尹彥坤，陳 實(shí)，李挺前

(湛江南海西部石油勘察設(shè)計(jì)有限公司，廣東 湛江 524057)

隨機(jī)波浪載荷下基于斷裂力學(xué)的結(jié)構(gòu)疲勞分析算法研究

尹彥坤，陳 實(shí)，李挺前

(湛江南海西部石油勘察設(shè)計(jì)有限公司，廣東 湛江 524057)

應(yīng)用斷裂力學(xué)方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)疲勞評(píng)估，Paris法則給出了簡(jiǎn)潔的計(jì)算公式，但是對(duì)于海洋結(jié)構(gòu)物來說，在隨機(jī)波浪載荷下的響應(yīng)是非常復(fù)雜的。因此，對(duì)于結(jié)構(gòu)疲勞壽命的評(píng)估，尋求一種兼顧計(jì)算效率、準(zhǔn)確度和安全性的計(jì)算方法是非常重要的。結(jié)構(gòu)的響應(yīng)應(yīng)力是一個(gè)隨機(jī)變量，為了提高計(jì)算效率，研究了其等效恒值應(yīng)力；為了保證計(jì)算結(jié)果的安全性，探討了長期波浪分布下應(yīng)力的加載次序。

隨機(jī)波浪；斷裂力學(xué)；疲勞；算法

0 引 言

通常認(rèn)為海浪短期統(tǒng)計(jì)特性是平穩(wěn)隨機(jī)過程，波面高度的分布符合正態(tài)分布，波高的分布遵從瑞利分布，并且常用隨機(jī)功率譜即海浪譜形式來描述隨機(jī)波浪。波浪的長期分布通常以長期分布統(tǒng)計(jì)概率表的形式給出。波浪的短期分布加長期分布形成了結(jié)構(gòu)的整個(gè)疲勞海況。

根據(jù)結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)理論，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力譜由傳遞函數(shù)和海浪譜生成。對(duì)于構(gòu)成疲勞分析的海況來說，絕大多數(shù)為小振幅波，結(jié)構(gòu)線性響應(yīng)正比于波高，因此應(yīng)力也遵從瑞利分布。應(yīng)力分布的概率密度函數(shù)的生成，需要先求解應(yīng)力的均方值，而應(yīng)力的均方值可以從應(yīng)力譜求得。

對(duì)于短期波浪引起的結(jié)構(gòu)應(yīng)力，為了避免計(jì)算程序上復(fù)雜的隨機(jī)加載，可以采用等效應(yīng)力的方法；而對(duì)于長期波浪統(tǒng)計(jì)，需要研究其加載次序。這兩點(diǎn)便是本文討論的主要內(nèi)容。

1 應(yīng)力譜及應(yīng)力概率密度函數(shù)

1.1 海浪譜

波浪譜從頻域角度描述波浪的組成，又稱為頻譜。海浪可視作由無限多個(gè)振幅不同、頻率不同、方向不同、相位不同的波組成，在如圖1所示的坐標(biāo)系中[橫軸為頻率f，縱軸為Sηη(f)=H2/8，代表波浪的能量]表達(dá)這些波浪，便構(gòu)成了波浪譜。

在海浪研究中對(duì)充分成長的風(fēng)浪記錄進(jìn)行譜估計(jì)和曲線的擬合時(shí)，提出了多種譜，常見的有Pieron-Moskowitz(PM)譜和JONSWAP譜等。其中PM譜的定義如下[2]：

(1)

式中:Hs為有效波高;Tz為平均跨零周期。

圖1 PM譜Fig.1 PM spectrum

1.2 應(yīng)力譜及應(yīng)力概率密度函數(shù)

根據(jù)結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)理論，應(yīng)力譜由應(yīng)力傳遞函數(shù)G(f)的平方乘上頻譜得到，傳遞函數(shù)為單位激勵(lì)和結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的函數(shù)關(guān)系，表示為[2]

Sσσ(f)=|G(f)|2Sηη(f).

(2)

圖2給出了這一方程的示意圖。

應(yīng)力的概率密度函數(shù)符合瑞利分布，其定義如下[2]：

(3)

式中：m0為應(yīng)力譜的0階矩,由前面應(yīng)力譜的定義可知，m0的物理意義為應(yīng)力均方值的1/8。

2 短期波浪引起的等效應(yīng)力算法

2.1 等效應(yīng)力的公式

有了應(yīng)力譜和概率密度函數(shù)，下面考慮如何將其施加于結(jié)構(gòu)并求解裂紋擴(kuò)展。英國標(biāo)準(zhǔn)學(xué)會(huì)的BS7910(2005)8.4.2章對(duì)算法的建議是：把應(yīng)力譜劃分成一定數(shù)量的區(qū)塊，區(qū)塊的應(yīng)力取其內(nèi)部的最大值作為恒值，然后對(duì)每個(gè)區(qū)塊分別進(jìn)行計(jì)算，并且要選出造成最大裂紋擴(kuò)展的區(qū)塊加載次序[1]。

