吳 斌 錢(qián)曉明 武 星 沈 科

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

0 引言

隨著物流自動(dòng)化技術(shù)的迅速發(fā)展，自動(dòng)導(dǎo)引車(chē)（automated guided vehicle，AGV）作為一種重要的物流自動(dòng)化裝備已獲得了廣泛應(yīng)用。然而目前AGV的幾何尺寸普遍較大，車(chē)體較重，導(dǎo)致AGV搬運(yùn)貨物時(shí)用來(lái)克服自身質(zhì)量產(chǎn)生的阻力而消耗的能源過(guò)多，縮短了電池的工作時(shí)間。因此，對(duì)AGV車(chē)身骨架進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，減小AGV的自重系數(shù)（即車(chē)輛自重與標(biāo)記載重的比值），實(shí)現(xiàn)等強(qiáng)度、輕量化的設(shè)計(jì)目標(biāo)具有重要意義。

AGV骨架結(jié)構(gòu)優(yōu)化是一種連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化，連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化本質(zhì)上是一種0－1離散變量的整數(shù)優(yōu)化問(wèn)題［1］，均勻化方法、變密度法和水平集方法是三種常用的建模方法［2－4］。優(yōu)化準(zhǔn)則法是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)常用的求解方法［5］，對(duì)于求解有大量設(shè)計(jì)變量和單約束的優(yōu)化問(wèn)題，具有很高的優(yōu)化效率［6］。Schmit［7］首先給出了用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法求解多種載荷情況下彈性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，之后很多研究者對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［6］以柔性機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，建立了分布式柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的多準(zhǔn)則優(yōu)化模型，雖然該模型能滿足機(jī)械效率的輸出要求，但其數(shù)學(xué)模型忽略了材料的剛度約束，應(yīng)用領(lǐng)域受到限制。文獻(xiàn)［8］運(yùn)用連桿機(jī)構(gòu)綜合技術(shù)研究了集中式柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的“偽剛體”方法，由于研究對(duì)象存在運(yùn)動(dòng)副，偽剛體法設(shè)計(jì)的局部柔性變形存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，部件承受循環(huán)載荷會(huì)造成疲勞破壞。文獻(xiàn)［9］研究了客車(chē)車(chē)身骨架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，以承載梁的截面為變量建立目標(biāo)函數(shù)，雖然該方法實(shí)現(xiàn)了減重優(yōu)化，但由于忽略了同一承載梁的不同軸向位置的截面是可變的，故該優(yōu)化方法未能實(shí)現(xiàn)最輕量化這一優(yōu)化目標(biāo)。文獻(xiàn)［10］提出了一種水平集方法，對(duì)柔性機(jī)構(gòu)進(jìn)行形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化，取得了較優(yōu)的設(shè)計(jì)效果，但在進(jìn)行優(yōu)化求解的過(guò)程中需要設(shè)計(jì)額外的約束，計(jì)算效率偏低。本文以AGV為研究對(duì)象，針對(duì)目前AGV普遍存在的自重系數(shù)較大的問(wèn)題，基于力學(xué)分析與數(shù)學(xué)規(guī)劃，合理分配約束條件加載的位置，優(yōu)化AGV車(chē)身骨架的制造工藝，利用變密度法和優(yōu)化準(zhǔn)則法確定較優(yōu)的AGV車(chē)身骨架的形貌與材料分配，以此建立車(chē)身骨架三維模型，在載重為500kg的工況下，利用有限元軟件對(duì)該模型進(jìn)行剛度和強(qiáng)度的仿真分析。

1 車(chē)身骨架承載梁優(yōu)化

目前，AGV廠家大多選用鋼材作為制造AGV車(chē)身骨架的材料，因此，本文以Q235作為研究對(duì)象。AGV運(yùn)送貨物時(shí)受到貨物的壓力產(chǎn)生彎曲形變，所以提高骨架用鋼的彎曲強(qiáng)度是必要的。由于彎曲正應(yīng)力是控制梁的主要因素，故彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件往往是設(shè)計(jì)梁的主要依據(jù)［11］。即

