許伯強，李俊敏，徐桂東，張景秀

(1.江蘇大學理學院，江蘇鎮(zhèn)江 212013;2.江蘇大學機械工程學院，江蘇鎮(zhèn)江 212013)

近年導(dǎo)波傳播特性的研究已由單層材料發(fā)展到多層模型，用于指導(dǎo)材料的無損評價和檢測。波在不同材料中的傳播特性由界面的邊界條件決定，波在媒質(zhì)中的傳播受層間界面的限制而產(chǎn)生不同形式的反射或散射。因此，對無限大或半無限大基底，以及有限邊界對表面波傳播的影響進行分析是必要的。而波在不同材料中的傳播特性由界面的邊界條件決定。Brekhovskikh(1980)，Ewing(1957)及 Pace(1983)都曾發(fā)表文章來全面討論這些類型的邊界條件［1］。在無限大固體中，可能存在波的模式有P波和S波兩種類型。當這些波到達邊界時，會在局部有更多的邊界效應(yīng)產(chǎn)生。在多層介質(zhì)的情況下會由于層間反射而造成色散。已有的許多研究通過理論和實驗的方法獲得了導(dǎo)波傳播的色散曲線，層狀波導(dǎo)的色散方程大多采用傳遞矩陣法或全局矩陣法建立。而本研究中的動態(tài)剛度矩陣對雙層結(jié)構(gòu)中的超聲研究沿襲了傳遞矩陣的思想。因此，文中主要采用譜有限元法構(gòu)造動態(tài)剛度矩陣對薄膜－基底層狀材料中的傳播特性進行研究，并初步對二維層狀結(jié)構(gòu)的應(yīng)力產(chǎn)生的超聲波場進行了模擬分析。

本研究主要是將譜方法與傳遞矩陣方法相結(jié)合，結(jié)合了譜方法與有限元法各自的優(yōu)點，擴展 Doyle(1988)的一維波導(dǎo)分析，在二維模型中，將剛度建立在頻率/波數(shù)域。時域偏微分波動方程變換到頻域常微分方程的同時也將計算從時域瞬態(tài)求解轉(zhuǎn)換到頻域準靜態(tài)計算，最后基于Matlab程序求解相應(yīng)常微分方程得到所求的解。

1 波譜分析

1.1 控制方程

位移的控制方程是用來簡化彈性理論下系統(tǒng)的未知位移變量在波場中的公式，總結(jié)為Navier公式［2－4］

由亥姆霍茲分解得到關(guān)于勢函數(shù)的偏微分波動方程標量勢Φ和矢量勢H分別對應(yīng)限制相速度Cp和Cs的P波和SV波，將y方向退化，只考慮xoz截面的兩個傳播方向。將控制方程變換后得到頻率/波數(shù)域的求解表達式。序列的N次疊加和表示表達式中有N個頻率分量。若給定的某一序列點的波數(shù)η就可給出波隨時間的變化。當η為零時，取不同頻率的疊加即可得到平面波的變化趨勢。

1.2 譜單元分析

文中討論了兩種類型的譜單元，單節(jié)點的截斷單元和雙節(jié)點的層單元。截斷單元模擬的是半無限大板材，而雙節(jié)點單元則是有限大模型兩端均有邊界的情況。

圖1 兩種類型單元模型幾何示意圖

1.2.1 1－節(jié)點單元

如圖1(a)所示的單元只有單一邊界條件，位移u和v的譜展開表達式為

此式中既包括對稱模態(tài)也包括反對稱模態(tài)，然而本研究的幾何模型關(guān)于y軸對稱，因此只包括對稱部分。式(4)取節(jié)點1(z=0)時的值即為節(jié)點位移。

由柯西應(yīng)力法則牽引力的邊界受力表達式為

式(5)中，nx、ny分別表示關(guān)于下標方向垂直于表面的法向分量，在節(jié)點1取外法向分量可以得到牽引力與待定系數(shù)的關(guān)系式。μ是剪切模量，也就是得到單元剛度矩陣

1.2.2 2－節(jié)點單元

雙節(jié)點單元的分析與單節(jié)點類似，其幾何模型如圖1(b)所示，勢函數(shù)的表達式在該模型系統(tǒng)下修正為［5］

同理推導(dǎo)位移與待定系數(shù)［AnmBnmCnmDnm］T的關(guān)系，將z1=0，z2=h代入位移表達式，下標1、2分別用以區(qū)分層單元的上下表面。

通過應(yīng)力或應(yīng)變向量過渡得到牽引力向量與位移向量之間的關(guān)系

得到求解核心剛度矩陣即可分析給定材料矩陣元素隨頻率的變化關(guān)系，取極限是當η=0時的低頻下譜單元平面波，如圖6所示是在相應(yīng)值時元素低頻響應(yīng)。由表達式可知k12、k14為恒定零值。而其他各元素分別在低頻區(qū)域呈遞減走勢，其中k11、k13呈現(xiàn)的是類似于棒的u位移特性。k22、k24則是與v位移相關(guān)聯(lián)，類似于梁的剪切特性。隨著水平方向波數(shù)η的增大，將會有更多的元素在低頻區(qū)域趨向于零。

