單傳朋 淩斌斌 張偉

(安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

隨機(jī)微分方程在人口預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

單傳朋 淩斌斌 張偉

(安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

本文對(duì)中國(guó)總?cè)丝跀?shù)量構(gòu)建隨機(jī)Logistic模型,結(jié)合歷史數(shù)據(jù)估計(jì)了模型參數(shù),利用該模型對(duì)中國(guó)總?cè)丝跀?shù)量進(jìn)行了預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)結(jié)果較好。

隨機(jī)微分方程 極大似然估計(jì) 隨機(jī)Logistic模型

人口問(wèn)題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問(wèn)題之一。認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律,作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào),是有效控制人口增長(zhǎng)的前提之一。

假設(shè)人口增長(zhǎng)服從Logistic模型:

1 參數(shù)估計(jì)

李群[1]在 K已知或者可以估計(jì)出的條件下,給出了 r和 β的極大似然估計(jì)(取 θ=1情形):

其中環(huán)境最大容量 K是常數(shù),于是假設(shè) K不受隨機(jī)擾動(dòng)的影響,利用常微分方程估算出來(lái)的 K的值可以用于隨機(jī)情形。在這里直接對(duì)(2)式所對(duì)應(yīng)的(1)式對(duì) K用數(shù)據(jù)擬合。

選取1990-2013年全國(guó)人口總數(shù)(萬(wàn))來(lái)估計(jì)參數(shù),數(shù)據(jù)[2]如表1:

由趙靜[3]擬合可得環(huán)境容量 K=143654.342, β=0.01021501845 98, r=0.06633254401474。

表1

表2

表3

2 模擬仿真

將所得模型離散化,時(shí)間間隔取1年,得到:

其中 dB為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)在一個(gè)單位時(shí)間的增量。

通過(guò)編寫Matlab[4]程序?qū)?shù)帶入模型進(jìn)行計(jì)算可以計(jì)算出人口的擬合值:

從表2可以看到誤差百分比(絕對(duì)值)都大概在0.2%左右,并且計(jì)算得到其平均值是0.2056%,模型擬合的效果非常好,利用此模型來(lái)對(duì)未來(lái)人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)(如表1)。

圖形中用’+’表示真實(shí)的人口數(shù)據(jù),連線表示從1991年到2013年的擬合值,后面的’o’表示對(duì)未來(lái)10年(2014年到2023年)的預(yù)測(cè)值

(見(jiàn)圖1)。

3 結(jié)論與展望

通過(guò)所給數(shù)據(jù)和圖形的結(jié)果可以看出,由于人口會(huì)經(jīng)常受到環(huán)境白噪聲的干擾,隨機(jī)Logistic模型的擬合效果相當(dāng)好,同時(shí)也可以看出隨著時(shí)間的推移和人口的增長(zhǎng),人口的自然增長(zhǎng)率呈現(xiàn)出負(fù)指數(shù)的下降趨勢(shì),并逐漸趨近于零,人口在十年后趨近于13.9557億左右。而加入了隨機(jī)擾動(dòng)之后的Logistic模型對(duì)于預(yù)測(cè)有了更好的效果,通過(guò)檢驗(yàn)可以看出模型的擬合效果非常顯著,同時(shí)可以看出人口在二十年之后會(huì)向14.1億左右趨近并得到平衡。

[1]李群.一類隨機(jī)微分方程的參數(shù)估計(jì)[M].應(yīng)用數(shù)學(xué).2012,25(4):771-776.

[2]http://www.stats.gov.cn/tjsj/.

[3]趙靜等.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京:高等教育出版社,2000.

[4]Desmond J. Higham An Algorithmic Intr oduction toNumerical Simulation of Stochastic Differential Equations .SIAM REVIEW.2001,43 (3): 525-546 .

單傳朋,淩斌斌,安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系102班。

安徽工程大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目 (201210363209),安徽工程大學(xué)教研項(xiàng)目(2010xjy32) 安徽工程大學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(2005YQ006)。