式中，σmax為最大彎曲正應(yīng)力；Mmax為最大彎矩；W為抗彎截面系數(shù)；［σ］為許用應(yīng)力。

從式（1）可以看出，要提高梁的承載能力應(yīng)從兩個(gè)方面考慮：一方面是采用合理的截面形狀，以增大W 的值；另一方面則是合理安排梁的受力情況，以減小Mmax的值。

1.1 承載梁的截面分析

由式（1）可以看出，梁可能承受的最大彎矩Mmax與抗彎截面系數(shù)W成正比，而使用材料的多少和自重的大小則與截面積A成正比。所以合理的截面形狀應(yīng)是截面面積A較小，而抗彎截面系數(shù)W較大。由表1可以看出，工字鋼和槽鋼兩種截面更為合理［11］。

表1 幾種截面W和A的比值

根據(jù)自動(dòng)導(dǎo)引車(chē)的結(jié)構(gòu)和制造工藝，選取槽鋼承載載荷。根據(jù)文獻(xiàn)［11］，取安全系數(shù)ns＝2，得許用應(yīng)力［σ］＝117.5MPa。

1.2 承載梁的靜力分析

本文設(shè)計(jì)的AGV采用驅(qū)動(dòng)單元潛入牽引式的拖車(chē)結(jié)構(gòu)，即將AGV的驅(qū)動(dòng)單元與承載單元分離，驅(qū)動(dòng)單元承受的壓力較小，能夠提供帶動(dòng)AGV行駛的牽引力即可，承載單元?jiǎng)t承受大部分的壓力，潛入牽引式拖車(chē)結(jié)構(gòu)如圖1所示。目前，大多數(shù)自動(dòng)導(dǎo)引車(chē)配有承載及裝卸貨物的移載機(jī)構(gòu)，移載機(jī)構(gòu)與貨物的質(zhì)量由移載機(jī)構(gòu)的底板傳遞到AGV左右兩側(cè)的梁上，梁由萬(wàn)向輪與定向輪支撐，在靜態(tài)載荷下，可將左（右）梁簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，梁的工況如圖2所示。

以橫坐標(biāo)x表示橫截面在梁軸線上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩皆可表示為x的函數(shù)。梁的剪力方程和彎矩方程分別為

圖1 AGV結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖2 AGV承載梁工況圖

靜態(tài)載荷下，AGV左右側(cè)的梁可簡(jiǎn)化為圖3a所示的簡(jiǎn)支梁，則剪力圖和彎矩圖如圖3b和圖3c所示。

圖3 剪力、彎矩分布圖

根據(jù)式（2）可求出

式中，F(xiàn)RA為定向輪的支持力，N；FRB為萬(wàn)向輪的支持力，N；q為負(fù)載的載荷集度，N／m；a為載荷集度距梁后端的距離，m；b為載荷集度距梁前端的距離，m；l為梁的長(zhǎng)度，m；c為后輪距梁后端的距離，m；d為前輪距梁前端的距離，m。

此時(shí)，最大彎矩為

兩支座為車(chē)輪布置的位置。AGV前輪與后輪間距離越大，其抗俯仰和橫擺的性能越好，行駛越穩(wěn)定，但長(zhǎng)軸距在提高直線行駛穩(wěn)定性的同時(shí)，導(dǎo)致轉(zhuǎn)向靈活性下降，轉(zhuǎn)彎半徑增大，AGV的機(jī)動(dòng)性變差。因此，在穩(wěn)定性和靈活性之間必須做出取舍，找到合適的平衡點(diǎn)。

本文設(shè)計(jì)的AGV采用驅(qū)動(dòng)單元潛入牽引式的拖車(chē)結(jié)構(gòu)，額定載重為500kg。為降低AGV結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性及減小轉(zhuǎn)向阻力，優(yōu)化轉(zhuǎn)向性能，去除兩個(gè)萬(wàn)向輪，將驅(qū)動(dòng)單元向前移動(dòng)至其中心距車(chē)身骨架前端距離為d處，該驅(qū)動(dòng)單元可承載的最大壓力為800N。由于選用的定向輪的額定載重為350kg，兩個(gè)定向輪的最大承載質(zhì)量之和大于AGV滿載時(shí)的整車(chē)總質(zhì)量，因此，只研究驅(qū)動(dòng)單元承載的壓力對(duì)設(shè)計(jì)AGV的影響。為使驅(qū)動(dòng)單元能夠驅(qū)動(dòng)AGV且不影響驅(qū)動(dòng)單元的減震功能，F(xiàn)RB應(yīng)大于400N且小于800N。假定設(shè)計(jì)梁長(zhǎng)為1.2m，綜合考慮AGV的抗俯仰、橫擺的性能以及保證轉(zhuǎn)向的靈活性，確定邊界條件，根據(jù)式（4）建立目標(biāo)函數(shù)FRB的數(shù)學(xué)模型：

