張 賦，李旭東

(蘭州理工大學(xué) 甘肅省有色金屬新材料省部共建國家重點實驗室，蘭州 730050)

材料的性能不僅依賴于材料的化學(xué)成分，而且在很大程度上取決于材料的微觀組織結(jié)構(gòu)。復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)的計算機模擬與表征已經(jīng)成為微觀組織結(jié)構(gòu)“性能導(dǎo)向型”設(shè)計的重要工具。通過各種算法設(shè)計構(gòu)筑復(fù)合材料的微觀組織結(jié)構(gòu)，提供一個可信賴的“代表性體積單元(RVE)”，對復(fù)合材料細觀乃至微觀尺度的性能預(yù)測、失效行為的推演有著重要意義[1-3]。KUMAR等[4-5]采用Voronoi算法建立的多晶體幾何模型從統(tǒng)計學(xué)意義上模擬了微觀組織結(jié)構(gòu)的任意性，并將其應(yīng)用于細觀力學(xué)分析。此后，AURENHAMMER[6]，LAUTENSACK[7]，F(xiàn)AN等[8]和COSTER等[9]提出了較Voronoi算法更準(zhǔn)確、更具設(shè)計性的Laguerre算法，用于多胞材料、多孔材料微結(jié)構(gòu)的模擬。GHOSH等[10-11]對金屬基顆粒增強復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)進行了表征，并對其力學(xué)性能進行了預(yù)測。在國內(nèi)，LI[12]和李旭東[13-15]以 Voronoi算法為基礎(chǔ)開發(fā)針對二維多晶體基異質(zhì)性材料微觀組織結(jié)構(gòu)的計算機可視化、系統(tǒng)化仿真的軟件ProDesign。但針對三維金屬基復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化、模塊化仿真的工作還尚未形成完整的體系。本文作者采用從統(tǒng)計意義上更加準(zhǔn)確的Laguerre圖構(gòu)造三維多晶體基體，通過定量描述每個第二相組成物幾何與基體組成物幾何之間以及與相鄰第二相組成物幾何之間的空間位置關(guān)系，對不同類型的復(fù)合材料進行相應(yīng)的算法流程設(shè)計，實現(xiàn)復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)的計算機表征與模塊化設(shè)計，用于復(fù)合材料宏/細觀性能響應(yīng)的力學(xué)模型計算。

1 Laguerre圖

Laguerre圖的胞體結(jié)構(gòu)在幾何形貌和拓撲結(jié)構(gòu)上與某些材料微觀組織結(jié)構(gòu)十分相似，通過選定合適的尺度，使得微結(jié)構(gòu)達到統(tǒng)計學(xué)意義上的平均性質(zhì)，可以獲得具有與材料組織、相結(jié)構(gòu)等各種組成物十分近似的材料微觀組織結(jié)構(gòu)的幾何模型。

在d維歐氏空間中，已知點集P={P1(p1，w1)，P2(p2，w2)，…，Pn(pn，wn)}，其中每個點Pi均被賦予一個權(quán)值wi。對于點p?P和Pi∈P，定義L=d(p,pi)2-wi為點p到權(quán)值點Pi的冪距離。將到點Pi的冪距離不大于到其他任意權(quán)值點的冪距離所構(gòu)成的集合稱為點pi關(guān)聯(lián)的Laguerre單胞，其單胞的數(shù)學(xué)定義如下：

由每個權(quán)值點所關(guān)聯(lián)的單胞集合構(gòu)成權(quán)值點集的Laguerre圖。從Laguerre單胞的數(shù)學(xué)定義可以看出：單胞的形成受點集空間位置與權(quán)值分布的共同影響。特別地，若權(quán)值點集中所有點的權(quán)值大小均相等，則Laguerre單胞退化為Voronoi單胞。圖1所示為權(quán)值大小隨機分布的二維Laguerre圖。

圖1 二維隨機Laguerre圖Fig.1 2D random Laguerre diagram

2 組成物取向

含有統(tǒng)一晶體學(xué)取向的區(qū)域被認為是一個獨立的復(fù)合材料組成物[16]。本文作者利用隨機數(shù)產(chǎn)生器在Euler空間里任意取值或按指定規(guī)律(如定向凝固)來模擬組成物的取向分布。

