何立恒，鮑其勝，王 慶

(1.南京大學(xué)地理與海洋科學(xué)學(xué)院，江蘇南京210046;2.南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇南京210037;3.南京市測繪勘察研究院有限公司，江蘇南京210019)

一、引 言

在地理空間信息領(lǐng)域，為了獲得空間信息，需要實(shí)測空間數(shù)據(jù)，而實(shí)測的空間數(shù)據(jù)往往是離散點(diǎn)的形式，或者是分區(qū)數(shù)據(jù)的形式［1］，這些實(shí)測的空間數(shù)據(jù)集被稱為已知的空間樣本，實(shí)測的點(diǎn)則被稱為已知樣本點(diǎn)。即使實(shí)測空間數(shù)據(jù)達(dá)到相當(dāng)?shù)拿芏?，也不足以表示?fù)雜的地理空間形態(tài)，亦即常規(guī)方法無法對地理空間中所有點(diǎn)進(jìn)行觀測，因此需要通過空間內(nèi)插來增補(bǔ)表達(dá)地理空間的空間數(shù)據(jù)。

空間數(shù)據(jù)內(nèi)插是用實(shí)測的空間數(shù)據(jù)來估算(預(yù)測)未知空間數(shù)值的過程［2］。根據(jù)已知的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)或已知的分區(qū)數(shù)據(jù)來估計(jì)(推算)任意點(diǎn)或區(qū)域數(shù)據(jù)的方法稱為空間內(nèi)插，前者稱為點(diǎn)內(nèi)插，后者稱為面內(nèi)插［3］。通過內(nèi)插可以生成或補(bǔ)充已知數(shù)據(jù)的不足，廣泛應(yīng)用于等值線制作、高程模型建立、數(shù)據(jù)格網(wǎng)化和地理區(qū)域空間分析與比較研究等。

1970年，美國地理學(xué)家W.R.Tobler提出地理學(xué)第一定律，指出“任何事物都是與其他事物相關(guān)的，但是距離近的事物比距離遠(yuǎn)的事物相關(guān)性強(qiáng)”，這也是一切空間內(nèi)插方法的依據(jù)［4］?？臻g內(nèi)插方法眾多，各方法又有其本身的諸多前提、參數(shù)、適用范圍等，但從本質(zhì)上說，內(nèi)插均遵循的是臨近點(diǎn)之間具有相似性這一原則［5］。就目前的研究而言，大多數(shù)的內(nèi)插是根據(jù)周圍的已知數(shù)據(jù)，從這些已知數(shù)據(jù)推求一個函數(shù)關(guān)系式，使該關(guān)系式最好地逼近這些已知的空間數(shù)據(jù)，并能根據(jù)該函數(shù)關(guān)系式推求出區(qū)域范圍內(nèi)其他任意點(diǎn)或任意分區(qū)的值［6］。通常被熟知和利用得較多的就是點(diǎn)內(nèi)插。

二、反距離加權(quán)法及存在的問題

1.反距離加權(quán)平均算法介紹

在空間點(diǎn)內(nèi)插時(shí)，反距離加權(quán)插值(inverse distance weighting，IDW)具有計(jì)算相對簡單、操作便利等特點(diǎn)，是常用的幾何內(nèi)插方法之一。該方法認(rèn)為與內(nèi)插點(diǎn)距離最近的若干個已知樣本點(diǎn)對內(nèi)插點(diǎn)值的貢獻(xiàn)最大，其貢獻(xiàn)大小與距離成反比［1-8］。其數(shù)學(xué)理論是加權(quán)平均，即將已知樣本點(diǎn)各數(shù)值乘以相應(yīng)的單位數(shù)(權(quán)數(shù))，然后加總求和得到總體值，再除以單位數(shù)之和。假設(shè)xi為已知樣本點(diǎn)，wi為已知樣本點(diǎn)對應(yīng)的權(quán)數(shù)，y為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(即預(yù)測值或內(nèi)插值)，則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式為