計(jì)算得到FRB＝625N，符合要求，此時(shí)［a b c d］T＝ ［0 0.5 0.25 0.15］Tm，Mmax＝957N·m。選取熱軋槽鋼20a為梁的加工材料，根據(jù)式（1）有σmax＝5.4MPa，則σmax＜［σ］。所選取的梁及載荷與車(chē)輪位置符合設(shè)計(jì)要求。

2 車(chē)身骨架優(yōu)化

2.1 基于變密度法的車(chē)身骨架數(shù)學(xué)模型

本文采用變密度法，以密度為拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量，把優(yōu)化時(shí)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為材料的最優(yōu)分布問(wèn)題，以實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化理論應(yīng)用于AGV車(chē)身骨架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，在給定的設(shè)計(jì)空間內(nèi)，經(jīng)過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化分析找到AGV車(chē)身骨架的最佳結(jié)構(gòu)分布，在滿足結(jié)構(gòu)剛度要求的條件下，減小結(jié)構(gòu)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)車(chē)身骨架結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)。

在拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域，目前運(yùn)用較多的密度插值模型有SIMP插值模型［12］和RAMP插值模型。從對(duì)中間密度的懲罰效果來(lái)看，SIMP插值模型的處理效果比RAMP插值模型略好［13］。SIMP模型主要通過(guò)引入懲罰因子，在材料的彈性模量和單元相對(duì)密度之間建立起一種顯式的非線性對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)設(shè)計(jì)變量的值在（0，1）之間時(shí)，對(duì)中間密度值進(jìn)行懲罰，使中間密度值向0／1兩端聚集，這樣可以使連續(xù)變量的拓?fù)鋬?yōu)化模型能很好地逼近0－1離散變量的優(yōu)化模型。插值以后的彈性模量為

其中，p為數(shù)學(xué)模型中對(duì)中間密度材料的懲罰因子。懲罰因子的作用是當(dāng)設(shè)計(jì)變量的值在（0，1）之間時(shí)，通過(guò)逐漸增加p的值對(duì)設(shè)計(jì)變量的中間值進(jìn)行懲罰，隨著p值的增大，設(shè)計(jì)逐漸接近0／1設(shè)計(jì)。為有效壓縮中間密度材料，一般取p≥2。E0＝1000Emin。xi表示單元i的相對(duì)密度。

基于SIMP材料插值模型，以結(jié)構(gòu)體積和材料變形位移為約束條件，以柔順度最?。▌偠茸畲螅槟繕?biāo)函數(shù)的AGV車(chē)身骨架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型為

式中，x為拓?fù)渥兞吭O(shè)計(jì)向量；C為柔順度；F為結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)載荷矢量；K為整體剛度矩陣；U為結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移矢量；xi為材料的相對(duì)密度；ui為材料單元位移列向量；k0為材料密度為“1”的單元?jiǎng)偠染仃?；vi為材料單元相對(duì)體積；f為體積優(yōu)化比例系數(shù)；u＊為位移的上限值；xmin為最小材料單元密度，為防止拓?fù)渲等?時(shí)結(jié)構(gòu)剛度矩陣可能出現(xiàn)奇異，通常取xmin為0.01。

2.2 基于優(yōu)化準(zhǔn)則法設(shè)計(jì)變量迭代格式

依據(jù)Kuhn－Tucker最優(yōu)化條件，Lagrange函數(shù)關(guān)于設(shè)計(jì)變量和Lagrange乘子的駐值條件為

式中，n為設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)。

令Lagrange函數(shù)取值為“0”，可得

基于不動(dòng)點(diǎn)迭代思想，將式（5）代入SIMP模型可得到最終的優(yōu)化準(zhǔn)則：

Lagrange乘子λ1在每一步迭代中均會(huì)發(fā)生變動(dòng)，為了求解簡(jiǎn)便，采用二分法進(jìn)行求解。一次迭代中，為使迭代過(guò)程穩(wěn)定，引入移動(dòng)極限常數(shù)m（0＜m＜1）及阻尼因子ζ（0＜ζ＜1），令