2 數(shù)值模擬

2.1 幾何模型與邊界條件

脈沖激光作用可產(chǎn)生諧波，其等效力源的表達式如式(9)所示，其時域與頻域分布如圖2所示［6］

其中，σ=1.2表示激光脈沖寬度的控制參量;t0=5μs表示脈沖延遲時間;fc=0.5 MHz。對f(t)進行傅里葉變換得到其頻譜。

圖2 上表面荷載時域波形及頻譜

圖3 雙層板幾何模型示意圖

表1 材料參數(shù)

基于上述理論，建立頻域譜有限元雙層模型，上層材料為鋁，下層材料為鋼。

2.2 結(jié)果與討論

圖4 截斷層的動態(tài)剛度元素隨頻率的變化(η=0)

圖5 截斷層的動態(tài)剛度元素隨頻率的變化(η=99)

圖6和圖7為η=0時剛度隨頻率的變化圖，對比可看出雙節(jié)點單元平面波的傳播會在到達第二個節(jié)點處時改變耦合關(guān)系，反向也如此。這是因為當η增大時，x方向的指數(shù)函數(shù)衰減更劇烈。圖6與圖7分別為低頻及全頻率范圍的剛度矩陣變化趨勢。在頻率增大區(qū)域剛度具有共振特性，與圖5所示一致。對波數(shù)作相同的定量分析結(jié)果也如此。

圖6 平面波在雙節(jié)點單元傳播的剛度矩陣低頻特性(η=0)

如圖8所示，隨著超聲導(dǎo)波的傳播距離增加，材料中超聲導(dǎo)波的振幅基本沒有變化。激光作用在材料表面依次激發(fā) P波、S波以及緊跟其后的 Rayleigh波(R)。能明顯地分辨出波形中不同模態(tài)超聲導(dǎo)波的特征。圖8中可清晰地看出反射波中相繼出現(xiàn)的兩種不同模態(tài)的超聲導(dǎo)波，不同模態(tài)的超聲導(dǎo)波傳播速度均相等，標注為RR和RS。與之相比，圖9所示為上下層分界面處取點，其峰值與圖8相反，SP波模式先到達交界面處引起小的擾動，隨后峰值到達引起大的擾動。

圖7 平面波在雙節(jié)點單元傳播的剛度矩陣全頻率范圍內(nèi)特性(η=0)

圖8 表面源點30 mm處位移場

圖9 交界面水平30 mm處的位移

圖10與圖11分別描述表面和交界面上取距離源點0.2 m處位移場的時間變化。表面距源0.2 m處首先在激發(fā)中心5μs處達到峰值隨后在每隔35μs有一個反射峰，由超聲波在鋁材料中的傳播速度為6 200 m/s，每次經(jīng)過底面反射有一部分波能量被截止單元泄露導(dǎo)致每一次到達上表面檢測點都會衰減。圖11與圖10相比，峰值延遲到達，共同表征波在上層單元往返衰減。

圖10 表面距源點0.2 m處位移場的時間變化

圖11 表面源點0.2 m處位移場的時間變化

計算過程采用的時間采樣頻率為2 048/1 000μs，空間采樣頻率為1 024/1 m，計算時間為(Elapsed time)為 247.188 896 s。

3 結(jié)束語

結(jié)果表明，該種將譜方法與有限元結(jié)合的矩陣構(gòu)造方法推導(dǎo)過程簡潔，可將動態(tài)剛度矩陣的元素隨頻率的變化更直觀地表達出來，對各向同性板狀材料的模擬過程簡潔明了，大幅節(jié)約了計算時間及內(nèi)存，并可有效分析平面應(yīng)力波在層狀介質(zhì)中的傳播。同時，這一過程將整個層作為一個單元，可有效降低整個系統(tǒng)的尺寸。此外，還可考慮從推導(dǎo)過程出發(fā)，改變本構(gòu)方程向橫觀各向同性材料的擴展，亦可考慮加入缺陷作進一步研究。

［1］BREKHOVSKIKH L M.Waves in Layered Media［M］.2nd ed.Russia:Academic Press，1980.

［2］SHEN Zhonghua，XU Baiqiang，NI Xiaowu，et al.Numerical simulation of pulsed laser induced ultrasound in monolayer and double layer materials［J］.Chinese Journal of Lasers，2004，31(10):1275 －1280.

［3］RIZZI SA.A spectral analysis approach to wave propagation in layered solids［D］.USA:Purdue University，1989.

［4］ZIENKIEWICZ O C，TALOR R L.The finite element method for solid and structural mechanics［M］.Oxford:Elsevior Butterworth － Heinemann，2005.

［5］DOYLE R，DOYLE JF.A spectral element approach to wave motion in layered solids［J］.Journal of Vibration and Acoustics，1992(6):569 －577.

［6］孫宏祥，許伯強，徐晨光，等.橫觀各向同性材料中激光超聲譜有限元法數(shù)值模擬［J］.光子學報，2009(5):1041－1046.

［7］YANG T Y.Finite element structural analysis［M］.MC USA:Prentice － Hall，1986.

［8］曹飛，李麗國，余學才.激光超聲無損檢測系統(tǒng)設(shè)計［J］.電子科技，2006(11):64－67.