反距離加權(quán)法中的權(quán)數(shù)wi由式(2)來確定，為

式中，PDi為內(nèi)插點(diǎn)與已知樣本點(diǎn)之間的距離;u為距離PDi的冪。

由式(1)和式(2)可得反距離加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式為

反距離加權(quán)法中，需要考慮距離的冪和鄰域搜索范圍兩個影響因素［7］。Husar等［9］的研究結(jié)果表明，冪越高，內(nèi)插結(jié)果越具有平滑的效果。u即為控制參數(shù)，u值越大，權(quán)重隨距離增大衰減得越快;反之，u越小，權(quán)重隨距離增大衰減得越慢，一般u取1～3［3］。同時(shí)，在給定鄰域搜索范圍后，可利用的已知樣本點(diǎn)就具有確定性。從內(nèi)插方法的誤差公式可明顯得出，已知數(shù)據(jù)的間距大小是影響內(nèi)插精度的最重要因素，間距越小，精度越高［10］。

2.反距離加權(quán)平均算法存在的問題

假定在內(nèi)插點(diǎn)所用的已知樣本點(diǎn)中，其中只有一個點(diǎn)距離內(nèi)插點(diǎn)很近，其他很多已知樣本點(diǎn)距離內(nèi)插點(diǎn)較遠(yuǎn)，但這些較遠(yuǎn)的已知樣本點(diǎn)差不多都在同一位置(也可認(rèn)為是重復(fù)點(diǎn))。這種情形運(yùn)用反距離加權(quán)法將導(dǎo)致計(jì)算的內(nèi)插值不接近距離近點(diǎn)值。因此，探索新的加權(quán)因子，提高地理信息空間模擬的逼真性和合理性是非常必要的。

如圖1所示，假定已知樣本點(diǎn)A與內(nèi)插點(diǎn)P的距離為1個單位，點(diǎn)值為2.00，另10個已知樣本點(diǎn)B1、B2、…、B10與內(nèi)插點(diǎn) P 的距離為10個單位，點(diǎn)值均為20.00。B系列點(diǎn)是彼此很近的點(diǎn)或者就是重復(fù)點(diǎn)，為了更好地反映重復(fù)點(diǎn)的影響，這里取冪值u為1(以下計(jì)算均取冪值u為1)，依反距離加權(quán)算法，利用式(3)計(jì)算P點(diǎn)的內(nèi)插點(diǎn)值為=11.00，此值相對靠近較遠(yuǎn)的B系列點(diǎn)的值，不接近距離近點(diǎn)A的值。

圖1 內(nèi)插點(diǎn)位圖1

實(shí)際上，由于點(diǎn)值為20.00的點(diǎn)基本在空間同一位置，相當(dāng)于重復(fù)點(diǎn)或者就是重復(fù)點(diǎn)，在實(shí)際內(nèi)插作業(yè)中所發(fā)揮的作用應(yīng)類同于一個點(diǎn)，則此時(shí)內(nèi)插點(diǎn)P的值應(yīng)為3.64，此內(nèi)插值接近較近點(diǎn)A點(diǎn)值。

探索既考慮已知樣本點(diǎn)與內(nèi)插點(diǎn)之間的距離，又考慮已知樣本點(diǎn)在內(nèi)插點(diǎn)周邊的方位分布和密度的加權(quán)因子，將解決上述問題。

三、反距離夾角加權(quán)算法

在土方工程量計(jì)算的野外數(shù)據(jù)采集時(shí)，地形規(guī)則的地區(qū)，采點(diǎn)相對稀疏，而地形變化復(fù)雜的地區(qū)，點(diǎn)位采集相對密集。除了距離這個因素影響內(nèi)插點(diǎn)外，再引入夾角作為定權(quán)要素，提出反距離夾角加權(quán)算法，可以解決已知樣本點(diǎn)在內(nèi)插點(diǎn)全圓方位上分布不均及已知樣本點(diǎn)疏密不勻?qū)?nèi)插值的影響。

距離定權(quán)方式不變，夾角則選擇以內(nèi)插點(diǎn)為頂點(diǎn)，內(nèi)插點(diǎn)與所有已知樣本點(diǎn)所構(gòu)成的最小角為其權(quán)值。圖1 中，以P 點(diǎn)為頂點(diǎn)，P 點(diǎn)與B1、B2、…、B10這10 個點(diǎn)中任意兩點(diǎn)所構(gòu)成的夾角顯然比P點(diǎn)與B1、B2、…、B10中任意一點(diǎn)和A點(diǎn)所構(gòu)成的夾角要小得多。引入距離和夾角作為定權(quán)因子，樣本點(diǎn)的權(quán)值計(jì)算公式為