以橢圓短纖維增強的復(fù)合材料為例，其微觀組織結(jié)構(gòu)不僅包含空間分布的任意多面體的晶粒與其晶體學(xué)取向，而且還包含空間分布的橢球形短纖維及其空間取向。對于晶粒的晶體學(xué)取向，采用Euler空間?中的3個區(qū)間角(極角θ∈(0,π)、方位角ψ∈(0,2π)和旋轉(zhuǎn)角φ∈(0,2π))來描述，如圖2(a)所示。對于第i個任意取向的晶粒，局部坐標(biāo)(xi，yi，zi)與參考坐標(biāo)系(x，y，z)的關(guān)系如下：

式中：A=cosθcosψcosφ-sinψsinφ；B=cosθcosψcosφ+cosψsinφ；C=-cosθcosψsinφ-sinψcosφ；D=-cosθsinψsinφ+cosψcosφ。

根據(jù)式(2)和(3)，通過一系列的坐標(biāo)變換，可以用整體坐標(biāo)系下的一組空間坐標(biāo)來描述某一晶粒的取向。

圖2 組成物取向的表征Fig.2 Orientation of composite constituents: (a) Crystal orientation; (b) Fiber orientation

同樣，短纖維被認為是擁有各自空間取向的幾何區(qū)域。對于在Euler空間中相對整體參考坐標(biāo)下的短纖維的空間取向也采用3個區(qū)間角(α，β，γ)來表征，通過坐標(biāo)變化亦可用整體坐標(biāo)系下的一組空間坐標(biāo)來描述，實現(xiàn)增強相取向信息的表征。

3 多晶體集合的計算

多晶體材料微觀組織結(jié)構(gòu)可以采用Laguerre圖的胞體結(jié)構(gòu)來表征，且僅考慮理想晶體的情況，并不涉及晶體缺陷的表征。根據(jù)Laguerre圖的性質(zhì)可知，多晶體材料晶粒的尺寸、形狀及分布規(guī)律取決于形核種子點集，而每個形核種子的特征由點的空間位置和權(quán)值大小共同控制。因此通過對形核種子點集進行控制與設(shè)計，以此構(gòu)造Laguerre多晶體幾何模型，實現(xiàn)對多晶體材料微觀組織結(jié)構(gòu)設(shè)計。

一般采用球填充過程來完成對形核種子點集的設(shè)計。FAN等[8]給出了球填充點集下將Voronoi模型擴展為Laguerre模型的多晶體材料微結(jié)構(gòu)構(gòu)造方法。本研究直接采用Laguerre圖構(gòu)造算法，并結(jié)合球填充過程進行多種設(shè)計以生成不同分布特征的多晶體材料微觀組織結(jié)構(gòu)。

球填充過程是在指定空間按一定體積分?jǐn)?shù)填充球體，使得球體之間互不接觸。將每個球體的球心坐標(biāo)與半徑的平方作為一個權(quán)值點Pi(pi,ri2)。在給定區(qū)域內(nèi)，根據(jù)給定的平均晶粒尺寸及分布參數(shù)，可以計算出形核數(shù)量N、構(gòu)造出形核種子點的權(quán)值分布情況，同時采用球填充過程對形核種子點集進行空間定位，完成對多晶體材料微結(jié)構(gòu)的模型擬合，最后利用Laguerre算法獲得對應(yīng)的胞體幾何結(jié)構(gòu)，并將胞體結(jié)構(gòu)中隨機形狀的P面體代表晶粒，這個P面體中沒有優(yōu)先的晶粒生長方向。圖3(a)和(b)分別展示了形核種子點集按隨機分布與球填充分布所構(gòu)造的多晶體材料微觀組織結(jié)構(gòu)。

對于某些多晶體材料，例如表層晶粒細化的微觀組織結(jié)構(gòu)，其晶粒尺寸沿某一方向為梯度分布。要產(chǎn)生這一類具有梯度分布的多晶體材料微觀組織結(jié)構(gòu)，可以利用球填充過程在給定區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生兩類具有不同的平均晶粒尺寸、任意分布的形核集合(或有預(yù)定分布的形核)。之后，將兩組原始的形核集合合并成為一組初始形核，以此構(gòu)造生成Laguerre圖。圖3(c)所示為計算機模擬的多晶體表層具有細化晶粒的微觀組織結(jié)構(gòu)樣品。

