孟穎，張貴陽，魏曉馬，周見紅

（1.長春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，長春 130022；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150006）

20世紀(jì)60年代激光器的問世引起了現(xiàn)代科技的巨大變化。激光由于其方向性好、相干度高和亮度高等特點，在現(xiàn)代工業(yè)制造加工、信息通信、醫(yī)療探測及國防等領(lǐng)域得到迅速的發(fā)展和應(yīng)用［1］。光學(xué)諧振腔控制激光的輸出模式（橫模和縱模），是激光器的關(guān)鍵部件，縱?？刂萍す獾妮敵鲱l率，橫?？刂萍す獾妮敵龉獍咝螤?。光學(xué)諧振腔利用兩塊相對的具有高反射率的鏡面控制光在其中來回反射振蕩，可以增加光通過增益介質(zhì)的次數(shù)，為光放大提供正反饋，同時控制激光的輸出特性，準(zhǔn)確、便捷的研究諧振腔的模式分布特性，提高光束質(zhì)量，促進(jìn)諧振腔的研制對激光諧振腔的設(shè)計和激光研究都具有重要的科學(xué)意義和應(yīng)用價值。

研究激光器諧振腔的方法很多，如基于幾何光學(xué)轉(zhuǎn)移矩陣法［2］和基于波動光學(xué)的菲涅耳衍射法［3-5］，前者可以很容易給出諧振腔的穩(wěn)定性條件，但是不能給出激光光斑的形狀及其損耗特性；后者不但可以給出衍射損耗，還能給出能量在光束中的空間分布及位相特性，能夠準(zhǔn)確、全面地反映激光光束的輸出特性。然而由于諧振腔的菲涅耳積分只有在共焦腔、方形鏡面、旁軸近似的條件下才能給出近似的解析解，在實際使用中，數(shù)值計算方法顯得尤為重要。

本文采用菲涅耳積分原理，利用迭代和本征值法計算激光諧振腔自再現(xiàn)模式的能量空間分布和損耗特性，數(shù)值模擬結(jié)果表明，兩種方法給出的結(jié)果一致。比較而言，采用迭代法可以很清晰地給出激光在諧振腔中振蕩并穩(wěn)定的過程，利用穩(wěn)定后的能量分布可以給出衍射損耗；本征值法可以直接給出模式的分布和損耗的特性，但是對于模式的穩(wěn)定過程和物理圖像的理解略顯晦澀。另外，由于激光的輸出模式與諧振腔的對稱性具有很大的關(guān)系，在迭代法中，必需使用具有一定對稱性的源才能激發(fā)出想要的模式，否則會出現(xiàn)不同模式的疊加，而本征值法不需考慮對稱性因素就可以得到所有模式，因此，本征值法更具有普適性。

1 基本原理

其中，u'(P)和u(Q)表示鏡面(x',y')和鏡面(x,y)的振幅分布，ρ為P和Q之間的距離，dsP為鏡面(x',y')上包圍P點的小面元，θ為P和Q連線與面元sP法線方向的夾角，k=2π λ為波數(shù)。

對稱結(jié)構(gòu)的諧振腔如圖1所示，即組成諧振腔的兩個鏡面結(jié)構(gòu)參數(shù)相同，鏡面之間的距離為L，按照菲涅耳-基爾霍夫衍射原理［3］，鏡面(x',y')上的光場對鏡面(x,y)的影響可以表示為

圖1 鏡面衍射示意圖

由于諧振腔是對稱的，所以當(dāng)光在鏡面之間來回振蕩時，只需要交換P、Q的位置，式（1）是適合的。

2 數(shù)值計算方法

2.1 積分的離散過程

為了數(shù)值化處理方程（1）的積分，需要對鏡面(x',y')進(jìn)行離散化處理，我們采用如圖2所示的方式把鏡面分格成M×N個面元的方式離散，這樣光場在鏡面上的振幅u'(P)就變成了一個M×N列的列向量。

