梁星 賈敦新

(重慶市地理信息中心,重慶 401121)

基于規(guī)則格網(wǎng)DEM提取坡度坡向的統(tǒng)一模型研究

梁星 賈敦新

(重慶市地理信息中心,重慶 401121)

本文通過對(duì)現(xiàn)有基于DEM的坡度坡向差分算法的分析,提出了基于規(guī)則格網(wǎng)DEM提取坡度坡向的統(tǒng)一計(jì)算公式,編程實(shí)現(xiàn)了算法的統(tǒng)一模型,并成功集成到了ArcGIS產(chǎn)品中,基于本模型可以自定義坡度坡向的計(jì)算方法,也可以通過修改參數(shù)的方法定制任意一種差分算法獲取地面坡度和坡向,為科研工作者和實(shí)際應(yīng)用者提供了全面有效的計(jì)算方法。

數(shù)字高程模型 坡度 坡向 統(tǒng)一模型

坡度坡向是相互聯(lián)系的兩個(gè)參數(shù)，坡度反應(yīng)斜坡的傾斜程度，坡向反應(yīng)斜坡所面對(duì)的方向。作為描述地形特征信息的重要指標(biāo)，是水文模型、滑坡監(jiān)測與分析、地表物質(zhì)運(yùn)動(dòng)、土壤侵蝕、土地利用規(guī)劃等地學(xué)分析模型的重要參數(shù)。坡度和坡向與其他參數(shù)一起使用，有助于諸如森林蘊(yùn)藏量估算、水土保持、野生動(dòng)植物保護(hù)、選址分析、土地利用以及其他應(yīng)用問題的解決。例如，在農(nóng)業(yè)土地開發(fā)中，大于25°的坡度一般被認(rèn)為是不適宜耕種的，而在熱帶經(jīng)濟(jì)作物耕種規(guī)劃中，坡向則是評(píng)估寒冷凍害風(fēng)險(xiǎn)的重要因子。在實(shí)際應(yīng)用中，某些應(yīng)用軟件，例如ArcGIS等雖然提供了坡度坡向的計(jì)算方法，但是由于不同的用戶在不同的地區(qū)針對(duì)不同的數(shù)據(jù)需要采用不同的計(jì)算方法，而這些應(yīng)用軟件就像一個(gè)黑箱，只是提供了單一的計(jì)算方法，對(duì)于用戶而言很難進(jìn)行選擇和擴(kuò)展，尤其是科研工作者，在研究不同計(jì)算方法對(duì)計(jì)算結(jié)果或者，不同數(shù)據(jù)誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果，或者不同誤差在不同計(jì)算方法下的傳播規(guī)律時(shí)顯得束手無策。如果重新一一編程實(shí)現(xiàn)則顯得太過麻煩也不切實(shí)際，畢竟用戶和科研工作者關(guān)注的不是編程，因此本文針對(duì)以上問題，深入分析了基于規(guī)則格網(wǎng)DEM的坡度坡向的差分算法，提煉出了不同差分算法的統(tǒng)一模型，并編程實(shí)現(xiàn)了該模型，集成到了常用的應(yīng)用軟件中，極大的方便了廣大科研工作者和實(shí)際應(yīng)用者。

1 坡度坡向的定義

空間曲面的坡度(slope)和坡向(aspect)是互相聯(lián)系的兩個(gè)參數(shù)，均是點(diǎn)位函數(shù)，除非曲面是一平面，否則曲面上不同位置的坡度和坡向是不相等的。坡度反映曲面的傾斜程度，定義為曲面上一點(diǎn)P的法線方向與垂直方向(即天頂)Z之間的夾角，而坡向是斜坡面對(duì)的方向，定義為P的法線正方向在平面的投影與正北方向的夾角，如圖1所示。

圖1 坡度和坡向定義

圖2 差分法坡度坡向計(jì)算原理

由數(shù)學(xué)分析知，任一空間曲面 z= f（x, y ）在平面上表示一等值線簇 f（x,y）= c(c為任意常數(shù))， 當(dāng)z為高程時(shí)則為等高線。對(duì)任意點(diǎn)P （x ,y ），沿P的梯度反方向，f（x, y）取得其下降最快值。在數(shù)字地形分析中，該值即為P的坡度，其下降方向即為坡向或流向。對(duì)于函數(shù)f（x,y ），P點(diǎn)的梯度表示為：

式中i， j為單位方向，其模(norm)即為坡度(或梯度)，表示為單位長度上的高程升降，通常以百分?jǐn)?shù)表示：

表1 格網(wǎng)DEM坡度坡向計(jì)算數(shù)學(xué)模型

表2 三階反距離平方權(quán)差分fx和fy對(duì)應(yīng)權(quán)重

圖3 坡度坡向統(tǒng)一模型設(shè)計(jì)

當(dāng)需要計(jì)算斜坡角度時(shí)(即P的法線與天頂Z之間的夾角)，由上式我們有：

當(dāng) fy≠0時(shí)，梯度方向即為坡向，定義為：

實(shí)際工作中，坡向一般以北方向?yàn)槠鹗挤较颍错槙r(shí)針方向度量，則坡向在x軸為東西方向、y軸為南北方向(北方向)的坐標(biāo)系中表示為：

