王 通 王 青

(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

江未來 董朝陽

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

變體飛行器是一類外形結(jié)構(gòu)可隨飛行任務(wù)或外部環(huán)境變化的新型飛行器，其常見的變形形式包括鴨翼伸縮、后掠角改變、機(jī)翼折疊等，從而保證變形前后在不同任務(wù)模式下均滿足飛行性能要求.作為一種新概念飛行器，變體飛行器有望成為現(xiàn)代高性能飛行器實(shí)現(xiàn)突破發(fā)展的源泉，具有重要的研究價(jià)值和廣闊的應(yīng)用前景.

飛行過程中的外形變化會(huì)引起質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、翼展與面積等多種構(gòu)型參數(shù)的變化，還會(huì)引起氣動(dòng)力和慣性力的非線性變化，給飛行器的氣動(dòng)、結(jié)構(gòu)和控制等學(xué)科提出了一系列具有挑戰(zhàn)的研究課題［1－4］.在變體飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方面，如何建立數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確反映對(duì)象的變形特性，并確?？焖僮冃螘r(shí)大包線下的飛行穩(wěn)定和控制性能成為亟待解決的關(guān)鍵問題.

文獻(xiàn)［5］針對(duì)一類機(jī)翼形態(tài)可變的飛行器進(jìn)行了多體動(dòng)力學(xué)建模，建立了變體飛行器變形過程中的6自由度非線性動(dòng)力學(xué)方程.文獻(xiàn)［6］針對(duì)變體飛行器的不同形態(tài)設(shè)計(jì)了相應(yīng)的模型跟蹤控制器以保證在不同的飛行狀態(tài)都保持優(yōu)化的飛行性能.但是現(xiàn)有文獻(xiàn)均未從理論上保證變體飛行器在大包線下快速變形時(shí)的飛行穩(wěn)定性.

本文針對(duì)一類后掠翼可變的飛行器，建立了基于切換多胞系統(tǒng)的變體飛行器模型，提出了保證三維包線下飛行穩(wěn)定的控制綜合方法，仿真結(jié)果表明在快速變形的情況下，所給的控制方案滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤性能要求.

1 變體飛行器建模

變體無人機(jī)Fire-Bee是美國新一代航空公司設(shè)計(jì)的一款變體無人技術(shù)驗(yàn)證機(jī)，其在飛行過程中能夠在“巡航”和“高速”兩種形態(tài)間進(jìn)行變形，如圖1所示.

圖1 變體飛行器形態(tài)示意圖

變體無人機(jī)Fire-Bee的機(jī)翼后掠角χ的變化范圍是15°～60°，平均氣動(dòng)弦長、展長和機(jī)翼面積等參量隨后掠角連續(xù)變化，重心位置可通過機(jī)身的配重自動(dòng)調(diào)整.表1列出了變體飛行器在“巡航”和“高速”兩種形態(tài)下的構(gòu)型參數(shù)，其他后掠角度對(duì)應(yīng)的參數(shù)可通過擬合得到，完整的氣動(dòng)數(shù)據(jù)表可參考文獻(xiàn)［7］，易知變體飛行器的氣動(dòng)參數(shù)都是后掠角χ的函數(shù).這里給出變體飛行器Fire-Bee的縱向短周期非線性動(dòng)力學(xué)模型:式中，VT為飛行速度;α為攻角;q為俯仰角速率;Ma為馬赫數(shù);H為高度;ˉq為動(dòng)壓;δe為升降舵偏角;CL，Cm分別為升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)，其他參數(shù)的物理意義參見表1［8］.

表1 變體飛行器構(gòu)型參數(shù)

在系統(tǒng)平衡狀態(tài)對(duì)式(1)進(jìn)行線性化，得到線性化小擾動(dòng)狀態(tài)空間模型:

式中，狀態(tài)變量 x=(Δα，Δq)T;控制變量 u為δe;Zα，ˉMα，ˉM˙α，ˉMq，Zδe，ˉMδe均為動(dòng)力學(xué)導(dǎo)數(shù).系統(tǒng)矩陣和控制矩陣可由變體飛行器當(dāng)前的氣動(dòng)參數(shù)和構(gòu)型參數(shù)計(jì)算得出，故可近似為高度、馬赫數(shù)和后掠角的函數(shù).