圖2 鏡面離散示意圖

按照圖2的離散方式，公式（1）可以寫成

其中，un和u'm分別為按照圖2的方式離散的點(x,y)和點(x',y')處的光波復(fù)振幅，且

ΔSm為按照圖2的方式離散的包圍點(x',y')面元。

需要指出的是，在離散過程中，除了由于離散精度引起的誤差外，我們沒有做任何近似。

公式（2）給出了光從鏡面(x',y')到鏡面(x,y)之間經(jīng)歷一次度越光場振幅所對應(yīng)的關(guān)系。激光在諧振腔鏡面之間來回振蕩，最終會趨于穩(wěn)定分布，所以利用式（2）可以計算最終的光場分布。為了演示此方法的可行性，我們采用迭代法和本征值法分別處理兩個平面鏡組成的諧振腔，其中鏡面為邊長3.2cm方形鏡子，鏡面距離為100cm，波長為632.6nm，計算光場分布和損耗，然后比較兩種方法所得的結(jié)果。迭代法和本征值法計算過程中，我們把鏡面離散成32×32個面積相等的面元。

2.2 迭代法

光場在兩鏡面之間來回振蕩，由于考慮的系統(tǒng)為對稱結(jié)構(gòu)，所以光場在鏡面之間第q次度越按照式（2）可以表示為

需要指出的是，在迭代過程中，初始狀態(tài)的輸入um,0（也叫種子光）的對稱性對最終輸出的模式有很大的影響，這是因為理論上激光諧振腔可以支持無窮多個模式，一個偶對稱的輸入不可能激發(fā)一個奇模式；另外，如果激發(fā)了多個模式，由于低階模式在振蕩過程中的損耗比高階模式小，高階模式在振蕩過程中被損耗而只剩下低階模式，或者出現(xiàn)多個模式的疊加而不利于單個模式的顯示，因此計算特定對稱性模式需要有對應(yīng)的初始態(tài)輸入。

圖3 一階模式迭代穩(wěn)定過程

圖3給出了最低階模的迭代并穩(wěn)定的過程，其中輸入的種子光為點光源，放置在右上方，由于最低階模式的損耗最小，所以對于初始的輸入狀態(tài)不是很嚴(yán)格，最終都能得到這個模式。從圖3（a）可以看出，由于是輸入點源，所以在第一次度越過程中，鏡面得到的是球面波；經(jīng)過多次來回振蕩，光斑分布趨向穩(wěn)定，如圖3（a）-（f）所示?？梢酝ㄟ^損耗來判斷激光振蕩是否穩(wěn)定，即衍射損耗穩(wěn)定時，激光的模式趨于穩(wěn)定，激光的衍射損耗可以表示為

對于圖3所示的一階穩(wěn)定模式的衍射損耗δ=2.52%。

圖4 二階模式迭代穩(wěn)定過程

高階模式對種子光非常敏感，為了得到二階模式，采用兩個位相差π的種子光，分別位于鏡面的左上角和右下角，模式的穩(wěn)定演化過程如圖4所示?？梢钥闯?，第一次度越是兩個點光源的球面波疊加，在另一個鏡面上發(fā)生干涉的干涉條紋，如圖4（a）所示；圖4（a）-（d）是經(jīng)過多次來回振蕩，光斑分布趨向穩(wěn)定分布，同樣可以得出穩(wěn)態(tài)衍射損耗為δ=5.81%。需要注意的是，方形平面鏡的二階模式是按照對角線方向?qū)ΨQ的，而不是按照中線方向，這是由于對角線方向的損耗更小，模式更穩(wěn)定。

采用對稱性分析，設(shè)定需要的模式，通過式（6）可以得到所需模式分布和相應(yīng)衍射損耗。

2.3 本征值法

由于本文考慮的是對稱諧振腔，穩(wěn)態(tài)時，模式的分布穩(wěn)定，輸入與輸出只有由于衍射損耗和位相而引起的復(fù)常數(shù)因子σ，故公式（2）可以表示為

