李曉杰

摘 ?要： 圖像重建算法是電容層析成像系統(tǒng)研究的關(guān)鍵技術(shù)，尋找一種重建圖像速度和重建圖像質(zhì)量都能滿(mǎn)足工業(yè)應(yīng)用要求的圖像重建算法是十分必要的?；谛刨?lài)域方法的共軛梯度算法是在普通共軛梯度算法的基礎(chǔ)上提出的一種新的圖像重建算法，提高了圖像重建的質(zhì)量與速度。

關(guān)鍵字： 電容層析成像; 圖像重建; 共軛梯度法; 信賴(lài)域

中圖分類(lèi)號(hào)： TN919?34; TP301.6 ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）24?0045?02

Study on image reconstruction algorithm of conjugate gradient algorithm based on

trust region technique

LI Xiao?jie

（Network Information Center， Heilongjiang University of Science & Technology， Harbin 150022， China）

Abstract： Image reconstruction algorithm is the key technology of electrical capacitance tomography system research. It is necessary to look for a kind of image reconstruction algorithm which can meet the requirements of industrial application in image reconstruction speed and quality. The conjugate gradient algorithm based on trust region method is a new image reconstruction algorithm proposed on the basis of the general conjugate gradient algorithm. It improved the speed and quality of image reconstruction.

Keywords： electrical capacitance tomography; image reconstruction; conjugate gradient algorithm; trust region

0 ?引 ?言

電容層析成像（Electrical Capacitance Tomography，ECT）技術(shù)是基于電容敏感場(chǎng)特性的一種過(guò)程層析成像技術(shù)。其基本原理是：根據(jù)不同多相介質(zhì)具有不同的介電常數(shù)這一物理特性，通過(guò)電容傳感器陣列形成一個(gè)旋轉(zhuǎn)的空間敏感場(chǎng)，然后從不同方向的觀測(cè)視角對(duì)包含多相介質(zhì)的管道進(jìn)行快速掃描，獲得被測(cè)管道的各相介質(zhì)的介電常數(shù)分布情況。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用一種合適的圖像重建算法，顯示出被測(cè)管道的二維或三維介質(zhì)分布圖像。

電容層析成像技術(shù)不僅在實(shí)驗(yàn)室研究，而且在工業(yè)生產(chǎn)應(yīng)用中，都展示出良好的應(yīng)用前景。目前，電容層析成像技術(shù)被廣泛應(yīng)用于國(guó)內(nèi)外各類(lèi)行業(yè)的工業(yè)生產(chǎn)中，如：不同流型下的空隙率測(cè)量及其流型辨識(shí)、礦石，水泥，谷物，煤粉等的氣力輸送過(guò)程、火焰成像、凍土樣品中的物質(zhì)分布及動(dòng)態(tài)變化過(guò)程可視化等 。

1 ?研究原因分析

電容層析成像技術(shù)的研究，關(guān)鍵在于以下2點(diǎn)：

（1） 獲得更多、更準(zhǔn)確的被測(cè)物場(chǎng)介質(zhì)分布信息;

（2） 尋求一種速度與精度更高的圖像重建算法。

介質(zhì)分布信息的獲取受硬件條件的限制較多，因此，對(duì)圖像重建算法的研究，尋找一種重建圖像速度和重建圖像質(zhì)量都能滿(mǎn)足工業(yè)應(yīng)用要求的圖像重建算法是十分必要的。在圖像重建領(lǐng)域，信賴(lài)域方法是一類(lèi)新穎的研究方向[1]，本文在共軛梯度算法基礎(chǔ)上，提出一種基于信賴(lài)域技巧的共軛梯度算法，提高了成像速度與質(zhì)量。

2 ?算法的提出

2.1 ?共軛梯度算法

共軛梯度（CG）法介于最速下降法與牛頓法之間的一個(gè)方法，最初由Hesteness和Stiefel在求解線性方程組過(guò)程中提出的。由于其具有較好的收斂性和穩(wěn)定性，F(xiàn)letcher和Reevesd等人后來(lái)把該算法用于求解一般目標(biāo)函數(shù)的極小值。