在傳統(tǒng)的晶粒模型中，晶界在二維空間里被認為是一條直線，而在三維空間里被認為是一個平面。但是，當(dāng)晶粒尺寸減小到一定程度時，晶界不能夠再被處理成直線或平面，因此，晶粒尺寸的大幅下降后必須要考慮晶界的物理與幾何特征及其性能。為了反映由于晶粒尺寸超細化而使晶界的幾何作用相對顯著的影響，通過將Laguerre晶胞的頂點坐標(biāo)按照晶界的平均尺寸比例進行空間縮放變換，從而得到細化晶粒的幾何形狀與晶界的幾何形狀，如圖3(d)所示。所有這些被縮小比例的Laguerre晶胞共同組成一個超細晶粒組織結(jié)構(gòu)。經(jīng)過這種處理以后的晶粒平均尺寸會有所縮小，因此，需要按晶界的縮放比例對初始晶粒的平均尺寸進行放大，再進行上述模擬過程，此時由超細化晶粒組成的實際多晶體微觀組織結(jié)構(gòu)在晶粒尺寸上的偏差所造成的影響已不再顯著。

圖3 多晶體材料微的結(jié)構(gòu)構(gòu)造Fig.3 Microstructure construction of polycrystalline material: (a) Random distribution; (b) Equiaxed grain;(c) Surface grain refinement; (d) Nanocrystalline; (e) Two-phase distribution

對于多晶體材料微結(jié)構(gòu)中組成物含有多相的情況，如納米復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)[17]，每一相組成物的晶粒平均粒徑、分布特征、晶體學(xué)取向等不相同，其差異程度將影響材料的性能指標(biāo)，因此需要準(zhǔn)確地模擬每一相組成物的特征。類似于模擬表層細化的多晶體材料微結(jié)構(gòu)，構(gòu)造多類含有指定分布的形核集合，以此進行球填充過程下的Laguerre晶胞構(gòu)造；同時，對單胞進行跟蹤識別，獲得每一類形核對應(yīng)產(chǎn)生的晶粒，作為多相多晶體材料微結(jié)構(gòu)組成物的一相。圖3(e)展示了一個多相多晶體材料微觀組織結(jié)構(gòu)的幾何模型。

4 第二相組成物的表征

本文作者對第二相組成物的最終形貌進行表征，因此并不涉及第二相的生長過程。同時，并未從幾何角度來定量表征界面，而是在構(gòu)造第二相組成物時，將第二相組成物與基體之間的界面簡化為與基體材料完美結(jié)合的一種簡單邊界，這樣就可以表征由于第二相組成物分布的任意性而引起的幾何效應(yīng)與取向效應(yīng)。為了可視化展示，微觀組織結(jié)構(gòu)中組成物的相對尺寸都進行調(diào)整。以下對復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)仿真的基本模塊進行闡述，并重點討論利用基本設(shè)計模塊構(gòu)筑更加復(fù)雜的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)。

圖4 各類復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)Fig.4 Microstructure construction of different types composite material: (a) Short fiber reinforced; (b) Whisker reinforced;(c) Hybrid reinforced; (d) Appointed orientation distribution; (e) Continuous long fiber reinforced; (f) Reinforcement on grain boundary

4.1 隨機分布

對于第二相組成物隨機分散在基體材料中的情況，這里以短纖維增強物為例來說明。一個短纖維分布系統(tǒng)不僅取決于短纖維的體積分?jǐn)?shù)，而且取決于短纖維與短纖維之間的空間距離，同時還需考慮短纖維的取向分布規(guī)律。短纖維的體積分?jǐn)?shù)與短纖維之間的空間距離將共同控制短纖維的稀疏或密集程度，而短纖維之間的空間距離將決定短纖維是否橋接。如果在計算機產(chǎn)生的復(fù)合材料樣品中不允許短纖維橋接，則每個短纖維必須被放置在給定的區(qū)域內(nèi)，并且短纖維之間的距離一定要大于預(yù)先設(shè)定的最小距離容限。

在三維空間中短纖維可以由橢球體代表。在給定區(qū)域內(nèi)運用偽隨機算法任意布置短纖維，不僅要保證全部的短纖維占據(jù)所給定的體積分?jǐn)?shù)，而且要保證短纖維之間的空間位置關(guān)系。從技術(shù)角度看，采用基于Monte-Carlo迭代法的計算機模擬程序，可以使計算機產(chǎn)生的短纖維分布(包括纖維長度和直徑分布，數(shù)量密度，體積分?jǐn)?shù)和短纖維的空間排布)與一個真實短纖維增強的復(fù)合材料中的增強物分布等效。圖4(a)所示為一個典型的短纖維密集分布的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)模塊。

