李傳勛，徐 超，苗永紅

(江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

土層中的有效應(yīng)力σ'為

深厚軟土層作用有較大荷載時(shí)，地基就會(huì)發(fā)生較大的沉降變形，此時(shí)已超出了傳統(tǒng)小應(yīng)變固結(jié)理論的適用范圍.自從大變形固結(jié)這一研究領(lǐng)域的開(kāi)拓者R.E.Gibson等給出物質(zhì)坐標(biāo)下以孔隙比為控制變量的一維大應(yīng)變固結(jié)普遍方程以來(lái)［1］，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其展開(kāi)了深入的研究［2-8］.然而，目前幾乎所有一維大變形固結(jié)理論均是建立在達(dá)西定律基礎(chǔ)之上，對(duì)軟粘土中存在非達(dá)西滲流的一維大變形固結(jié)理論還鮮見(jiàn)報(bào)道.李傳勛等［9-11］先后對(duì)基于指數(shù)形式滲流定律的軟土線性及非線性固結(jié)理論進(jìn)行了研究，但均沒(méi)有考慮軟土的大變形固結(jié)特性.

本研究基于指數(shù)形式滲流定律，在拉格朗日坐標(biāo)系下，以超靜孔壓為變量建立軟土一維大變形固結(jié)理論，并分析滲流指數(shù)m對(duì)大變形固結(jié)性狀的影響，以及指數(shù)形式滲流定律下大、小應(yīng)變固結(jié)理論的區(qū)別.

1 問(wèn)題的描述

厚度為H0的深厚軟土層在自重應(yīng)力和初始表面荷載qp作用下變形已穩(wěn)定，地下水初始水位高于基準(zhǔn)面Hw.軟土層頂面透水，底面不透水.拉格朗日和流動(dòng)坐標(biāo)系如圖1所示.圖1中S(0，t)為地基頂面t時(shí)刻的沉降值.拉格朗日坐標(biāo)系a及流動(dòng)坐標(biāo)系ξ均以向下為正(重力方向)，并將地基表面作為流動(dòng)坐標(biāo)系的基準(zhǔn)面(ξ=0).軟土層頂面和底面在拉格朗日坐標(biāo)系中分別記為a=0和a=H，而在流動(dòng)坐標(biāo)系下分別記為ξ=S(0，t)(初始時(shí)刻為ξ=0)和ξ=H0.隨時(shí)間變化的荷載q(t)作用于地基表面，其初始值為q0，超過(guò)加載歷時(shí)為tc后，保持qu不變.

圖1 拉格朗日坐標(biāo)系與流動(dòng)坐標(biāo)系

由圖1 知:ξ與a，S(a，t)之間的關(guān)系為［5］

式中:S(a，t)為拉格朗日坐標(biāo)系中坐標(biāo)a在t時(shí)發(fā)生的地基沉降.

根據(jù) R.E.Gibson等的研究［1］，ξ與a間關(guān)系為

式中:e=e(a，t)是拉格朗日坐標(biāo)系中a處在t時(shí)的孔隙比;e0=e(a，0)是t=0時(shí)的初始孔隙比.

2 指數(shù)形式滲流定律下大變形固結(jié)控制方程

根據(jù) Xie K.H.等［5］對(duì)以上問(wèn)題研究，土層中總應(yīng)力σ與孔隙水壓力p分別為

式中:σ(0，t)=qp+q(t)+γw(Hw+S(0，t));Gs為土粒比重.u=u(a，t)是由外荷載引起的超靜孔隙水壓力;pw為靜水壓力，pw=γw(Hw+S(0，t))+

土層中的有效應(yīng)力σ'為

同文獻(xiàn)［9-11］假定土中滲流遵循指數(shù)形式滲流定律，即v=-kvim，其中v為滲流速度，kv為滲透系數(shù);i為水力坡降，m為指數(shù)大小.滲流定律中的流速應(yīng)為整個(gè)斷面的平均流速，故指數(shù)形式滲流定律在流動(dòng)坐標(biāo)系下表達(dá)為

式中:vw，vs分別為孔隙水和土顆粒相對(duì)于基準(zhǔn)面的速度;u為超靜孔隙水壓力;γw為水的重度.

一般工程荷載下，固體顆粒和水自身壓縮很小，故本研究不考慮土顆粒和土中水自身的壓縮變形，此時(shí)流動(dòng)坐標(biāo)系下連續(xù)方程為

式中:e為ξ處孔隙比.

