsanov定理知，W（ν，μ，γ）（·）在概率測(cè)度Pν，μ，γ下為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).對(duì)?（ν，μ，γ）∈D定義

其中：Eν，μ，γ為在概率測(cè)度Pν，μ，γ下求數(shù)學(xué)期望.定義

由美式未定權(quán)益定價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)性理論知，Uν，μ，γ（0）為美式未定權(quán)益B（·）在完備的無(wú)摩擦金融市場(chǎng)Mν，μ，γ中的無(wú)套利價(jià)格；，μ，γ（·）為B（·）在［0，T］上的價(jià)格過(guò)程.

引理1 對(duì)于?（ν，μ，γ）∈D，βν，μ，γ（·）（·）為Pν，μ，γ上鞅，且過(guò)程（·）具有右連左極修正.

證明可參考文獻(xiàn)［4］～［6］中的方法.

定理1 在投資存在管理費(fèi)的高借款利率下的金融市場(chǎng)M（K）中，美式未定權(quán)益B（·）的上套期保值價(jià)格為：

如果V＜∞，則存在投資消費(fèi)策略，使得XV，＾π，?（τ）＝（τ）≥B（τ），?τ∈φ.即是未定權(quán)益B（·）的最優(yōu)上套期保值策略.

證明 先證hup（K）≥V.如果hup（K）＝∞，則不等式自然成立.若hup（K）＜＋∞，則（4）式中的集合U非空.對(duì)?x∈U，由U的定義知存在∈A（x），使得對(duì)?τ∈φ，Xx，＾π，?（τ）≥B（τ）.由（3）式和乘積公式得：

其中：

由0≥μ1＝μ2＝…＝μd≥r－R得：

由－mi≤ν≤ni得：

由（6）式和（7）式可知，過(guò)程（5）式是非負(fù)Pν，μ，γ局部鞅，從而為Pν，μ，γ上鞅.再由可選軌道理論知：

從而由x∈U，τ∈φ和（ν，μ，γ）∈D的任意性可知hup（K）≥V.

下面證明hup（K）≤V.

若V＝∞，結(jié)論顯然成立.若V＜∞，由Doob－Meyer分解和鞅表示定理，可把引理1中的Pν，μ，γ上鞅βν，μ，γ（·）（·）表示為：

其中：ψν，μ，γ為［0，T］×Ω上取值于Rd的（Ft）0≤t≤T循序可測(cè)過(guò)程，且‖ψν，μ，γ（t）‖2dt＜∞a.e.；Aν，μ，γ為定義在［0，T］×Ω上的具有右連左極遞增軌道的非負(fù)（Ft）0≤t≤T適應(yīng)過(guò)程，且Aν，μ，γ（0）＝0，A（T）≤∞.

對(duì)?（ν，μ，γ）∈D，（λ，φ，ψ）∈D，由（8）式和It?的乘積得：

設(shè)βλ，φ，ψ（·）（·）有Doob－Meyer分解，

比較（9）式和（10）式得：

則g（t）與（ν，μ，γ）無(wú)關(guān).定義一個(gè)取值于Rd的平方可積適應(yīng)過(guò)程（·）＝（·），…（·））＊：

則（·）可以看作股票的投資比例.由（11）式～（13）式知，隨機(jī)過(guò)程ψν，μ，γ（·）可表示為：

將（14）式代入（9）式再與（10）式比較得：

則h（t）與（ν，μ，γ）無(wú)關(guān).再定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程：

特別地取

則

由（15）式和（16）式知，隨機(jī)過(guò)程Aν，μ，γ（·）可表示為：

下面建立一個(gè)重要的不等式：

對(duì)?（ν，μ，γ）∈D，

下面證明（18）式.

如果存在（ν，μ，γ）∈D，使得（18）式不成立，對(duì)?0≤t≤T定義

定義

則（λ，φ，ψ）∈D取充分大的n，由（18）式和δ（x）的正齊次性知：

結(jié)果與E［Aλ，φ，ψ（T）］≥0矛盾，因此不等式（18）式成立.

將（14）式和（18）式代入（8）式，得：

令（ν，μ，γ）≡0，則（19）式變?yōu)椋?/p>

因此得XV，＾π，?（·）＝（·）.再由（19）式知∈A＋（V）.由（·）≥B（·）≥0知XV，＾π，?（τ）＝（τ）≥B（τ），?τ∈φ，因此V∈U，hup（K）≤V＜∞.

定理證明完畢.

用類似方法可得到美式未定權(quán)益的下套期保值價(jià)格，進(jìn)而可得到美式未定權(quán)益的無(wú)套利價(jià)格區(qū)間.

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