式中，pαi為夾角權(quán)因子，取內(nèi)插點(diǎn)與已知樣本點(diǎn)和其余已知樣本點(diǎn)中的最小夾角;pDi為距離權(quán)因子，取內(nèi)插點(diǎn)到已知樣本點(diǎn)的距離。

由式(1)和式(4)得反距離夾角加權(quán)平均數(shù)計(jì)算公式為

假定的距離值及樣本點(diǎn)的點(diǎn)值不變，設(shè)P點(diǎn)與A點(diǎn)和B1～B10點(diǎn)所構(gòu)成夾角的最小角為120°，P點(diǎn)與B1、B2、…、B10中任意二點(diǎn)構(gòu)成的最小夾角為0.5°，代入式(5)，可得利用反距離夾角加權(quán)法計(jì)算內(nèi)插點(diǎn)的點(diǎn)值約為2.07。

此值更接近較近點(diǎn)A的值，減弱甚至消除已知樣本點(diǎn)密度不均和在內(nèi)插點(diǎn)全圓方位分布不勻?qū)?nèi)插值的影響。

四、內(nèi)插過程及實(shí)例比較分析

1.內(nèi)插過程

反距離夾角加權(quán)算法進(jìn)行幾何內(nèi)插的步驟如下:

1)設(shè)計(jì)內(nèi)插規(guī)則，確定內(nèi)插點(diǎn)的位置。在數(shù)據(jù)內(nèi)插處理中，一般是先設(shè)計(jì)內(nèi)插規(guī)則，內(nèi)插規(guī)則確定了內(nèi)插點(diǎn)的位置。DEM構(gòu)建、數(shù)據(jù)的格網(wǎng)化、圖像變換處理等都是先設(shè)計(jì)內(nèi)插規(guī)則。圖2即為規(guī)則格網(wǎng)DEM矢量數(shù)據(jù)內(nèi)插圖，離散點(diǎn)為已知樣本點(diǎn)，方格頂點(diǎn)的值需內(nèi)插得出。

圖2 規(guī)則DEM內(nèi)插格網(wǎng)點(diǎn)及已知樣本點(diǎn)值圖

2)根據(jù)內(nèi)插點(diǎn)的數(shù)據(jù)特征，選定與內(nèi)插點(diǎn)具有相同數(shù)據(jù)特征的可利用已知樣本點(diǎn)，圖2中所有離散點(diǎn)即為可利用已知樣本點(diǎn)。

3)在已知樣本點(diǎn)中選取某一內(nèi)插點(diǎn)的可用點(diǎn)集S，已知樣本點(diǎn)的選取可以根據(jù)距離和數(shù)量等因素來確定，選取的原則有兩個方面:一是已知樣本點(diǎn)的位置相對內(nèi)插點(diǎn)應(yīng)盡可能均勻分布;二是所選取的參與計(jì)算內(nèi)插值的已知樣本點(diǎn)數(shù)目應(yīng)該適當(dāng)。一般是以內(nèi)插點(diǎn)為圓心，給定搜索半徑，在搜索半徑內(nèi)找已知樣本中的該內(nèi)插點(diǎn)的可用點(diǎn)集S，總數(shù)為N;若不夠點(diǎn)數(shù)，便加大搜索半徑，直至搜索半徑上限或顯示已知樣本點(diǎn)不夠。若是規(guī)則內(nèi)插，搜索半徑一般為規(guī)則內(nèi)插點(diǎn)間距的1～2倍，N≥3。

4)在S中選取任意已知樣本點(diǎn)Ni，計(jì)算此內(nèi)插點(diǎn)與已知樣本點(diǎn)Ni之間的距離Di，計(jì)算此內(nèi)插點(diǎn)與Ni和S中其余已知樣本N-1個點(diǎn)的夾角，在N-1個夾角值中篩選出最小值得αi。若出現(xiàn)樣本點(diǎn)重合或在同一方向線上，此夾角值為零。為了充分利用所有的樣本點(diǎn)，避免夾角權(quán)值為零而影響Wi，可以將αi給定一微小值，如10-6。