考慮流動(dòng)坐標(biāo)系下邊界條件的引入較難，一般均在拉格朗日坐標(biāo)下對(duì)方程進(jìn)行解答，根據(jù)坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換關(guān)系，式(7)轉(zhuǎn)化為

目前關(guān)于土中非達(dá)西滲流軟土大變形固結(jié)研究較少，遵循從簡(jiǎn)至難原則，假定土體在固結(jié)過(guò)程中體積壓縮系數(shù)與滲透系數(shù)均保持不變，這雖與實(shí)際土體有較大差別，但對(duì)初步認(rèn)識(shí)土體在指數(shù)形式滲流定律下大變形固結(jié)性狀尤為重要.故

將式(5)、(9)、(10)代入式(8)，可得到基于指數(shù)形式滲流定律的軟土大變形固結(jié)問(wèn)題在拉格朗日坐標(biāo)下的控制方程，即

對(duì)式(9)進(jìn)行積分，得

或

式中:e00=e(0，0)為初始時(shí)刻地基土層頂面孔隙比.由式(12)、(13)進(jìn)一步得到:

將式(14)、(5)中的σ'0表達(dá)式聯(lián)立，得σ'0表達(dá)式:

將式(15)代入式(14)，得

式(12)進(jìn)一步改寫為

將式(17)代入式(11)，得

式(18)即為在以上假定下考慮指數(shù)形式滲流定律的軟土大變形固結(jié)問(wèn)題的控制方程.地基頂面排水、底面不透水下，其求解條件為

方程(18)為二階非線性偏微分方程，很難得到其解析解，本研究應(yīng)用有限差分法求其數(shù)值解.

3 方程的有限差分解

為方便數(shù)值求解，定義如下無(wú)量綱變量:

對(duì)于單級(jí)加載，無(wú)量綱變量Q為

應(yīng)用以上無(wú)量綱變量，控制方程(18)及求解條件式(19)可分別轉(zhuǎn)化為

將整個(gè)土層從表面開(kāi)始，劃分為n個(gè)薄層，每個(gè)薄層厚度為Δz，第k個(gè)時(shí)段增量為Δtvk，利用擬線性偏微分方程的隱式格式，可以將式(21)離散為

式中:1≤j≤n;k=0，1，2，3，…;Ukj為第j薄層在第k時(shí)段超靜孔隙水壓力的無(wú)量綱值;Qk為第k時(shí)段外荷載的無(wú)量綱值

求解條件式(22)應(yīng)用離散點(diǎn)可表示為

根據(jù)式(16)、(12)，第j薄層初始孔隙比e0j及tk時(shí)土體孔隙比ejk分別為

從式(26)發(fā)現(xiàn)第j層土體的最終孔隙比為

根據(jù)式(1)得

將式(2)代入式(28)，積分可得地基表面處tk時(shí)沉降變形值:

在荷載作用下地基發(fā)生的最終總沉降變形為

大應(yīng)變按變形定義的地基平均固結(jié)度Us為

大應(yīng)變按應(yīng)力定義的地基平均固結(jié)度Up為

由式(31)、(32)可見(jiàn):指數(shù)形式滲流定律下，軟土大變形固結(jié)理論中按變形定義的地基平均固結(jié)度與按孔壓定義的平均固結(jié)度不再相等，這與文獻(xiàn)［9］的小應(yīng)變固結(jié)理論不同.

4 算例分析

4.1 指數(shù)對(duì)固結(jié)性狀的影響

基于以上差分解答，通過(guò)算例對(duì)基于指數(shù)形式滲流定律的軟土一維大應(yīng)變固結(jié)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算分析，其中土工參數(shù)取值與文獻(xiàn)［5］相同，即Gs=2.75，H0=10 m，Hw=1m，e00=3.0，Tvc=0.05，qp=10 kPa，qu=100 kPa，kv0=10-9m·s-1，mv1=4 MPa-1.

圖2 為不同m時(shí)，分別在Tv=0.2，0.6 時(shí)，超靜孔隙水壓力沿深度的分布曲線.圖3為平均固結(jié)度Up與時(shí)間因子Tv關(guān)系曲線.由圖2知:固結(jié)初期(Tv=0.2)m越大，土中殘留的超靜孔隙水壓力越小;固結(jié)后期(Tv=0.6)m越大，土中殘留的超靜孔隙水壓力越大.與此固結(jié)性狀相對(duì)應(yīng)，固結(jié)速率在固結(jié)初期隨m增加而加快;在固結(jié)后期固結(jié)速率隨m的增加而減慢，見(jiàn)圖3.