2 基于規(guī)則格網(wǎng)DEM提取坡度坡向的統(tǒng)一模型

由上述表達(dá)式可知，求解地面某點(diǎn)的坡度和坡向，關(guān)鍵是求解fx和fy。DEM是以離散形式表示的地形曲面，而且在多數(shù)情況下曲面函數(shù)是未知的，因此在DEM上對(duì)fx和fy的求解，一般要進(jìn)行曲面擬合或通過數(shù)值微分的方式進(jìn)行。這里需要注意的是坡度坡向是地形表面的固有屬性，其數(shù)學(xué)定義是嚴(yán)格的，并不隨DEM結(jié)構(gòu)的改變而改變。但由于數(shù)字高程模型僅僅是對(duì)地形曲面的一種近似，不同的模型結(jié)構(gòu)可能導(dǎo)致不同的坡度坡向計(jì)算結(jié)果，并且計(jì)算方法也隨之而異。鑒于這種考慮，我們將以使用最為廣泛的規(guī)則格網(wǎng)DEM進(jìn)行分析。

在格網(wǎng)DEM上對(duì)fx和fy求解，一般是在局部范圍(3×3移動(dòng)窗口)內(nèi)，通過給格網(wǎng)點(diǎn)一定編號(hào)(中心格網(wǎng)點(diǎn)一般為5)，利用差分原理進(jìn)行計(jì)算。如圖2，設(shè)中心格網(wǎng)點(diǎn)為 （i, j ），相應(yīng)坐標(biāo)為 （xi, yj），局部地形曲面設(shè)為 z= f（x, y ），g為格網(wǎng)間距，則在（i, j）處的泰勒級(jí)數(shù)展開式為(取至一次項(xiàng))：

式中k為展開范圍，按不同的k的取值和定權(quán)方式，將產(chǎn)生不同的坡度坡向數(shù)學(xué)模型。表1概括了基于格網(wǎng)DEM的坡度坡向算法和導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式。

3 基于DEM提取坡度坡向統(tǒng)一模型的實(shí)現(xiàn)

通過以上所述和表1中的總結(jié)，求解地面某點(diǎn)的坡度和坡向，關(guān)鍵是求解fx和fy。以圖2為例，若求z5點(diǎn)的坡度或者坡向，則關(guān)鍵問題是求解z5點(diǎn)的fx和fy，而求解z5點(diǎn)的fx和fy的關(guān)鍵問題是對(duì)1-9的賦權(quán)問題，以三階反距離平方權(quán)差分為例，fx和fy，分對(duì)應(yīng)的權(quán)重如表2，因此對(duì)fx和fy的求解問題轉(zhuǎn)化為對(duì)待求點(diǎn)周圍9個(gè)點(diǎn)的賦權(quán)問題，對(duì)于其他的差分方法具有相同的規(guī)律，因此本文坡度坡向的統(tǒng)一模型設(shè)計(jì)如圖3，通過選擇不同的差分算法或者輸入不同的權(quán)重就可以定制不同的差分算法，進(jìn)而得到不同算法下的坡度坡向計(jì)算結(jié)果。本文基于C#和ArcGIS Engine開發(fā)實(shí)現(xiàn)了本算法，并成功的集成到了ArcGIS桌面產(chǎn)品中，從而更加方便的使用本算法。

4 結(jié)語

坡度坡向作為描述地形特征信息的兩個(gè)重要指標(biāo)受誤差的影響很大，尤其是不同的誤差，對(duì)于地形數(shù)據(jù)而言，區(qū)分為數(shù)據(jù)誤差和模型誤差，不同的算法對(duì)不同的誤差敏感性不一，這與地形的復(fù)雜程度有著很大的關(guān)系，因此根據(jù)不同的數(shù)據(jù)，在不同的地區(qū)選擇不同的計(jì)算方法尤為重要，因此本文將各種差分算法進(jìn)行了分析，提出了統(tǒng)一的計(jì)算模型，并實(shí)現(xiàn)了算法，集成到了應(yīng)用最為廣泛的ArcGIS產(chǎn)品中，對(duì)于基于規(guī)則格網(wǎng)的DEM的地形分析具有重要的意義。

[1]賈敦新,湯國安,王春.DEM數(shù)據(jù)誤差與地形描述誤差對(duì)坡度精度的影響[J].地球信息科學(xué),2009.

[2]劉學(xué)軍.基于規(guī)則格網(wǎng)數(shù)字高程模型解譯算法誤差分析與評(píng)價(jià)[D].武漢大學(xué)博士論文,2002.

[3]周啟鳴,劉學(xué)軍.數(shù)字地形分析[M].北京:科學(xué)出版社,2006:282-283.

[4]王春,湯國安,張婷 等．在降雨侵蝕中黃土地面坡度變化的高分辨率研究[J].山地學(xué)報(bào),2005(5):589-595.

梁星(1982-),男,重慶涪陵人,碩士,現(xiàn)為重慶市地理信息中心工程師,研究方向:地圖學(xué)與地理信息系統(tǒng)、遙感。