胡瑢華 王 輪 陳中揚 劉國平

南昌大學(xué)，南昌，330031

0 引言

決定渦旋壓縮機諸多優(yōu)良性能的關(guān)鍵點在于渦旋齒的加工精度。為了評價渦旋齒加工精度的高低，本文就渦旋齒柱面數(shù)據(jù)進行分析，從垂直度的角度來判斷渦旋齒柱面的加工性能。

國內(nèi)外諸多學(xué)者從事著垂直度方面的研究工作。如，Peng等［1］提出了基于實數(shù)編碼的多種群遺傳方法評定軸線對平面的垂直度；Lai等［2］和Wen等［3］也同樣用遺傳算法以及遺傳優(yōu)化算法評定了圓柱面的垂直度；侯宇［4］提出了采用非線性約束最優(yōu)化算法評定三坐標上測量線對面垂直度的方法；朱振偉［5］采用光學(xué)技術(shù)研究了垂直度誤差測量系統(tǒng)。以上研究對于渦旋齒柱面垂直度誤差的研究具有參考價值，但是由于其研究的垂直度均為線對線、線對平面、平面對平面以及圓柱面對平面，且使用的遺傳算法、光學(xué)技術(shù)以及非線性約束最優(yōu)化模型較為復(fù)雜，不易實施，因此，上述方法難以在工業(yè)上進行廣泛運用。針對渦旋齒柱面的特殊形狀，本文提出基于最小二乘的逼近優(yōu)化算法來評定渦旋齒柱面垂直度，并將結(jié)果與ZEISS測量儀測量的結(jié)果進行比較。

1 渦旋型柱面的產(chǎn)生

用具有螺旋狀的渦旋型線構(gòu)成具有一定厚度的動靜渦旋齒，并使動靜渦旋齒之間滿足正確嚙合，這一過程稱為渦旋齒型線的生成［6］。本文中的渦旋齒型線采用法向等距法生成［7］。渦旋柱面則是以該型線為準線，平行于Z軸的直線為母線所形成。該漸開線方程為

式中，r為基圓半徑；φ為漸開線漸開角；±α為內(nèi)外渦旋準線的起始角。

2 建立數(shù)學(xué)模型

垂直度誤差屬于相對位置誤差，柱面對基準平面相對位置關(guān)系及精度要求如圖1所示。

2.1 基準平面的確定

設(shè)基準平面上點的坐標為 Qi（xi，yi，zi），i＝1，2，…，m，基準平面方程為

則基準實際面上各采樣點Qi對基準平面的偏差為

根據(jù)最小二乘法原理，令偏差平方和最小，即可表示為

圖1 渦旋齒外形及其垂直度要求

將式（3）代入式（4）進行展開，分別對a、b、c求導(dǎo)且令S·a＝0，S·b＝0，S·c＝0，采用矩陣法求取a、b、c的值，基準平面即可確定。同時可知該基準平面的法向量為v＝ （a，b，－1），該平面與理想XOY平面的夾角為γ，則

2.2 逼近參數(shù)的求取

設(shè)渦旋型柱面的實測數(shù)據(jù)為P＊i（x＊i，y＊i，z＊i），i＝1，2，…，n，將該實測點數(shù)據(jù)向基準平面投影，投影點的坐標為P′i（x′i，y′i，z′i）。由于基準平面方程已知，且該平面的法向量v＝ （a，b，－1），則投影線方程為

式中，ti為任意非零實數(shù)。

將式（6）中的x′i、y′i、z′i的表達式代入到式（3）可求得

于是各實測點P＊i（x＊i，y＊i，z＊i）到基準平面的投影點Pi（xi，yi，zi）的值分別為

如此即可將渦旋型柱面上的點投影到基準平面上，將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題來計算。由于式（2）是建立在XOY平面內(nèi)的理想方程，而基準平面并不一定與該平面重合，因此為了方便計算，需要將基準平面的點再次投影到理想平面，設(shè)投影點坐 標 為 Pi（xi，yi，zi），則 xi＝ x′i，yi＝ y′i，zi＝0。