這種算法對(duì)于具有單一應(yīng)力譜的結(jié)構(gòu)是可行的；而對(duì)于生命周期為20～30年的海洋結(jié)構(gòu)來說，應(yīng)力譜的數(shù)量較大，加載次數(shù)多達(dá)上億次，裂紋擴(kuò)展公式的積分計(jì)算量是驚人的，因此需要尋找簡(jiǎn)化的方法。

應(yīng)力作為隨機(jī)變量，其多次作用的簡(jiǎn)化計(jì)算方法是求其等效值。這個(gè)等效也即對(duì)裂紋造成的擴(kuò)展的等效，從數(shù)學(xué)上講為所有應(yīng)力的m次方的平均值。等效應(yīng)力σe可由概率密度函數(shù)求出，計(jì)算公式如下：

(4)

假設(shè)此短期統(tǒng)計(jì)的持續(xù)時(shí)長為T，則應(yīng)力循環(huán)次數(shù)為N=T/Te。

圖2 應(yīng)力譜的生成Fig.2 Generation of stress spectrum

2.2 考慮應(yīng)力強(qiáng)度因子閾值影響時(shí)等效應(yīng)力公式的修正

根據(jù)斷裂力學(xué)理論，在應(yīng)力強(qiáng)度因子變化幅Δk小于閾值Δk0時(shí)，不引起裂紋的擴(kuò)展[1]，所以等效應(yīng)力的計(jì)算要進(jìn)行修正，過濾掉低應(yīng)力部分。Δk0與材料、應(yīng)力比R和環(huán)境有關(guān)。

(5)

有效循環(huán)次數(shù)修正為

(6)

在實(shí)際的計(jì)算程序中，可采用近似方法計(jì)算σe和Ne，方法如下。

把應(yīng)力從應(yīng)力幅閾值σ0到上限σu之間進(jìn)行分解，步長為δσ。對(duì)每一個(gè)值σ，其出現(xiàn)概率為p(σ)·δσ，所以等效應(yīng)力

(7)

有效循環(huán)次數(shù)

(8)

經(jīng)過上述計(jì)算，最終得到裂紋擴(kuò)展公式

(9)

2.3 積分上限σu的確定

(10)

2.4 導(dǎo)管架管節(jié)點(diǎn)疲勞分析算例

下面以某導(dǎo)管架管節(jié)點(diǎn)的疲勞分析為例，展示求解等效應(yīng)力的過程。為了計(jì)算簡(jiǎn)單，把傳遞函數(shù)進(jìn)行了簡(jiǎn)化。

求解導(dǎo)管架的傳遞函數(shù)要進(jìn)行確定性波浪響應(yīng)分析，采用Airy波理論，波浪力用Morison方程計(jì)算。傳遞函數(shù)選取波浪周期從1～20 s之間的20～30個(gè)值，波陡采用1/25～1/20。為了求解某個(gè)波浪工況下的應(yīng)力變化幅值δ，把波浪分成20個(gè)左右的不同的相位進(jìn)行計(jì)算，20個(gè)相位中的最大值減去最小值即得到該工況的應(yīng)力變化幅值[4]。

傳遞函數(shù)G(f)如圖3所示，圖中橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為σ/H，H為對(duì)應(yīng)某一頻率的波高。

圖3 傳遞函數(shù)Fig.3 Transfer function

表1給出了波浪數(shù)據(jù)和波浪譜；表2列出了根據(jù)式(2)和圖3所示傳遞函數(shù)計(jì)算得到的應(yīng)力譜的0階矩、2階矩和有效周期，應(yīng)力譜的圖形見圖4；表3給出了裂紋參數(shù)；表4列出了根據(jù)2.2節(jié)公式計(jì)算得到的等效應(yīng)力、循環(huán)次數(shù)以及裂紋擴(kuò)展。

表1 波浪參數(shù)Table 1 Wave data

表2 應(yīng)力譜Table 2 Stress spectrum

圖4 應(yīng)力譜Fig.4 Stress spectrum

表3 裂紋參數(shù)Table 3 Crack parameters

表4 裂紋擴(kuò)展計(jì)算結(jié)果Table 4 Result for crack growth

3 波浪長期分布的加載順序

3.1 加載次序的差別

注意到裂紋擴(kuò)展率的公式是微分方程，裂紋擴(kuò)展需要進(jìn)行積分求解，每次加載的裂紋初始尺寸等于上次加載的最終尺寸，因此不同的施加次序可能會(huì)造成計(jì)算結(jié)果的不同。

波浪的長期統(tǒng)計(jì)是由“方向-Hs-Tz-出現(xiàn)概率”構(gòu)成的表格，典型統(tǒng)計(jì)見表5；表格中的數(shù)據(jù)表示某個(gè)短期波浪的出現(xiàn)概率，其有效波高為Hs，跨零周期為Tz。在確定表中的波浪加載次序之前，我們首先要研究不同加載次序造成的差別。

