胡正菊

當前，大學中的數(shù)學課堂主要是以傳授課本上的理論知識為主，雖然也十分注重培養(yǎng)學生的知識應用能力，但主要是解題能力，很少涉及到解決實際問題的能力，存在著嚴重的“重理論、輕應用”的思想現(xiàn)象。事實上，現(xiàn)實生活中的諸多社會科學和自然科學問題，并不是以一個簡單的數(shù)學問題的形式呈現(xiàn)出來的，需要學生通過數(shù)學建模的方式發(fā)揮數(shù)學概念、方法和理論的實際應用價值，因此，學生的數(shù)學建模能力在將理論知識轉化為實際應用過程中發(fā)揮著重要作用。

數(shù)學建模的概念與基本過程

本德（E.A.Bender）認為：“數(shù)學模型是將現(xiàn)實世界中的部分問題抽象、簡化為一定的數(shù)學結構，由此達到運用數(shù)學方法解決實際問題的目的?！币布词沁M行抽象、簡化、假設、引進變量等一系列的處理之后，通過建立的數(shù)學模型來表達實際問題，隨后再運用數(shù)學理論、計算方法以及先進的計算機技術進行求解，從而順利地解決實際問題。

數(shù)學建模往往要經(jīng)歷以下幾個步驟：（1）調查研究。建模者需要對實際問題的內在機理和產(chǎn)生背景進行全面、深刻的了解。（2）抽象簡化。建模者需要掌握實際問題中的核心因素并理清各因素之間的關系，提出合理的假設，從而將實際問題轉化為數(shù)學問題。（3）建立模型，也就是將實際問題轉變成某種數(shù)學結構。（4）求解模型。建模者不僅要具備數(shù)學上的解題能力；而且還要能夠熟練應用Mathtype、Matlab、Spss等軟件。（5）分析模型，也即是從數(shù)學理論和實際意義的角度來分析所求出的解。（6）檢驗模型。運用求解結果來檢驗所建立的模型是否能夠真實反映實際問題。（7）修改模型。對諸如變量取舍、變量類型、已知條件進行調整，從而使模型中的因素配置更加合理。（8）應用模型。建模者需要運用求解結果來指導實際工作或者是對未來進行預測和估計。

由此看出，數(shù)學建模是一項系統(tǒng)工程，既需要深厚的數(shù)學理論知識，同時也需要一定的靈活運用知識的能力和創(chuàng)新能力，尤其是要掌握豐富的建模方法和技巧，由此提高建模質量和效率，增強學生的知識應用能力。

當前高校數(shù)學教學存在的問題

首先，在授課內容上，我國高等院校的數(shù)學課程主要立足于數(shù)學內部的理論結構及其之間的邏輯關系，重點培養(yǎng)學生對特定數(shù)學理論、數(shù)學公式的掌握、應用及其推導能力，存在明顯的重理論、輕應用，重經(jīng)典、輕現(xiàn)代，重運算技巧、輕數(shù)學方法，重分析、輕數(shù)值計算的傾向。

其次，在教學方法上，當前的數(shù)學教學活動變得越來越形式化，往往通過頻繁的解題活動，鍛煉學生的理論應用能力和邏輯思維能力等。這雖然使學生具備了豐富的理論知識和高水平的解題能力，但面臨實際問題的時候，卻無從下手，不知如何將實際問題轉化成數(shù)學模型，由此運用已有的數(shù)學知識達到求解的目的。

第三，在數(shù)學應用方面，也僅僅停留在古典幾何和物理上，忽視了實際工程或者是日常生活中的諸多數(shù)學問題，致使學生的數(shù)學知識與實際應用之間存在嚴重的脫節(jié)，不僅無法培養(yǎng)學生應用數(shù)學理論、數(shù)學方法和數(shù)學模型解決實際問題的能力，而且也無法與自身的專業(yè)課形成有效的銜接，從而大大降低了學習質量。

最后，在大學數(shù)學課堂上，教師往往采用注入式的教學方法，單純注重知識講授和重復性的訓練，師生之間缺乏必要的溝通和交流。這既不利于培養(yǎng)學生的自主學習能力和創(chuàng)新能力，更不利于激發(fā)學生的學習積極性。