將實測點投影到理想平面后，即將三維垂直度的問題轉(zhuǎn)化為二維平面上的點到渦旋線之間的距離問題，可將此距離進行反投影后來表示渦旋型柱面的垂直度誤差。

將式（2）表示平面曲線設(shè)為Π，那么可以將Π看成是相應(yīng)的柱面f（x，y）＝0與平面z＝0的交線。在Π充分光滑的情況下，Π上任意一點的特征可以用下面兩個矢量來表示：矢徑p，單位法矢量n，切線矢量τ。

由于實測點P＊i（x＊i，y＊i，z＊i）投影到XOY平面的坐標為Pi（xi，yi），均在理想曲線Π 附近，設(shè)理想曲 線 Π 上與點Pi（xi，yi）相對應(yīng)的 點 為Pφ（xφ，yφ），該點的切向量為m，法向量為k，如圖2所示。

圖2 渦旋型柱面在XOY平面投影

根據(jù)理想方程的數(shù)學(xué)特性，對漸開線方程中的x、y求導(dǎo)，即可求得m ＝ （x′φ，y′φ）。由于向量m與向量k相互垂直，那么k＝ （－y′φ，x′φ）。將向量k單位化后可得到k的單位向量，即可得到理論曲線上漸開角為φ的點在向量k方向上的梯度為

對于渦旋線，定義影響函數(shù)［8］為

設(shè)Pi（xi，yi）與其對應(yīng)的理論點 Pφ（xφ，yφ）之間形成的向量為f，則f可以表示為

向量f方向與k的方向相反。那么Pi（xi，yi）到理想曲線Π的距離的第一部分可以表示為

將式（10）與式（12）代入到式（13），即可得到垂直度誤差的第一部分距離的詳細公式：

為了減小由于設(shè)計基準、加工基準和測量基準不重合帶來的誤差，提高算法精度，評定時需要進行微量調(diào)整。針對本文中的渦旋柱面，微量調(diào)整包括兩個方向上的微分移動量δx、δy與繞一個軸的微分旋轉(zhuǎn)量θz［8］。設(shè)u＝ （δx，δy，θz）T為逼近參數(shù)，并用它來描述曲線的位置和姿態(tài)。設(shè)Pi（xi，yi）經(jīng)過微量調(diào)整后的坐標為P＃φ（x＃φ，y＃φ），那么P＃φ與Pi之間的關(guān)系［9］為

通過式（15）可知，Pi（xi，yi）到理想曲線Π的距離與逼近參數(shù)u及P＃φ（x＃φ，y＃φ）到理想平面的距離兩個因素相關(guān)，記

其中，d（Pi）為點到曲線的距離：

根據(jù)最小二乘原理求取逼近參數(shù)u，令

為了求出式（18）的最小值，需要對逼近參數(shù)u的各個分量進行求導(dǎo)，即對δx、δy、θz求導(dǎo)，并令其為0。將求導(dǎo)的3個式子進行整理可得如下等式：

利用以上整理出來兩個矩陣即可以求出逼近參數(shù)u。

2.3 垂直度的計算

將u代入式（16）得到：

利用式（20）即可求出每個實測投影點Pi（xi，yi）到理想曲線Π的距離，設(shè)這些數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差為e′，即

由于e′是每個XOY理想平面上投影點到理想曲線Π的距離，為了反映實測點到渦旋柱面的真實距離，需要將e′進行反投影，設(shè)反投影后的距離為e。由式（5）可知理想平面與基準平面的夾角為γ，那么