圖2 不同m時(shí)的超孔壓分布曲線

圖3 Up-Tv關(guān)系曲線

圖4為不同m時(shí)孔隙比分布曲線.圖5為平均固結(jié)度Us與時(shí)間因子Tv關(guān)系曲線.由圖4知:在固結(jié)初期(Tv=0.2)土體的孔隙比隨m增大而減小;在固結(jié)后期(Tv=0.6)土體的孔隙比隨m增大而增大.與此相對(duì)應(yīng)，按變形定義的平均固結(jié)度在固結(jié)初期隨著m增加而增大;在固結(jié)后期平均固結(jié)度隨著m增加而減小(圖5).

圖4 不同m時(shí)孔隙比分布曲線

圖5 Us-Tv關(guān)系曲線

4.2 大、小應(yīng)變固結(jié)理論的區(qū)別

在土中滲流遵循指數(shù)形式滲流定律下，分別應(yīng)用文獻(xiàn)［9］的小應(yīng)變線性固結(jié)理論和本研究的大應(yīng)變固結(jié)理論計(jì)算地基平均固結(jié)度與沉降曲線，如圖6所示.由圖6知:大應(yīng)變固結(jié)理論下，以變形定義的地基平均固結(jié)度要比以應(yīng)力定義的地基平均固結(jié)度快;且無(wú)論是以變形還是以應(yīng)力定義，大應(yīng)變固結(jié)理論下土體的固結(jié)速率均要比小應(yīng)變固結(jié)理論快.特別需要說(shuō)明的是，大、小固結(jié)理論固結(jié)速率的差異會(huì)隨著土體壓縮性及荷載的不同而發(fā)生變化，土體壓縮性越大，兩者之間的差異越大;作用于地基表面的荷載越大，則兩者之間的差異也越大.如果土體的壓縮性很低，且作用于地基的荷載也很小(λq值很小)，此時(shí)大、小應(yīng)變固結(jié)理論計(jì)算得到的固結(jié)曲線則相差無(wú)幾.

圖6 大、小變形固結(jié)理論的固結(jié)度與時(shí)間曲線

圖7為地基沉降曲線.指數(shù)形式滲流定律下的小應(yīng)變線性固結(jié)理論中，地基的最終沉降量S∞=mvquH0，容易發(fā)現(xiàn)如果mvqu＞1(即 λq＞1)，此時(shí)地基的沉降量將比土層厚度還要大，這明顯不符合實(shí)際，即土體壓縮性或荷載較大時(shí)，仍然應(yīng)用小應(yīng)變固結(jié)理論會(huì)存在較大計(jì)算誤差.如果土體壓縮性很小(圖7a中mv1=1 MPa-1)，或者作用于地基的荷載很小(圖7b中qu=25 kPa)，分別應(yīng)用大、小應(yīng)變固結(jié)理論計(jì)算的地基沉降曲線基本一致.但是，隨著土體壓縮性或者荷載增大，兩者計(jì)算的沉降曲線之間的差異會(huì)越來(lái)越大，此時(shí)必須要采用大應(yīng)變固結(jié)理論計(jì)算地基的固結(jié)沉降變形.

圖7 大、小變形固結(jié)理論的地基沉降曲線

5 結(jié)論

1)與指數(shù)形式滲流定律下小應(yīng)變線性固結(jié)理論不同，大應(yīng)變固結(jié)理論中，按變形定義的地基平均固結(jié)度與按孔壓定義的地基平均固結(jié)度不再相等，且相同時(shí)間因子下按變形定義的地基平均固結(jié)度要大于按孔壓定義的地基平均固結(jié)度.

2)在土中滲流遵循指數(shù)形式滲流定律的前提下，土體固結(jié)速率在固結(jié)初期隨著指數(shù)增加而加快;在固結(jié)后期固結(jié)速率隨著指數(shù)增加而減慢.

3)大、小變形固結(jié)理論下，土體固結(jié)速率之間的差異會(huì)隨著土體壓縮性及作用于地基表面荷載的增大而加劇，且大變形固結(jié)理論計(jì)算得到的沉降曲線理論上更加合理.

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