任海振 葛向紅 楊林峰

(中原工學(xué)院 物理系，河南 鄭州 450007)

0 引言

自從1991年Iijima等在英國(guó)《自然》雜志發(fā)表了關(guān)于多壁碳納米管的研究之后，碳納米就吸引了世界上很多研究小組的興趣，研究?jī)?nèi)容涵蓋了從基礎(chǔ)理論到科技應(yīng)用前景的廣大領(lǐng)域[1]。由于碳納米管具有低維度使得他們擁有很多獨(dú)特的物理屬性，這使得他們具有廣泛的應(yīng)用前景。在實(shí)驗(yàn)室中，人們已經(jīng)使用碳納米管制作出很多的原型納米器件。因此，理解這些新奇物理屬性以及他們對(duì)于納米器件的影響是必要的。

人們?cè)趯?shí)驗(yàn)中已經(jīng)證實(shí)了碳納米管非常適合于場(chǎng)發(fā)射方面的應(yīng)用，這和它們的一些獨(dú)特的物理性質(zhì)有關(guān)，如小尺度，高縱橫比，高溫穩(wěn)定性，良好的導(dǎo)電性以及結(jié)構(gòu)強(qiáng)度等。人們已經(jīng)利用碳納米管優(yōu)越的場(chǎng)發(fā)射屬性做出了一些原型器件，這些器件包括X射線管[2]，掃描X射線源[3]，平面顯示器等[4-6]。使用碳納米管的器件之所以具有優(yōu)秀的發(fā)射特性，是由于碳納米管具有很低的功函數(shù)和在其表面形成的高局域電場(chǎng)，通過(guò)隧道效應(yīng)電子可以比較容易穿過(guò)勢(shì)壘而逸出表面，形成場(chǎng)發(fā)射電子。

目前，人們已經(jīng)可以在襯底上以指定的高度、半徑、間距等生長(zhǎng)碳納米管。但是人們還沒(méi)有完全理解電子發(fā)射的精確過(guò)程。關(guān)于電子發(fā)射過(guò)程更深一步理解的研究主要集中在實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬上[7,8]。長(zhǎng)期以來(lái)人們認(rèn)為當(dāng)臨近的發(fā)射體的間距大于他們高度的兩倍時(shí)，場(chǎng)屏蔽效應(yīng)是可以忽略不計(jì)的[9]。本文中我們通過(guò)對(duì)一個(gè)理想的無(wú)限長(zhǎng)一維碳納米管陣列進(jìn)行了二維的數(shù)值模擬，并探討了碳納米管的幾何結(jié)構(gòu)對(duì)于其場(chǎng)發(fā)射性能的影響。

1 模型與方法

在本文中我們通過(guò)使用有限元方法(FEM)對(duì)拉普拉斯方程求解來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)碳納米管的二維數(shù)值模擬，使用這種方法使得我們可以得到碳納米管表面任意一點(diǎn)的電勢(shì)和電場(chǎng)。圖1給出了一維碳納米管陣列的示意圖。在我們的計(jì)算模型中，碳納米管被處理為良導(dǎo)體。排成一列的碳納米管具有統(tǒng)一的高度h和半徑r，其尖端被處理成球形，碳納米管被放置在接地的陰極上，陽(yáng)極和陰極的距離為D。碳納米管之間的距離是均勻的，間距用d表示。

在計(jì)算中我們?nèi)√技{米管的高度為1μm，半徑為2nm；這些參數(shù)和前人的工作相同[10]，以便于進(jìn)行比較。理論分析表明電場(chǎng)在碳納米管的尖端附近比較集中，這種電場(chǎng)增強(qiáng)效應(yīng)和碳納米管的尖端幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)，通常用場(chǎng)增強(qiáng)因子β來(lái)定量表示。碳納米管的半徑越小，場(chǎng)增強(qiáng)因子越大；反之亦然。

2 計(jì)算結(jié)果與分析

我們使用了一個(gè)簡(jiǎn)單的二維模型計(jì)算了一個(gè)包含3個(gè)碳納米管的陣列，碳納米管之間的距離為0.5μm，均勻分布在一條直線上。圖2中給出了計(jì)算得到相應(yīng)的的電場(chǎng)分布。圖中的實(shí)線表示等勢(shì)線，背景中的表面圖代表電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。陽(yáng)極距離碳納米管發(fā)射極較遠(yuǎn)，因此它對(duì)電場(chǎng)分布的影響較小，并且可以認(rèn)為對(duì)各個(gè)碳納米管發(fā)射極效果相同。我們的計(jì)算結(jié)果顯示，居于中心的碳納米管附近的電場(chǎng)要比外邊兩個(gè)碳納米管的電場(chǎng)弱，這點(diǎn)可以用靜電場(chǎng)的屏蔽效應(yīng)解釋。在圖2中我們可以清楚的看到電場(chǎng)的屏蔽效應(yīng)是很明顯的。Nilsson等人通過(guò)二維數(shù)值模擬研究了碳納米管的點(diǎn)場(chǎng)屏蔽效應(yīng)，得出的結(jié)論是當(dāng)碳納米管之間的距離是其高度的兩倍時(shí)，總的電場(chǎng)屏蔽效應(yīng)最小，碳納米管的場(chǎng)發(fā)射表現(xiàn)最優(yōu)[10]。Smith等人做的三維模擬結(jié)果認(rèn)為二維模擬低估了電場(chǎng)屏蔽效應(yīng)，最優(yōu)的間距應(yīng)該是高度的3倍[11]。