共軛梯度算法求解圖像恢復(fù)問(wèn)題，即求下面的離散化問(wèn)題：

[Kf+n=h] （1）

式中：[K∈Rm2×n2]為一對(duì)稱(chēng)正定矩陣，[f∈Rn2]為待求的輸入，[h∈Rm2]為測(cè)量或觀測(cè)到的輸出。

這里的目的是使：

[n→min] ?（2）

即，極小化目標(biāo)函數(shù)：

[J[f]：=12Kf-h2] （3）

顯然目標(biāo)函數(shù)是二次型，可表達(dá)為：

[J[f]=12fTKTKf-hTKf+12hTh] （4）

其梯度和Hessianz陣可以顯式地計(jì)算為：

[grad（J[f]）=KTKf-KTh，Hess（J[f]）=KTK] （5）

共軛梯度法本身是一種迭代法，同時(shí)也是一種Krylov子空間方法，該算法的優(yōu)點(diǎn)在于，它可以將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為階段性的易于計(jì)算的子問(wèn)題。但是其迭代終止條件是要求梯度足夠小，這樣需要很多次迭代才能夠完成，使得算的解遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離于原問(wèn)題的真實(shí)解。

2.2 ?基于信賴(lài)域法的共軛梯度方法

信賴(lài)域方法是這樣的一類(lèi)方法，它在確保問(wèn)題全局收斂的情況下還要求問(wèn)題在局部具有快速收斂性。信賴(lài)域方法求解式（3），首先需要求解以下的信賴(lài)域子問(wèn)題（TRS）：

[min?（s）=（grad（J[f]），s）+12（Hess（J[f]）s，s），s.t.s≤Δ] （6）

在信賴(lài)域算法的每一次迭代過(guò)程中，都需要精確和非精確地求解子問(wèn)題式（6）來(lái)獲得下一次迭代點(diǎn)的一試探步。取目標(biāo)函數(shù)的下降量和對(duì)逼近模型的預(yù)估下降量的比值r作為檢測(cè)試探步是否值得依賴(lài)的標(biāo)準(zhǔn)。

令[sk]為式（6）的一預(yù)估解，記為：

[Predk=Φk（0）-Φk（sk）=-Φk（sk）] （7）

為逼近模型的預(yù)估下降量;記：

[Aredk=J[fk]-J[fk+sk]] ? （8）

為目標(biāo)函數(shù)的預(yù)估下降量。

則：

[rk=AredkPredk] （9）

用[rk]的大小來(lái)判定是否接受信賴(lài)域試探步以及是否調(diào)整信賴(lài)半徑。對(duì)于二次模型問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)比值[rk≡1]。根據(jù)目標(biāo)泛函的極小化過(guò)程，泛函值[J[fk+sk]]至少不會(huì)比[J[fk]]更差。因此，不管目標(biāo)泛函下降量多少，總是接受試探步[sk]，這樣可以不放棄求得的任何一個(gè)好點(diǎn)。

3 ?數(shù)值測(cè)試

仿真電容層析成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)為半徑200 mm管道型結(jié)構(gòu)，激勵(lì)和檢測(cè)功能由8電極電容傳感器完成，因此可獲得28個(gè)測(cè)量值，利用有限元法將被測(cè)場(chǎng)剖分成512個(gè)單元。設(shè)置4種典型流型分布用于仿真試驗(yàn)：二氣泡、中心流、單氣泡、環(huán)狀流采用共軛梯度法和帶有信賴(lài)域技巧的共軛梯度算法進(jìn)行圖像重建，并在同一條件下，比較兩種算法在成像質(zhì)量和成像速度上效果，得出表1，表2中的測(cè)試數(shù)據(jù)。

表1 圖像誤差 ? ? ?%

表2 成像速度 ? ? ? s

4 ?結(jié) ?語(yǔ)

本文針對(duì)共軛梯度算法提出了一種基于信賴(lài)域技巧的共軛梯度算法，并應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行了算法實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于信賴(lài)域的共軛梯度算法相比共軛梯度算法在成像速度上與成像質(zhì)量上都有了很大的提高，為圖像重建提供了一種有效的更精確的算法。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉海林.一個(gè)新的無(wú)約束最優(yōu)化的共軛梯度算法[J].廣東民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1998（4）：13?16.