在一個真實的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)內(nèi)，增強物的尺寸和形狀一般都是不規(guī)則的，且增強物的取向也不同。為了體現(xiàn)這種不規(guī)則現(xiàn)象對復(fù)合材料性能的影響，就要構(gòu)筑一個由不同尺寸、不同相、不同取向分布增強物的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)模塊。圖4(b)展示了晶須增強的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)模塊。圖4(c)展示由3種不同相增強物增強的復(fù)雜型復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)模塊。圖4(d)展示了短纖維增強物選擇性分布的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)模塊。

在工程上通常應(yīng)用由交錯型布置的纖維增強的復(fù)合材料。交錯型纖維增強的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)模塊可以通過取消限制相鄰纖維之間的最短距離來獲得。圖4(e)所示為上面所說的這樣一個微觀組織結(jié)構(gòu)模塊，其分布的短纖維出現(xiàn)了拼接。這種微觀組織結(jié)構(gòu)更為符合實際的復(fù)合材料。對于某些復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)，增強物只能分布在晶界上，模擬這種結(jié)構(gòu)需要為Laguerre多面體的每個面確定表達式，以此來對沿多面體邊界呈任意分布的每個顆粒進行定位。圖4(f)所示為短纖維分布在晶界上的情況。

4.2 梯度及層狀結(jié)構(gòu)

模擬增強物在基體材料中按梯度性分布所采用的方法是將基體材料所在區(qū)域分割為幾個子區(qū)域，再將具有任意性或優(yōu)先性取向的增強物分布在各個子區(qū)域中，并保證所有子區(qū)域中分布的增強物的數(shù)量總和與預(yù)先確定的增強物的體積分?jǐn)?shù)相當(dāng)。圖5(a)給出了具有梯度分布的短纖維增強復(fù)合材料的計算機樣品。

層狀復(fù)合材料的微觀組織結(jié)構(gòu)一般是比較復(fù)雜的。采用計算機構(gòu)筑層狀復(fù)合材料的微觀組織結(jié)構(gòu)的方法與構(gòu)筑梯度性分布復(fù)合材料的方法類似。本研究考慮復(fù)合材料中兩類典型呈層狀排列的微觀組織結(jié)構(gòu)。第一類是不同類型的增強物以分層分布于基體材料中的微觀組織結(jié)構(gòu)內(nèi)；第二類是“三明治”結(jié)構(gòu)。圖5(b)所示為一個示意型的增強物以分層分布于基體材料內(nèi)的微觀組織結(jié)構(gòu)，3類不同類型的增強物分層分布于基體材料微觀組織結(jié)構(gòu)的不同區(qū)域。圖5(c)所示為一個示意型的“三明治”結(jié)構(gòu)，這類復(fù)合材料的微觀組織結(jié)構(gòu)可以看成是不同類型的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)的復(fù)合。

4.3 非均勻分布

事實上對于一個實際的顆粒(或短纖維)增強復(fù)合材料來說，增強物會在微觀組織結(jié)構(gòu)內(nèi)呈極不規(guī)則的分布，然而顆粒既不會按一定的序列分布，也不會按絕對任意的方式分布。這種增強物的不均勻分布可能存在于工業(yè)生產(chǎn)的復(fù)合材料中。在一個實際復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)中，將出現(xiàn)增強物聚集區(qū)域與增強物稀疏區(qū)域，這將影響復(fù)合材料的性能，并使不同的樣品具有不同的性能。其次，如圖6(a)所示，具有塊狀增強物的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)也呈現(xiàn)出增強物聚集區(qū)與增強物稀疏區(qū)。

對于增強物聚集區(qū)，本研究采用的模擬流程是采用任意分布的“Laguerre窗口”技術(shù)來實現(xiàn)的。首先在給定區(qū)域內(nèi)根據(jù)多晶體材料的平均晶粒尺寸及分布構(gòu)造出基體的Laguerre晶胞。同時，在此區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生第二組Laguerre圖形，該圖形將此區(qū)域劃分為“Laguerre窗口”。“Laguerre窗口”的平均尺寸應(yīng)該足夠大，以便使每一個增強物聚團區(qū)可以被包含在“Laguerre窗口”內(nèi)。將第二個Laguerre圖形中隨機選定一定數(shù)量的窗口，并將給定尺寸的增強物分布于其中，以形成若干個團簇，從而模擬位置和形狀都不規(guī)則的團簇對材料性能所產(chǎn)生的效應(yīng)。依據(jù)一個給定的窗口內(nèi)增強物在當(dāng)?shù)氐捏w積分?jǐn)?shù)，可以計算出分布在每個團簇中的增強物的數(shù)量。需要明確的是，不僅每個窗口內(nèi)增強物在局部范圍內(nèi)的體積分?jǐn)?shù)不同，而且單個“Laguerre窗口”內(nèi)組成團簇增強物的數(shù)量既要與每個窗口范圍內(nèi)當(dāng)?shù)氐捏w積分?jǐn)?shù)相一致，又不能超出預(yù)先給定的模塊內(nèi)增強物總的體積分?jǐn)?shù)。分散分布、沒有形成團簇的增強物以統(tǒng)一的當(dāng)?shù)伢w積分?jǐn)?shù)分布于其余的“Laguerre窗口”內(nèi)，以達到模塊內(nèi)所給定的增強物總的體積分?jǐn)?shù)。統(tǒng)一的當(dāng)?shù)伢w積分?jǐn)?shù)可以用下式表示：