圖1 一維碳納米管陣列的示意圖，碳納米管的高度為h，半徑為r，碳納米管放置在接地的陰極上，陽(yáng)極和陰極的距離為D

圖2 計(jì)算得到的電場(chǎng)分布，實(shí)線表示電場(chǎng)等勢(shì)線，表面圖則表示電場(chǎng)強(qiáng)度的大小

為了得到電場(chǎng)屏蔽效應(yīng)和碳納米管間距的關(guān)系，我們使用有限元方法結(jié)合周期性邊界條件對(duì)一維碳納米管陣列進(jìn)行了數(shù)值模擬。在我們的計(jì)算中，碳納米管間距的變化范圍為0.1μm到6μm，相應(yīng)于d/h取值范圍為0.1到6，碳納米管高度固定為1μm。我們把計(jì)算得到的碳納米管陣列的電場(chǎng)分布中碳納米管尖端表面正上方一點(diǎn)的電場(chǎng)記為局域電場(chǎng)強(qiáng)度EL。我們還計(jì)算了在相同條件下，可以得到單個(gè)碳納米管尖端表面正上方的電場(chǎng)強(qiáng)度EI。電場(chǎng)屏蔽的百分比就定義為η=（EI-EL）/EI。在圖3中我們畫(huà)出了屏蔽百分比隨d/h的變化關(guān)系。從圖中可以看到屏蔽效應(yīng)隨d/h的增加而減小。在d/h等于2時(shí)，電場(chǎng)屏蔽百分比為4.3%。當(dāng)d/h增加到3時(shí)，電場(chǎng)屏蔽百分比減小到1.1%，這意味著陣列中的碳納米管的場(chǎng)發(fā)射效率已達(dá)到了其最優(yōu)表現(xiàn)的99%。當(dāng)d/h進(jìn)一步增加到4的時(shí)候，屏蔽百分比減小到0.2%。因此，當(dāng)碳納米管陣列的間距大于碳納米管高度的3倍時(shí)，我們認(rèn)為電場(chǎng)屏蔽效應(yīng)可以忽略不計(jì)。

圖3 電場(chǎng)屏蔽百分比隨d/h的變化關(guān)系

為了得到最大的場(chǎng)發(fā)射電流密度，我們必須考慮電場(chǎng)屏蔽效應(yīng)的影響。減小碳納米管的間距從而可以增加單位面積上的發(fā)射極的個(gè)數(shù)，這是增大場(chǎng)發(fā)射電流密度的簡(jiǎn)單有效方法。但是減小碳納米管的間距會(huì)引起屏蔽效應(yīng)的增強(qiáng)，從而降低場(chǎng)發(fā)射電流密度。因此，需要找到一個(gè)最優(yōu)的間距，使得場(chǎng)發(fā)射電流密度最大。Fowler和Nordheim首先推導(dǎo)出了場(chǎng)致電子發(fā)射的定量方程：

對(duì)于一維無(wú)限長(zhǎng)碳納米管，我們計(jì)算了場(chǎng)發(fā)射電流密度隨d/h的變化關(guān)系，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。從圖中我們可以看到，隨著碳納米管間距的變大電流密度急速增加。碳納米管間距變大也就是其排列由緊密變?yōu)橄∈?。?dāng)碳納米管的間距接近其高度的三倍時(shí)，場(chǎng)發(fā)射電流密度達(dá)到最大值。間距超過(guò)高度的三倍時(shí)，電流密度開(kāi)始緩慢下降。這種變化趨勢(shì)可以作如下解釋，當(dāng)碳納米管間距較大時(shí)，碳納米管排列稀疏，單位長(zhǎng)度上的發(fā)射極比較少，因而電流密度不大；而當(dāng)碳納米管間距比較小時(shí)，碳納米管排列緊密，單位長(zhǎng)度上發(fā)射極多，但是發(fā)射極受到臨近碳納米管的電場(chǎng)屏蔽效應(yīng)的影響大，因而場(chǎng)發(fā)射電流密度也小。根據(jù)上面對(duì)屏蔽百分比的計(jì)算我們知道，在碳納米管間距大于高度的三倍時(shí)，可以認(rèn)為屏蔽效應(yīng)忽略不計(jì)。因此，我們可以看到在圖4中，當(dāng)d/h＞3時(shí)，場(chǎng)發(fā)射電流密度隨d/h近似線性減小。因此，在一個(gè)一維的碳納米管陣列構(gòu)成的場(chǎng)發(fā)射器件中，最有效的排列就是碳納米管的間距為其高度的3倍，此時(shí)場(chǎng)發(fā)射電流密度最大，臨近的碳納米管的屏蔽效應(yīng)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度降低僅為1.1%。

圖4 計(jì)算得到的碳納米管的場(chǎng)發(fā)射電流密度隨d/h的變化關(guān)系

3 結(jié)論

我們對(duì)一維碳納米管陣列進(jìn)行了數(shù)值模擬，并研究了不同間距下電場(chǎng)屏蔽的影響。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)碳納米管之間的距離大于其高度的3倍時(shí)，電場(chǎng)屏蔽效應(yīng)就可以忽略不計(jì)。我們的計(jì)算結(jié)果表明當(dāng)碳納米管的間距等于其高度的3倍時(shí)，碳納米管陣列的場(chǎng)發(fā)射電流密度最大，器件的表現(xiàn)最優(yōu)。

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