[2] YANG Wu?qiang. Design of electrical capacitance tomography sensors [J]. Measurement Science and Technology， 2010， 21（4）： 042001.

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[4] 陳智瑩.電容層析成像算法的研究和在工程中的最新應(yīng)用[D].北京：華北電力大學(xué)，2012.

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[7] 劉靖，姜凡，劉石.非閉合電極電容層析成像傳感器在凍土測(cè)試中的應(yīng)用[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2011，32（2）：363?368.

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[9] HESTENES M R. Iterative method for solving linear equations [J]. JOVA， 1973（1）： 322?330.

[10] 王化祥，朱學(xué)明，張立峰.用于電容層析成像技術(shù)的共軛梯度算法[J].天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，38（1）：1?4.

[11] MARASHDEH Q， WARSITO W. Dual imaging modality of granular flow based on ECT sensors [J]. Granular Matter， 2010， 15（10）： 75?80.

[12] 張菊亮.非線性最優(yōu)化的信賴(lài)域方法[D].北京：中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，2001.

[13] POWELL M J D. Convergence properties of class of minimization algorithms [J]. Nonlinear Programming， ?1975（2）： 1?27.

[14] 王超，錢(qián)相臣，徐明，等.基于LU分解的共軛梯度法單步成像算法[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2007，28（11）：1972?1976.

2.2 ?基于信賴(lài)域法的共軛梯度方法

信賴(lài)域方法是這樣的一類(lèi)方法，它在確保問(wèn)題全局收斂的情況下還要求問(wèn)題在局部具有快速收斂性。信賴(lài)域方法求解式（3），首先需要求解以下的信賴(lài)域子問(wèn)題（TRS）：

[min?（s）=（grad（J[f]），s）+12（Hess（J[f]）s，s），s.t.s≤Δ] （6）

在信賴(lài)域算法的每一次迭代過(guò)程中，都需要精確和非精確地求解子問(wèn)題式（6）來(lái)獲得下一次迭代點(diǎn)的一試探步。取目標(biāo)函數(shù)的下降量和對(duì)逼近模型的預(yù)估下降量的比值r作為檢測(cè)試探步是否值得依賴(lài)的標(biāo)準(zhǔn)。

令[sk]為式（6）的一預(yù)估解，記為：

[Predk=Φk（0）-Φk（sk）=-Φk（sk）] （7）

為逼近模型的預(yù)估下降量;記：

[Aredk=J[fk]-J[fk+sk]] ? （8）

為目標(biāo)函數(shù)的預(yù)估下降量。

則：

[rk=AredkPredk] （9）

用[rk]的大小來(lái)判定是否接受信賴(lài)域試探步以及是否調(diào)整信賴(lài)半徑。對(duì)于二次模型問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)比值[rk≡1]。根據(jù)目標(biāo)泛函的極小化過(guò)程，泛函值[J[fk+sk]]至少不會(huì)比[J[fk]]更差。因此，不管目標(biāo)泛函下降量多少，總是接受試探步[sk]，這樣可以不放棄求得的任何一個(gè)好點(diǎn)。