圖5 復(fù)合材料的層狀及復(fù)雜型微觀組織結(jié)構(gòu)Fig.5 Microstructure construction of graded and complex composite material: (a) Graded distribution; (b) Layering distribution; (c)Sandwich structure

圖6 塊體增強及纖維團簇分布的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)Fig.6 Microstructure construction of composite material with block enhanced (a) and reinforcement clusters distribution (b)

式中：VD表示模塊體積；VA代表已經(jīng)產(chǎn)生的增強物團簇所占的總體積；VDf代表給定的增強物在模塊中所占據(jù)的總的體積分?jǐn)?shù)；VfA表示形成團簇的增強物所占據(jù)的體積分?jǐn)?shù)；而VfU表示分散分布的、未形成團簇的增強物在其余的“Laguerre窗口”內(nèi)所應(yīng)有、統(tǒng)一的體積分?jǐn)?shù)。圖6(b)所示為運用“Laguerre窗口”技術(shù)生成的纖維增強物團聚分布的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)的計算機樣品。

5 仿真軟件

在實現(xiàn)金屬基復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法的基礎(chǔ)上，本研究開發(fā)了相應(yīng)的仿真軟件 VirtualTPS，旨在搭建“材料微結(jié)構(gòu)－可視化演示－力學(xué)建?！敝g“溝通”的橋梁，為金屬基復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)的可視化設(shè)計、結(jié)構(gòu)－性能關(guān)系研究提供基礎(chǔ)性的仿真工具。

仿真軟件VirtualTPS采用Python語言將Laguerre圖算法、球填充算法、Monto-carlo算法等內(nèi)核代碼進行集成，同時結(jié)合PyOpenGL編程，用于仿真結(jié)果的可視化顯示，并利用wxPython模塊開發(fā)相應(yīng)的圖形用戶界面（GUI），為用戶提供一個簡潔、友好的交互界面。 軟件主要實現(xiàn)了以下幾個模塊的功能：多晶體材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計與構(gòu)造、第二相組成物構(gòu)造、取向分布生成、仿真結(jié)果可視化。

6 結(jié)論

1) 軟件VisualTPS以Laguerre圖算法為基礎(chǔ)，采用不同的設(shè)計流程構(gòu)造出多種不同類型的多晶體材料微觀組織結(jié)構(gòu)，如等軸晶材料、表面細化材料、納米晶體材料、多相多晶體材料等，并以此作為復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)中的基體相。對于增強相的表征，軟件結(jié)合 Monto-Carlo算法設(shè)計，定量描述組成物之間的空間位置關(guān)系。在完成復(fù)合材料組成物幾何結(jié)構(gòu)的模擬之后，軟件引入晶粒及增強物取向的各向異性行為，實現(xiàn)對復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)幾何信息、織構(gòu)信息的完整表征。

2) 在軟件基本模塊設(shè)計中，采用子區(qū)域分割法及“Laguerre窗口”技術(shù)，可用于模擬塊體增強復(fù)合材料、梯度性復(fù)合材料、層狀復(fù)合材料的微觀組織結(jié)構(gòu)，也可以用于表征增強物團聚分布的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)。同時，利用模塊組合的手段，還可以構(gòu)造出更加復(fù)雜的、多種多樣的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)。

3) 運用軟件所構(gòu)筑的復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)中組成物的幾何形狀、尺寸大小、幾何分布形態(tài)、分布點、增強(韌)體的體積分?jǐn)?shù)、取向分布等均可按照設(shè)計要求做任意調(diào)整、隨意組合，以滿足實際材料微觀組織結(jié)構(gòu)的特征要求，提高了仿真的準(zhǔn)確性，對復(fù)合材料微觀組織結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)計算與失效分析起到至關(guān)重要的作用。

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