則基于變密度插值模型和優(yōu)化準(zhǔn)則法的設(shè)計(jì)變量的顯式收斂格式為

3 車(chē)體骨架結(jié)構(gòu)優(yōu)化求解分析

根據(jù)AGV的設(shè)計(jì)要求，AGV額定載重為500kg，設(shè)計(jì)區(qū)域長(zhǎng)、寬、高分別為1.2m、0.5m、0.2m，單元類(lèi)型選擇3D實(shí)體，材料選擇Q235，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3，體積比例系數(shù)f＝0.3，懲罰因子p＝3，阻尼因子ζ＝0.8，移動(dòng)極限m＝0.2，u＊＝0.1mm，劃分正六面體網(wǎng)格，后輪約束自由度2和3，前輪約束自由度3。在優(yōu)化軟件中嵌入優(yōu)化準(zhǔn)則法、設(shè)計(jì)變量、約束以及變量迭代格式，進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化運(yùn)算求解。負(fù)載及約束如圖4所示，箭頭表示加載的力，三角形表示自由度約束。運(yùn)算結(jié)果如圖5所示。圖5顯示了優(yōu)化后AGV車(chē)身骨架材料的密度分布，且在后輪、承載梁上側(cè)中點(diǎn)附近及承載梁下側(cè)中點(diǎn)至中點(diǎn)前端0.3m處密度最大。

圖4 初始拓?fù)淇臻g，載荷分布及約束條件

圖5 優(yōu)化求解材料密度分布

根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，建立AGV車(chē)身骨架模型，利用有限元軟件對(duì)車(chē)身骨架進(jìn)行仿真分析，其驗(yàn)證結(jié)果如圖6、圖7所示。圖6顯示車(chē)身骨架結(jié)構(gòu)中單元所受的最大Von mises當(dāng)量應(yīng)力為8.824MPa，且在后輪位置應(yīng)力最大。圖7顯示中間橫梁及兩側(cè)承載梁下側(cè)中點(diǎn)至中點(diǎn)前端0.3m處變形位移最大，且最大變形位移為0.02mm。車(chē)身骨架模型應(yīng)力分布及變形結(jié)果與理論分析及圖5所示一致。

日本明電舍設(shè)計(jì)的車(chē)體結(jié)構(gòu)、基于經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)的車(chē)體骨架結(jié)構(gòu)與利用本文優(yōu)化方法設(shè)計(jì)的安裝移載機(jī)構(gòu)的車(chē)體結(jié)構(gòu)如圖8a～圖8c所示，其質(zhì)量及幾何參數(shù)比較見(jiàn)表2。由表2可知，本文優(yōu)化方法設(shè)計(jì)的AGV車(chē)身骨架幾何尺寸及自重更小，能夠保證優(yōu)異的穩(wěn)定性和靈活性。

圖6 Von mises應(yīng)力分布

圖7 變形位移分布

圖8 AGV結(jié)構(gòu)比較

表2 明電舍、經(jīng)驗(yàn)法與優(yōu)化法設(shè)計(jì)的AGV車(chē)體骨架參數(shù)比較

4 結(jié)語(yǔ)

本文將力學(xué)分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃與拓?fù)鋬?yōu)化相結(jié)合的優(yōu)化方法運(yùn)用于AGV車(chē)身骨架結(jié)構(gòu)優(yōu)化，是一次新的嘗試。在力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)規(guī)劃得到AGV車(chē)身骨架載荷分配及車(chē)輪位置，采用變密度法建立AGV車(chē)身骨架拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型，利用優(yōu)化準(zhǔn)則法推導(dǎo)出該模型的顯式收斂格式，通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化仿真得到AGV車(chē)體骨架的優(yōu)化模型。仿真分析表明，優(yōu)化結(jié)果具有良好的力學(xué)性能，達(dá)到了等強(qiáng)度、輕量化的設(shè)計(jì)要求，對(duì)AGV車(chē)身骨架的設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)作用。

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