5)重復(fù)步驟4)，分別求此內(nèi)插點(diǎn)與點(diǎn)集S中其余N-1個已知樣本點(diǎn)間的距離D和最小夾角α。

6)利用式(5)計(jì)算內(nèi)插點(diǎn)的內(nèi)插值。

7)重復(fù)步驟3)—步驟6)，直至所有內(nèi)插點(diǎn)的內(nèi)插值計(jì)算結(jié)束。

2.實(shí)例比較及分析

用不同的內(nèi)插方法對圖1和圖3—圖7進(jìn)行內(nèi)插值計(jì)算。假設(shè)圖中都只有一個點(diǎn)值為2.00的已知樣本點(diǎn)A，并與內(nèi)插點(diǎn)的距離都為1;其他已知樣本點(diǎn)B1—B10的值均為20.00，并與內(nèi)插點(diǎn)的距離為10或5;樣本點(diǎn)值的單位可以為米或其他，各方法計(jì)算出的內(nèi)插值的單位與樣本點(diǎn)值的單位相同;距離和角度的單位可以是任意長度單位和角度單位。計(jì)算結(jié)果見表1。

圖3 內(nèi)插點(diǎn)位圖3

圖4 內(nèi)插點(diǎn)位圖4

圖5 內(nèi)插點(diǎn)位圖5

圖6 內(nèi)插點(diǎn)位圖6

圖7 內(nèi)插點(diǎn)位圖7

在內(nèi)插理論中，當(dāng)內(nèi)插點(diǎn)正好位于已知樣本點(diǎn)位置時(shí)，可認(rèn)為內(nèi)插特征值就是該已知樣本點(diǎn)值，亦即此點(diǎn)不需要內(nèi)插。設(shè)計(jì)實(shí)例用反距離夾角加權(quán)法進(jìn)行內(nèi)插時(shí)，充分考慮到內(nèi)插點(diǎn)P接近已知樣本點(diǎn)A，這樣，可假定內(nèi)插真值接近A點(diǎn)值。從表1可以看出，相對于算術(shù)平均值法和反距離加權(quán)法，反距離夾角加權(quán)法內(nèi)插結(jié)果波動范圍小，也更接近假定內(nèi)插真值，而鄰近點(diǎn)值法的值只跟最近點(diǎn)值有關(guān)，無論其他樣本點(diǎn)怎樣變化。當(dāng)已知樣本點(diǎn)少于3個或在全圓方位上分布均勻時(shí)，反距離夾角加權(quán)法和反距離加權(quán)法推求的值是相等的。

表1 不同內(nèi)插算法計(jì)算結(jié)果表

五、結(jié)束語

空間內(nèi)插是用已知樣本點(diǎn)的數(shù)據(jù)來估算內(nèi)插點(diǎn)的數(shù)值過程，把離散數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成規(guī)則數(shù)據(jù)或增加內(nèi)插數(shù)據(jù)。從反距離夾角加權(quán)算法應(yīng)用在地理信息空間數(shù)據(jù)內(nèi)插中可以看出，當(dāng)已知樣本點(diǎn)只有一個時(shí)，該算法相當(dāng)于最鄰近值法;當(dāng)只有兩個已知樣本點(diǎn)，或者多于兩個已知樣本點(diǎn)并且點(diǎn)位在全圓方位上分布均勻時(shí)，夾角權(quán)相等，該算法相當(dāng)于反距離加權(quán)法;多于兩個已知樣本點(diǎn)，但已知樣本點(diǎn)密度和方位分布不均，反距離夾角加權(quán)法能減弱甚至消除其影響，保證內(nèi)插值接近近點(diǎn)值。可以說，反距離夾角加權(quán)法是鄰近值法和反距離加權(quán)法的改進(jìn)和提伸，提出的距離加夾角的定權(quán)方法能有效減弱甚至消除在內(nèi)插過程中所選定的已知樣本點(diǎn)在內(nèi)插點(diǎn)全圓方位上分布不均及已知樣本點(diǎn)疏密不勻?qū)?nèi)插值的影響?；诩訖?quán)平均理論，提出的反距離夾角加權(quán)算法將廣泛應(yīng)用在建立DEM及圖像處理等地理空間信息數(shù)據(jù)內(nèi)插中。

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