3 ?數(shù)值測(cè)試

仿真電容層析成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)為半徑200 mm管道型結(jié)構(gòu)，激勵(lì)和檢測(cè)功能由8電極電容傳感器完成，因此可獲得28個(gè)測(cè)量值，利用有限元法將被測(cè)場(chǎng)剖分成512個(gè)單元。設(shè)置4種典型流型分布用于仿真試驗(yàn)：二氣泡、中心流、單氣泡、環(huán)狀流采用共軛梯度法和帶有信賴(lài)域技巧的共軛梯度算法進(jìn)行圖像重建，并在同一條件下，比較兩種算法在成像質(zhì)量和成像速度上效果，得出表1，表2中的測(cè)試數(shù)據(jù)。

表1 圖像誤差 ? ? ?%

表2 成像速度 ? ? ? s

4 ?結(jié) ?語(yǔ)

本文針對(duì)共軛梯度算法提出了一種基于信賴(lài)域技巧的共軛梯度算法，并應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行了算法實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于信賴(lài)域的共軛梯度算法相比共軛梯度算法在成像速度上與成像質(zhì)量上都有了很大的提高，為圖像重建提供了一種有效的更精確的算法。

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2.2 ?基于信賴(lài)域法的共軛梯度方法

信賴(lài)域方法是這樣的一類(lèi)方法，它在確保問(wèn)題全局收斂的情況下還要求問(wèn)題在局部具有快速收斂性。信賴(lài)域方法求解式（3），首先需要求解以下的信賴(lài)域子問(wèn)題（TRS）：

[min?（s）=（grad（J[f]），s）+12（Hess（J[f]）s，s），s.t.s≤Δ] （6）

在信賴(lài)域算法的每一次迭代過(guò)程中，都需要精確和非精確地求解子問(wèn)題式（6）來(lái)獲得下一次迭代點(diǎn)的一試探步。取目標(biāo)函數(shù)的下降量和對(duì)逼近模型的預(yù)估下降量的比值r作為檢測(cè)試探步是否值得依賴(lài)的標(biāo)準(zhǔn)。

令[sk]為式（6）的一預(yù)估解，記為：

[Predk=Φk（0）-Φk（sk）=-Φk（sk）] （7）

為逼近模型的預(yù)估下降量;記：

[Aredk=J[fk]-J[fk+sk]] ? （8）

為目標(biāo)函數(shù)的預(yù)估下降量。

則：

[rk=AredkPredk] （9）

用[rk]的大小來(lái)判定是否接受信賴(lài)域試探步以及是否調(diào)整信賴(lài)半徑。對(duì)于二次模型問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)比值[rk≡1]。根據(jù)目標(biāo)泛函的極小化過(guò)程，泛函值[J[fk+sk]]至少不會(huì)比[J[fk]]更差。因此，不管目標(biāo)泛函下降量多少，總是接受試探步[sk]，這樣可以不放棄求得的任何一個(gè)好點(diǎn)。

3 ?數(shù)值測(cè)試

仿真電容層析成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)為半徑200 mm管道型結(jié)構(gòu)，激勵(lì)和檢測(cè)功能由8電極電容傳感器完成，因此可獲得28個(gè)測(cè)量值，利用有限元法將被測(cè)場(chǎng)剖分成512個(gè)單元。設(shè)置4種典型流型分布用于仿真試驗(yàn)：二氣泡、中心流、單氣泡、環(huán)狀流采用共軛梯度法和帶有信賴(lài)域技巧的共軛梯度算法進(jìn)行圖像重建，并在同一條件下，比較兩種算法在成像質(zhì)量和成像速度上效果，得出表1，表2中的測(cè)試數(shù)據(jù)。

表1 圖像誤差 ? ? ?%

表2 成像速度 ? ? ? s

4 ?結(jié) ?語(yǔ)

本文針對(duì)共軛梯度算法提出了一種基于信賴(lài)域技巧的共軛梯度算法，并應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行了算法實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于信賴(lài)域的共軛梯度算法相比共軛梯度算法在成像速度上與成像質(zhì)量上都有了很大的提高，為圖像重建提供了一種有效的更精確的算法。

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