王 琪，黃 華

（四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都610065）

0 引 言

倒立擺系統(tǒng)是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效地反映控制中的許多典型問題，因此它被廣泛用于檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力［1］。變論域自適應(yīng)模糊控制算法是目前比較常見的倒立擺穩(wěn)定控制方法之一。

模糊控制是一種建模簡單，非線性適應(yīng)性強的控制方法［2］。模糊控制器本質(zhì)上是一種插值器［3］。所以它適用于具有模糊環(huán)境的粗糙場合［4］。為了將模糊控制更好地應(yīng)用于高精度控制系統(tǒng)，李洪興在研究中提出了一種論域可變的自適應(yīng)模糊控制方案。變論域模糊控制器，就是選取合適的論域伸縮因子，以論域之變應(yīng)誤差之變，使得實際的控制規(guī)則大幅度增加［5］。實踐證明，變論域模糊控制具有較高的控制精度［6，7］。但是變論域模糊控制增加了算法的時間消耗，同時伸縮因子的選擇也是一大難題。如何同時實現(xiàn)倒立擺控制系統(tǒng)的快速性和精確性，已成為近來的研究熱點［8，9］。

模糊控制的實施需要對輸入論域進行規(guī)范化處理，而符號函數(shù)可以將輸入規(guī)范至［－1，1］，同時還可以簡化計算。受此啟發(fā)，本文決定將符號函數(shù)進行改造，替代變論域模糊控制中的伸縮操作，設(shè)計一種符號型自適應(yīng)模糊控制算法。

1 倒立擺系統(tǒng)建模

單級倒立擺系統(tǒng)如圖1所示。系統(tǒng)由小車和通過轉(zhuǎn)軸固定在小車上的擺桿組成。小車可以在水平方向上左右運動，擺桿可以在鉛垂平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。

圖1 單級倒立擺模型

規(guī)定水平向右和順時針分別為小車和擺桿運動的正方向，圖1中u為系統(tǒng)作用力，M 為小車質(zhì)量，m 為擺桿質(zhì)量，l為擺桿重心到小車的距離，θ為擺桿偏離豎直方向的角度，r為小車相對初始位置的位移，I 為擺桿的轉(zhuǎn)動慣量，b為小車的滑動摩擦系數(shù)。表1列出了倒立擺系統(tǒng)的實驗參數(shù)。分別對小車和擺桿進行受力分析［10］

表1 倒立擺系統(tǒng)實驗參數(shù)

選取擺桿豎直向上，小車水平無位移的位置為系統(tǒng)平衡位置，在擺桿偏角不大的情況下，做下列近似處理

取狀態(tài)變量X＝［r θ r·θ·］，得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程

將表1中參數(shù)帶入可得

2 符號型自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計

2.1 變論域自適應(yīng)模糊控制器簡介

變論域自適應(yīng)模糊控制器將論域隨著輸入的變化而變化，它變相增加了規(guī)則數(shù)量，提高了控制精度。下文簡要介紹一下變論域自適應(yīng)模糊控制器的基本結(jié)構(gòu)，李洪興在研究中詳細介紹了其理論依據(jù)和實現(xiàn)形式。

考慮雙輸入單輸出模糊控制器，設(shè)X＝［－Ex，Ex］，Y＝［－Ey，Ey］，Z＝［－U，U］分別為輸入變量x，y 和輸出變量z 的論域，｛Ai｝（i＝1，2，…，m），｛Bj｝（j＝1，2，…，n）和｛Cij｝分別為論域X，Y 和Z 的模糊劃分，設(shè)｛Ai｝，｛Bj｝和｛Cij｝為語言變量，可以形成模糊推理規(guī)則庫

基于規(guī)則（4）的模糊控制器可以由2 元分片插值函數(shù)F（x，y）表示

所謂變論域就是論域隨著變量x，y，z的變化而變化，即

式中：αx（xi），αy（yj）和β（z）——論域X，Y 和Z 的伸縮因子。李洪興等給出了伸縮因子應(yīng)具有的性質(zhì)，通常，建議輸入變量的伸縮因子為下面兩種形式［11］

式中：ε趨近于0，λ趨近于1。伸縮因子參數(shù)的選擇直接影響控制性能，一般采用試湊的方法設(shè)計參數(shù)，這不利于實際工程應(yīng)用。

變論域模糊控制器輸出表示為

2.2 線性二次調(diào)節(jié)器設(shè)計

一級倒立擺系統(tǒng)是個多變量系統(tǒng)，為了便于后續(xù)控制，避免 “維數(shù)災(zāi)難”問題，可以將4個狀態(tài)變量進行線性綜合，最終得到綜合誤差E 和綜合誤差變化率EC，以下利用線性二次型最優(yōu)控制理論來為狀態(tài)方程設(shè)計狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)律。二次型性能指標函數(shù)為

式中：Q、R——狀態(tài)變量和控制變量的權(quán)向量，表征它們對性能指標的重要性。在此，取Q＝diag［100 100 0 0］，R＝1，求解下列Riccati方程

可以得到最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣K＝［－10 50.921－9.035 9.4273］T，取綜合系數(shù)