表5 典型波浪長期分布概率表Table 5 Typical long-term wave distribution

選取表6中所示6組波浪數(shù)據(jù)，用第2節(jié)的方法計(jì)算裂紋擴(kuò)展，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。應(yīng)力傳遞函數(shù)仍然采用2.4節(jié)的數(shù)據(jù)，頻譜采用PM譜。計(jì)算結(jié)果見表7。

表6 分組的波浪數(shù)據(jù)Table 6 Grouping of wave data

表7 裂紋擴(kuò)展計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 7 Comparison of calculation results of crack growth

從表7的結(jié)果中可以看出，先施加較大荷載，后施加較小荷載，造成的破壞較大，但差別很小。

3.2 加載方法的確定

根據(jù)3.1節(jié)的結(jié)論，同時(shí)基于保守的原則，對(duì)于波浪長期概率分布表的數(shù)據(jù)，應(yīng)采用從大波高到小波高的順序進(jìn)行施加。但是對(duì)于設(shè)計(jì)壽命為20～30年的海洋結(jié)構(gòu)來說，這樣做會(huì)與事實(shí)不符，因?yàn)樵谶@么長的時(shí)間內(nèi)實(shí)際波浪不會(huì)完全按照從大到小的順序出現(xiàn)。

綜合考慮安全、計(jì)算精度和計(jì)算量，對(duì)于波浪荷載的加載建議采用三級(jí)模式。第一級(jí)以年為單位，把總壽命劃分成N塊,記為Ti，這N塊之間除給定裂紋初始尺寸的不同外無其他差別；如果事先總壽命不清楚，可以通過初步試算確定。

第二級(jí)為Ti的定義及分解，以3～24 h為單位，把Ti劃分成m塊，每塊記為ti，每塊ti有各自的有效波高Hs和跨零周期Tz；m個(gè)ti要符合波浪長期概率表的定義，并按照Hs由大到小的順序施加到結(jié)構(gòu)上。

第三級(jí)為每塊ti內(nèi)部，根據(jù)其Hs和Tz，采用第2節(jié)所述方法計(jì)算其等效應(yīng)力和等效循環(huán)次數(shù),作為裂紋疲勞評(píng)估的輸入數(shù)據(jù)。

上述方法可用圖5來表示。

圖5 波浪加載算法圖Fig.5 Numerical algorithm for wave loading

4 結(jié) 語

目前海洋結(jié)構(gòu)疲勞分析常用的是應(yīng)力-壽命(S-N) 曲線和斷裂力學(xué)法。對(duì)于隨機(jī)波浪的加載，S-N曲線的方法比較簡(jiǎn)單和成熟，而斷裂力學(xué)方法的研究較少。這兩種方法的主要區(qū)別就是等效應(yīng)力的計(jì)算和加載次序。

在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)力閾值σ0的計(jì)算比本文中公式要復(fù)雜得多，因?yàn)樵趹?yīng)力強(qiáng)度因子的公式中，應(yīng)力要分解為主應(yīng)力、次應(yīng)力、膜應(yīng)力和彎曲應(yīng)力，不同的應(yīng)力有不同的修正因子Y。

同時(shí)應(yīng)注意到，本文中應(yīng)力譜的計(jì)算僅適用于線性反應(yīng)體系，所以上述方法也僅適用于線性結(jié)構(gòu)體系。在導(dǎo)管架的疲勞分析中，非線性的樁土基礎(chǔ)可以進(jìn)行近似的線性化，從而運(yùn)用上述方法計(jì)算。

[1] British Standards Institution.BS 7910—2005.Guide to methods for assessing the acceptability of flaws in metallic structures [S].2005.

[2] Barltrop N D P.Dynamics of Fixed Marine Structures[M].Oxford: Butterworth-Heinemann,2011: 609-635.

[3] 劉永庚.海洋工程水動(dòng)力學(xué)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2012：19-49.

[4] American Petroleum Institute.API RP 2A-2007.Recommended practice for planning,designing and constructing fixed offshore platforms—working stress design[S].2007.

ResearchofNumericalAlgorithmsforStructure’sFatigueAssessmentinRandomWavesBasedonFractureMechanics

YIN Yan-kun,CHEN Shi,LI Ting-qian

(ZhanjiangNanhaiWestOilSurveyamp;DesignCo.,Ltd.,Zhanjiang,Guangdong524057,China)

Paris law gives a simple formula for offshore structure’s fatigue assessment with fracture mechanics method.However,the input “stress” data are complex,because the offshore structure’s response under random waves is complex.For structures exposed under long-term waves,it is important to find a numerical algorithm which is efficient,accurate and safe for calculating fatigue life.Structure’s response stress is a random variable,so its equivalent constant value can be investigated for efficiency，and its loading sequence under long-term waves should be investigated for conservation.

random waves; fracture mechanics; fatigue; numerical algorithm

TU973+.254

A

2095-7297(2014)03-0213-05

2014-08-20

尹彥坤(1980-)，男，高級(jí)工程師，主要從事海洋石油固定式平臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。