變體飛行器在以高度、馬赫數(shù)和后掠角為參量的三維包線下，系統(tǒng)模型隨氣動(dòng)參數(shù)和構(gòu)型參數(shù)具有漸變特性，可視為如下的線性切換系統(tǒng):

式中，Ω為三維飛行包線內(nèi)工作點(diǎn)的有限集合;σ(t)為切換律.系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)前的高度、馬赫數(shù)和后掠角決定所處的工作點(diǎn)并切換至相應(yīng)的子系統(tǒng)下.進(jìn)一步可將其等價(jià)為具有局部重疊特性的若干個(gè)切換子系統(tǒng)［9］:

各個(gè)切換子系統(tǒng)的形式如下:

式(5)中的每個(gè)切換子系統(tǒng)可對(duì)應(yīng)為一個(gè)多胞系統(tǒng)，該多胞系統(tǒng)的頂點(diǎn)即為各切換子系統(tǒng)的切換狀態(tài)，在三維包線下體現(xiàn)為各設(shè)計(jì)點(diǎn)，得到如下所示的切換多胞系統(tǒng):

2 設(shè)計(jì)點(diǎn)選取

傳統(tǒng)的增益調(diào)參控制器綜合過程一般采用線性插值方法，所得的控制器無法從理論上保證全包線飛行的穩(wěn)定性.本文在前述變體飛行器切換多胞模型的基礎(chǔ)上，將控制系統(tǒng)分解為多胞系統(tǒng)頂點(diǎn)(即單個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn))的反饋增益設(shè)計(jì)和全包線下的控制器綜合.前者可有效繼承傳統(tǒng)的線性控制設(shè)計(jì)方法，后者則通過切換系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和特殊的插值方法保證變體飛行器在全包線飛行過程中的穩(wěn)定性.

對(duì)傳統(tǒng)的飛行包線進(jìn)行拓展，將以高度和馬赫數(shù)為坐標(biāo)的二維包線拓展為以高度、馬赫數(shù)和后掠角為坐標(biāo)的三維包線.在飛行包線內(nèi)選取若干設(shè)計(jì)點(diǎn)，變體飛行器在這些設(shè)計(jì)點(diǎn)上可以近似為線性模型.設(shè)計(jì)點(diǎn)的數(shù)量應(yīng)當(dāng)適中，既要滿足包線內(nèi)動(dòng)特性描述的需要，還要減少設(shè)計(jì)工作量，同時(shí)為后續(xù)的穩(wěn)定性分析提供基礎(chǔ).

在變體飛行器的三維包線內(nèi)，遍歷高度3，6，9，12，15，18 km，馬赫數(shù) 0.2，0.5，1.0，1.5，2.0，后掠角 15°，30°，40°，50°，60°的所有組合，得到原始的150個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn).進(jìn)一步考慮變體飛行器的任務(wù)模式，當(dāng)其處于不同形態(tài)時(shí)，飛行高度和馬赫數(shù)具有一定的自然約束，即“巡航”形態(tài)適用于中低空域、低速飛行狀態(tài)，而“高速”形態(tài)適用于中高空域、高速飛行狀態(tài).因此有必要剔除與任務(wù)模式相悖的設(shè)計(jì)點(diǎn)，得到83個(gè)符合飛行任務(wù)要求的設(shè)計(jì)點(diǎn).文獻(xiàn)［10］基于折疊翼飛行器的LPV模型，利用小凸包算法研究了設(shè)計(jì)點(diǎn)的選取方法，本文運(yùn)用小凸包算法對(duì)上述83個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)計(jì)算其三維空間中的凸包包絡(luò)點(diǎn)，作為切換多胞系統(tǒng)的頂點(diǎn)，共計(jì)18個(gè)，設(shè)計(jì)點(diǎn)篩選結(jié)果如表2所示.

表2 設(shè)計(jì)點(diǎn)篩選

針對(duì)所選擇的18個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，采用線性二次型最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)單點(diǎn)控制器，各設(shè)計(jì)點(diǎn)的狀態(tài)反饋增益向量如表3所示.

表3 設(shè)計(jì)點(diǎn)處的狀態(tài)反饋增益向量

3 控制器綜合

3.1 插值方法

基于選取的18個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)建立變體飛行器的多胞系統(tǒng)模型，按照設(shè)計(jì)點(diǎn)將飛行包線分割成有限個(gè)長方體，長方體各頂點(diǎn)均為18個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)中的點(diǎn)，且各長方體內(nèi)部不包含其它設(shè)計(jì)點(diǎn)，則飛行包線內(nèi)任意狀態(tài)點(diǎn)處的線性模型均通過式(7)表示為某長方體內(nèi)狀態(tài)點(diǎn)處的線性小擾動(dòng)方程.