學生數(shù)學建模意識的培養(yǎng)途徑

1.將建模思想融入數(shù)學概念

諸多數(shù)學概念是基于現(xiàn)實需要而產(chǎn)生的，是其他理論和實際應用的基礎，因此，在數(shù)學課堂上，應從實際問題出發(fā)，說明數(shù)學概念的產(chǎn)生背景與產(chǎn)生原因，使學生從抽象模型中認識到數(shù)學概念是因實際應用的需要而產(chǎn)生的，由此增強其數(shù)學建模意識，培養(yǎng)應用數(shù)學概念解決實際問題的能力。劉徽對于“割圓術”理論的描述為：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！背酥?，我們可以采用求曲邊梯形面積“直”與“曲”可以相互轉化的思想作為原型來解釋定積分概念，即“化整為零取近似，聚整為零求極限”。

2.將建模思想融入實際應用

從某種程度上來說，在大學課堂中引入數(shù)學建模思想并不是打破傳統(tǒng)的教學內容或者是教學秩序，而是在講解數(shù)學知識的過程中體現(xiàn)數(shù)學建模思想，激發(fā)學生積極、主動的建模意識，由此提高知識的實際應用能力。比如在講解微分方程的時候，我們可以采用以下案例：假設某地區(qū)大面積流行傳染病，總人數(shù)為N，其中x（t）為攜帶病毒人群，y（t）為健康人群，并假設在特定的時間內，一個病人傳染的人數(shù)與健康人數(shù)量成正比，并且比例系數(shù)為K，因此:

這一抽象模型正好與Verhulst阻滯增長模型十分類似，通過可分離變量法求解微分方程可以得到：

由此可以發(fā)現(xiàn)，攜帶病毒人群x（t）隨t單調增加。如圖1所示，當其趨向于無限大時為該地區(qū)總人數(shù)N，也即是所有人都會被感染病毒。這是最惡劣的病毒傳播現(xiàn)象，實際上感染者不會達到環(huán)境所允許的最大容量，但卻能夠最大程度接近N。

圖1 單位時間內感染人數(shù)的變化曲線

圖2 感染者的增長速度曲線

由dx/dt=kx（t）[N-x（t）]可以看出，右邊的公式是x（t）的二次函數(shù)，基于dx/dt=-[x（t）-N/2]2+kN2/4，因此，當x（t）為N/2的時候，dx/dt的最大值取kN2/4。如圖2所示，這表明該地區(qū)病毒感染人數(shù)的增長速度在N/2的時候達到最大值。

3.將建模思想融入數(shù)學教學方法

在解決實際問題的過程中，傳統(tǒng)數(shù)學課中所講解的一些數(shù)學方法仍然呈現(xiàn)出重要的實際應用價值，因此，將數(shù)學建模思想融入數(shù)學方法講授的過程，同樣能夠極大地激發(fā)學生的數(shù)學建模意識，由此形成利用數(shù)學知識解決實際問題的良好習慣。比如利用導數(shù)求函數(shù)曲線在特定位置的曲率，利用一階導數(shù)、二階導數(shù)求特定函數(shù)模型的極值等，都呈現(xiàn)出重要的實際應用價值。在講授積分上限函數(shù)的過程中，應當補充 這樣的函數(shù)模型，因為類似的函數(shù)求導問題往往會應用于報童的策略模型之中。在大學數(shù)學課堂上，數(shù)學教師不僅需要系統(tǒng)介紹各種方法的應用方式和應用環(huán)境,而且還要分析其解決實際問題的方式與策略，由此培養(yǎng)學生數(shù)學建模意識，增強學生解決實際問題的能力。

結 語

數(shù)學建模既體現(xiàn)著學生對于數(shù)學知識的應用能力，同時也是將數(shù)學理論轉變?yōu)橛行У膽霉ぞ叩闹匾緩?，在學生專業(yè)課學習以及社會發(fā)展過程中發(fā)揮著重要作用，基于此，我們要從不同的角度來培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識和建模能力，實現(xiàn)預期的人才培養(yǎng)目標。

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