于是，綜合誤差E 和綜合誤差率EC 分別為

2.3 基于符號函數(shù)的調(diào)節(jié)因子設(shè)計

由于在變論域模糊控制中伸縮因子只能靠經(jīng)驗和試湊來選擇，同時論域的實時改變增加了系統(tǒng)的時間開銷，不利于實時控制。綜上所述，本文決定使用符號函數(shù)對輸入變量進行權(quán)衡，考慮倒立擺系統(tǒng)的控制目標為跟蹤參考輸入即靜止狀態(tài)，為了避免系統(tǒng)在過零點附近產(chǎn)生振蕩，因此將傳統(tǒng)的符號函數(shù)進行如圖2所示變化。

變化后的符號函數(shù)在［－k，k］區(qū)間內(nèi)根據(jù)線性函數(shù)y＝x／k（－k＜x＜k）取值，避免了在過零點控制量過大而產(chǎn)生的振蕩。

圖2 符號函數(shù)變化

結(jié)合式（8）和式（13），控制器輸出為

2.4 符號型模糊控制規(guī)則設(shè)計

由于符號型調(diào)節(jié)因子實質(zhì)上為一分段函數(shù)，在符號型模糊控制規(guī)則中，將輸入變量E 和EC 的論域分別劃分為｛－1，－｜E｜／k（－k＜E＜0），0，｜E｜／k（0＜E＜k），1｝和｛－1，－｜EC｜／k（－k＜EC＜0），0，｜EC｜／k（0＜EC＜k），1｝，即當輸入變量位于［－k，k］區(qū)間時，使用前述線性函數(shù)的值作為模糊基函數(shù)的結(jié)果參與規(guī)則運算。

將綜合誤差E 和綜合誤差變化率EC 的論域規(guī)范為［－1，1］，基于這兩者的模糊控制規(guī)則見表2。

表2 符號型模糊控制規(guī)則

2.5 輸出調(diào)節(jié)因子設(shè)計

采用符號型自適應(yīng)模糊控制器來控制一級倒立擺，控制器的輸出為uc（t），有

其中

取U＝‖K‖2＝53.51，β按照加權(quán)積分原理來設(shè)計。

設(shè)e為綜合誤差和綜合誤差率組成的向量，利用權(quán)向量Pn將其變?yōu)闃肆縠＊（t）＝eTPn，從而和e（t）的關(guān)系可以表示為

KI為比例系數(shù)，對）在（0，t）積分便有

考慮ω（E，EC）為e＊（t）在t時刻的權(quán)重，可以將上式寫為加權(quán)積分形式

式中：β（0）作為一個設(shè)計參數(shù)，根據(jù)實際情況來選取。

3 仿真結(jié)果

設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為［0.2－0.2 0.1 0.05］，在仿真實驗中取β（0）＝1，KI＝5，Pn＝［5，5］T。首先，采用本文算法和變論域自適應(yīng)模糊控制算法對倒立擺系統(tǒng)進行仿真，其中本文算法中取k＝1，變論域自適應(yīng)模糊控制算法采用見表3的模糊規(guī)則。

表3 變論域模糊控制規(guī)則

伸縮因子如下式選取

選擇仿真時間T＝10s，仿真結(jié)果如圖3、圖4和表4所示。

圖3 小車位移曲線

圖4 擺桿角度曲線

表4 穩(wěn)態(tài)精度對比（t＝8.0s）

上述仿真結(jié)果表明，相對于傳統(tǒng)的變論域模糊控制算法，符號型自適應(yīng)模糊控制算法不但有效提高了響應(yīng)速度，縮短了過渡時間，而且還減小了穩(wěn)態(tài)誤差，提高了控制精度，同時它的控制規(guī)則少，易于實現(xiàn)。

在本文方法中，k的取值也影響控制性能，下面分別選取k＝0.8，1.0和1.1 這3 個值，在前述系統(tǒng)條件下進行仿真，如圖5、圖6和表5所示。

圖5 小車位移曲線 （k值的影響）

圖6 擺桿角度曲線 （k值的影響）

表5 k值對穩(wěn)態(tài)精度的影響（t＝8.0s）

根據(jù)上述結(jié)果，不難看出，k值增大，可以提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)精度，但是會給暫態(tài)過程帶來較大的波動。應(yīng)該合理選擇k值，以保證系統(tǒng)的控制性能。

4 結(jié)束語

本文設(shè)計了基于符號型自適應(yīng)模糊控制算法的單級倒立擺控制器?？刂破骼米冃魏蟮姆柡瘮?shù)權(quán)衡輸入變量，相對改變論域范圍，避免了伸縮因子的選擇難題。該方法減少了規(guī)則數(shù)和計算量，控制結(jié)構(gòu)簡單，可以節(jié)約大量成本。本文按照此方法搭建了單級倒立擺仿真平臺，仿真結(jié)果顯示了該方法具有良好的跟蹤速度和穩(wěn)態(tài)精度。但符號函數(shù)的使用給暫態(tài)過程帶來了波動，在本文基礎(chǔ)上，如何提高暫態(tài)過程的平穩(wěn)性，還需要后續(xù)研究。

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