以式（22）的結(jié)果來表示渦旋型柱面對底面的垂直度誤差。

在此特別提出，DuT＝CT的解法按照線性方程組的原始定義解法（即用CT取代D中的某列求解某未知數(shù)的方法）較uT＝D－1CT的解法精度高。

3 算法測試與分析

3.1 數(shù)據(jù)來源與數(shù)據(jù)格式

本文數(shù)據(jù)來源于德國ZEISS公司UMC 550型的三坐標測量機。被測的渦旋盤及三坐標探頭與渦旋齒相對位置如圖3所示，探頭的運動軌跡如圖4所示。

圖3 渦旋齒與探頭相對位置示意圖

圖4 型線與探頭的檢測軌跡俯視圖

圖3中，三坐標測量機的探頭（掃描式）置于高度1上，外圈從外到內(nèi)，內(nèi)圈從內(nèi)到外，貼著渦旋齒面行走，探頭中心的移動軌跡為圖4中的虛線所示。在探頭運動的過程中采集高度1上的1000個數(shù)據(jù)點。同理，在高度2和3上進行同樣的數(shù)據(jù)采集工作，這樣得到三圈的數(shù)據(jù)經(jīng)過ZEISS預(yù)處理后導(dǎo)出的數(shù)據(jù)便是本文的數(shù)據(jù)來源。

本文所使用的數(shù)據(jù)為某型號渦旋壓縮機靜盤渦旋齒內(nèi)圈與外圈數(shù)據(jù)，以內(nèi)圈數(shù)據(jù)為例，其格式以及部分數(shù)據(jù)見表1。表1中R－N，A－N，H－N分別為數(shù)學(xué)模型上的理論點的極半徑、極角、高度；R、A、H分別為實測點的極半徑、極角、高度。

3.2 測試結(jié)果與分析

德國ZEISS公司UMC 550型號的三坐標測量機作為本文的比較對象，其性能參數(shù)如表2所示。

表1 靜盤內(nèi)圈部分數(shù)據(jù)及格式

表2 UMC 550型三坐標性能參數(shù)表

就采集到的靜盤內(nèi)外渦旋齒面數(shù)據(jù)為例，通過ZEISS三坐標測量機的計算，每個點到理想柱面的距離組成的曲線如圖5和圖6所示。

圖5 靜盤內(nèi)圈ZEISS計算結(jié)果曲線圖

圖6 靜盤外圈ZEISS計算結(jié)果曲線圖

圖5與圖6中橫坐標表示數(shù)據(jù)點的個數(shù)Ni，縱坐標表示距離di，di值精確到微米級，變化范圍均在－8～8μm之間，由此可知ZIESS的算法精度很高。

將同樣的數(shù)據(jù)導(dǎo)入本文算法程序中，其運行結(jié)果的數(shù)據(jù)曲線如圖7和圖8所示。

圖7 靜盤內(nèi)圈本文算法計算結(jié)果曲線圖

圖8 靜盤外圈本文算法計算結(jié)果曲線圖

將圖5與圖7進行比較，本文算法結(jié)果曲線走勢與ZEISS計算結(jié)果曲線走勢完全一致，若將兩條曲線放在一張表中進行重合度比較，可以發(fā)現(xiàn)本文算法結(jié)果曲線與ZEISS算法結(jié)果曲線重合度在99%以上，這表明本文算法具有與ZEISS算法相同的精度。經(jīng)過圖6與圖8的重合度比較，可得到相同的結(jié)論。為了說明重合度的問題，本文將部分數(shù)據(jù)點在本文算法中的結(jié)果與在ZEISS的結(jié)果進行比較，如表3所示。

表3 點到柱面距離結(jié)果比較 μm

表3為相同的數(shù)據(jù)在兩種不同算法中結(jié)果，可發(fā)現(xiàn)結(jié)果極其相近，差值僅微米之間，完全可以認為兩點重合。渦旋柱面垂直度誤差在兩種算法中的最終結(jié)果如表4所示。

表4 垂直度誤差結(jié)果比較 μm

通過表4的結(jié)果比較可知，本文算法與ZEISS算法結(jié)果基本相同，說明了本文算法的準確性。

4 結(jié)論

本文根據(jù)渦旋面的形成原理，基于最小二乘的逼近優(yōu)化算法建立了評定渦旋面垂直度誤差的數(shù)學(xué)模型，并將算法予以編程實現(xiàn)。通過大量的數(shù)據(jù)對該算法進行測試，結(jié)果表明：本文算法的結(jié)果曲線圖與ZEISS的結(jié)果曲線圖走勢完全一致，重合度達到99%以上，精度可達到微米級。該算法可作為渦旋齒柱面垂直度的評定算法。

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