式中(Ai，Bi)是長方體各頂點(diǎn)處的系統(tǒng)矩陣與輸入矩陣.由式(7)可知，長方體內(nèi)狀態(tài)點(diǎn)處的線性小擾動(dòng)模型由8個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)處的線性小擾動(dòng)模型經(jīng)過線性加權(quán)確定.如圖2所示，針對(duì)長方體內(nèi)的某狀態(tài)點(diǎn)P，ρi由式(8)計(jì)算得到.

圖2 多胞模型加權(quán)系數(shù)計(jì)算示意圖

圖2和式(9)中的x，y，z分別代表三維飛行包線中的相應(yīng)坐標(biāo)，式(8)和式(9)用以完成長方體內(nèi)的插值計(jì)算.

進(jìn)一步，變體飛行器切換多胞系統(tǒng)建模下全包線下工作點(diǎn)處的控制器可通過式(10)的插值方法得到.

式中，X+為X的M-P偽逆;ki為長方體各頂點(diǎn)處的狀態(tài)反饋增益向量.該插值方法不同于傳統(tǒng)的線性插值，它能夠在一定條件下保證變體飛行器的全包線飛行穩(wěn)定性，穩(wěn)定性分析方法將在第3.2節(jié)中進(jìn)行詳細(xì)介紹.

3.2 穩(wěn)定性分析

下面以定理的形式給出第3.1節(jié)控制器插值得到的變體飛行器閉環(huán)系統(tǒng)的全包線穩(wěn)定性分析方法.

定理1 針對(duì)形如式(6)的變體飛行器切換多胞模型所有設(shè)計(jì)點(diǎn)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器u=－kix，如果存在正定矩陣P使得下列線性矩陣不等式組成立:

并按照式(12)對(duì)長方體內(nèi)的任意狀態(tài)點(diǎn)進(jìn)行狀態(tài)反饋控制器插值:

則可保證變體飛行器全包線飛行穩(wěn)定.

證明 由定理易知，長方體的8個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的切換子系統(tǒng):

滿足以下不等式組:

對(duì)于長方體內(nèi)的任意狀態(tài)點(diǎn)，則有

又因?yàn)?/p>

易知長方體內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)與長方體的頂點(diǎn)具有公共Lyapunov函數(shù)V=xTPx，也即在長方體內(nèi)的飛行可以確保穩(wěn)定性.

由于三維飛行包線內(nèi)的所有設(shè)計(jì)點(diǎn)均具有公共Lyapunov函數(shù)，因此不同長方體內(nèi)的任意狀態(tài)點(diǎn)均具有公共Lyapunov函數(shù)V=xTPx，則在全包線內(nèi)均可以確保飛行穩(wěn)定.證畢

4 仿真驗(yàn)證

經(jīng)過驗(yàn)證，所選取的18個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的線性模型在加入最優(yōu)狀態(tài)反饋后具有公共Lyapunov函數(shù)，可以通過第3.1節(jié)所述的插值方法得到保證全包線下穩(wěn)定的控制器.

考慮變體飛行器的后掠角χ在15 s內(nèi)由60°變?yōu)?5°，即以 －3(°)/s的后掠角變化率由“高速”形態(tài)向“巡航”形態(tài)變形并且位于第2節(jié)所討論的三維飛行包線內(nèi)部.

在相應(yīng)的攻角指令下，系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖3～圖5所示.

圖3 攻角響應(yīng)曲線

由以上仿真曲線可見，攻角響應(yīng)曲線能夠較好地跟蹤攻角指令，且受機(jī)體變形過程的干擾較小;俯仰角速率波動(dòng)幅度在2(°)/s以內(nèi)，舵偏角幅值也在合理的范圍內(nèi).仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的全包線控制綜合方法在保證飛行穩(wěn)定性的同時(shí)，也具有較好的控制性能.

圖4 俯仰角速率響應(yīng)曲線

圖5 舵偏響應(yīng)曲線

5 結(jié) 束 語

研究了可變后掠翼變體飛行器的全包線控制器設(shè)計(jì)與綜合方法，在非線性模型的基礎(chǔ)上建立了基于切換多胞系統(tǒng)的變體飛行器模型，利用小凸包算法從三維飛行包線中選取了數(shù)量適中的設(shè)計(jì)點(diǎn)，并對(duì)各設(shè)計(jì)點(diǎn)處的線性化模型設(shè)計(jì)了最優(yōu)控制律.提出了一種新的控制器插值方法完成變體飛行器三維包線下的控制綜合，從理論上保證了變體飛行器的全包線穩(wěn)定性，也繼承了傳統(tǒng)增益調(diào)參方法的優(yōu)勢(shì)，具有良好的控制效果.

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