公式（8）是一個求本征的矩陣形式［6］，其中 σ為本征值，u為模式分布，利用數(shù)值計算可以求得模式分布如圖5所示。在計算過程中，沒有對本征值的大小排序，圖5（a）給出了最低階模式的分布，與圖3給出完全相同。圖5（b）和（d）為相互簡并的二階模式［7］，它們之間的關(guān)系是旋轉(zhuǎn)90度；圖5（c）為三階模式的光強(qiáng)分布。

同樣從本征值可以得到損耗為

利用式（9）計算的10個模式的損耗如圖6所示，從圖中可以看出第2個模式和第4個模式的損耗相同，它們相互簡并，從模式分布上可以看出它們是旋轉(zhuǎn)90度，這是由于此結(jié)構(gòu)具有相應(yīng)的對稱性。從損耗特性中可以很容易發(fā)現(xiàn)簡并的模式，因為損耗是由本征值來表征的，本征值相同的模式簡并，從圖6中顯示的前10個模式，其中第2、第4個模式簡并，第5、第9個模式簡并，第6第7個模式簡并，由于結(jié)構(gòu)具有較好的對稱性，所以簡并的模式很多。

圖5 本征值法求得的前四個模式

圖6 本征值法計算的前10個模式的衍射損耗

本文計算的諧振腔模式是兩個鏡面上的場分布。對于遠(yuǎn)場分布，同樣適合菲涅耳-基爾霍夫衍射，只需要設(shè)定相應(yīng)的[]an×m，把輸出鏡面的場分布作為輸入，利用式（2）即可求出。

3 討論

上面給出的兩種方法得到的結(jié)果一致。對于邊長為3.2cm方形鏡子，鏡面距離為100cm的諧振腔而言，具有較好的對稱性，從對稱性分析（群論）的角度上，基本能夠預(yù)見模式的對稱性和光斑的形狀，對于迭代法，需要設(shè)置相應(yīng)的源（種子光）來激發(fā)。一般而言，低階模式的損耗較小，光在諧振腔中多次振蕩之后，只有損耗最小的那個模式會留下來，損耗高的模式會被抑制掉，也就是說，如果用于激發(fā)的源可以激發(fā)多個模式，最終只有損耗最小的那個模式會留下，但是對于高階模式而言，設(shè)置相應(yīng)的激發(fā)源會非常困難，一般只用于激發(fā)有限的低階模式。但迭代法可以很容易看到模式從激發(fā)到穩(wěn)定的全部演化過程，物理圖像非常清晰。

本征值法采用求解本征值方程的方法得到的結(jié)果非常直接，同時可以得到所有的模式及其本征值（損耗），不需要設(shè)置激發(fā)源，也不需要人為的分析模式對稱性（對稱性由矩陣表征），對于激光器諧振腔的研究是一個非常有效的方式。求解本征值法對諧振腔的模式穩(wěn)定性理解具有一定的抽象性，掩蓋了很多物理圖像，但是此方法可以很直接地給出所有所需的光學(xué)特性。

本文分析了對稱正方平面鏡諧振腔，這兩種方法對于任意形狀的諧振腔而言都是適應(yīng)的，只需要在使用過程中，按照設(shè)計的諧振腔幾何參數(shù)對矩陣進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整即可。

4 結(jié)論

基于菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式，本文采用數(shù)值計算的方式利用迭代法和本征值法研究了諧振腔的自再現(xiàn)模和衍射損耗特性，研究結(jié)果表明，迭代法計算模式對于激發(fā)源（種子光）非常敏感，對于高階模式，只有采用與模式對稱性相同的激發(fā)源才能激發(fā)，而且可以很直觀地看到模式的演化穩(wěn)定過程，并利用穩(wěn)態(tài)模式計算相應(yīng)模式的衍射損耗；而本征值法可以同時計算所有模式和損耗，無需考慮激發(fā)源的特性。本文提出的方法為激光器諧振腔的設(shè)計和優(yōu)化提供了一條便捷的途徑。

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