李?lèi)?ài)國(guó)，胡圣武

(1.長(zhǎng)安大學(xué)地測(cè)學(xué)院，陜西西安710054;2.河南理工大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，河南焦作454000)

一、引 言

附有限制條件的間接平差模型是5種平差模型之一，對(duì)其計(jì)算公式有嚴(yán)密的推導(dǎo)［1-3］。不過(guò)附有限制條件的間接平差的公式相對(duì)于條件平差、間接平差等平差模型而言，其計(jì)算公式比較復(fù)雜，不易掌握。因此，應(yīng)探討用一種比較簡(jiǎn)單的方法來(lái)求解。

二、現(xiàn)有附有限制條件的間接平差的求解方法的簡(jiǎn)述

附有限制條件的間接平差的數(shù)學(xué)模型為

按照最小二乘準(zhǔn)則，要求VTPV=min，可求得如下公式

這就是附有限制條件的間接平差的主要計(jì)算公式，具體推導(dǎo)可參閱相關(guān)的教材［1，4-6］。

三、新的附有限制條件的間接平差的方法的求解原理

新方法的實(shí)質(zhì)就是消除限制條件方程，把附有限制條件的間接平差模型轉(zhuǎn)換為間接平差來(lái)求解，主要有3個(gè)步驟。

1.確定獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)，并把非獨(dú)立參數(shù)表達(dá)成獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)

如果限制條件方程是非線性方程，則把非獨(dú)立參數(shù)化為獨(dú)立參數(shù)的線性表達(dá)。

2.消除限制條件

把非獨(dú)立參數(shù)代入條件方程中，則限制條件就不存在了，達(dá)到了消除限制條件的目的，從而得到了新的條件方程

3.間接平差求解

消除限制條件后，則附有限制條件的間接平差模型就轉(zhuǎn)化為間接平差模型，按間接平差模型來(lái)求解，從而達(dá)到計(jì)算簡(jiǎn)單的目的。

四、實(shí)例分析

下面通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明本方法的結(jié)算過(guò)程。

如圖1所示，將一個(gè)大矩形分為兩個(gè)小矩形(設(shè)各角度均為90°)。下列觀測(cè)值等權(quán)且相互獨(dú)立:L1=2.00 m，L2=3.00m，L3=1.00m，L4=4.10 m，L5=1.94 m。若有強(qiáng)制附合條件S1=3S2，試計(jì)算面積S1及S2的最小二乘估值及其權(quán)倒數(shù)。

圖1 矩形示意圖

解:本題由于有強(qiáng)制附合條件，則可選用附有限制條件的間接平差模型，設(shè)L1、L2、L3的平差值為參數(shù)并取

由于必要觀測(cè)數(shù)t=2，所選參數(shù)u=3，參數(shù)之間不獨(dú)立，非獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)為1，觀測(cè)數(shù)為5，則誤差方程數(shù)c=5，限制條件方程個(gè)數(shù)s=1。

列出誤差方程和限制條件方程為

1)確定獨(dú)立參數(shù)，并把非獨(dú)立參數(shù)表示成獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)。由于所選參數(shù)為3個(gè)，參數(shù)之間相關(guān)，選^x1和^x3作為獨(dú)立參數(shù)，把^x2表示成^x1和^x3的函數(shù)，根據(jù)式(10)可得

2)消除限制條件。將式(11)代入式(9)可得

3)按間接平差求解，根據(jù)式(12)可得

由于觀測(cè)值是等權(quán)且獨(dú)立，則其隨機(jī)模型為

則有

根據(jù)式(13)和式(14)，按間接平差可求得

根據(jù)式(11)可得

根據(jù)式(13)可得

因此有

由于

得

因此有

同理得

以上計(jì)算就是用新方法的計(jì)算過(guò)程，下面就本例用附有限制條件的間接平差模型進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)附有限制條件的間接平差模型，可以列出式(9)和式(10)的條件方程和限制條件方程。隨機(jī)模型與上述一樣。

則有

根據(jù)式(2)可得

根據(jù)式(3)可得

根據(jù)式(7)可得

可見(jiàn)，兩種方法求算的結(jié)果完全一致，說(shuō)明兩種方法是等價(jià)的，也證明了所提出方法的正確性和科學(xué)性。

五、結(jié)束語(yǔ)

附有限制條件的間接平差的計(jì)算公式及公式的推導(dǎo)都比較繁瑣，這給平差的學(xué)習(xí)帶來(lái)不利的影響，完全可以用間接平差取代。目前有很多學(xué)者在其著作中已經(jīng)把附有限制條件的間接平差不作重點(diǎn)介紹是科學(xué)的和合理的［7-10］。

［1］胡圣武，肖本林.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2012.

［2］武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院測(cè)量平差學(xué)科組.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］.2版.武漢:武漢大學(xué)出版社，2009.

［3］王穗輝.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］.上海:同濟(jì)大學(xué)出版社，2010.

［4］金日守，戴華陽(yáng).誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］.北京:測(cè)繪出版社，2011.

［5］隋立芬，宋力杰，柴洪洲.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］.北京:測(cè)繪出版社，2010.

［6］葛永慧，夏春林，魏峰遠(yuǎn)，等.測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］.北京:煤炭工業(yè)出版社，2007.

［7］陶本藻，邱衛(wèi)寧.誤差理論與測(cè)量平差［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2012.

［8］趙超英，張勤.再論經(jīng)典測(cè)量平差模型間的內(nèi)在聯(lián)系［J］.測(cè)繪通報(bào)，2006(3):26-27.

［9］鄧永和.《再論經(jīng)典測(cè)量平差模型間的內(nèi)在聯(lián)系》的研究［J］.鐵道勘察，2009(2):8-10.

［10］張俊，張鵬飛.測(cè)量平差課程教學(xué)改革探討［J］.測(cè)繪科學(xué)，2010，35(5):247-249.