劉永春 王強 彭豐斌

摘要：為了使有理插值樣條在計算機圖形和CAD領域有更靈活的應用，構造了帶有可調參數(shù)的的二次有理樣條函數(shù)（2/2型），并給出了詳細的構造方法。該函數(shù)可通過選取適當?shù)男螤顓?shù)使得曲線具有保形性。可以通過調整參數(shù)交互式的修改插值曲線的形狀，以得到滿意的曲線，并證明了此類插值函數(shù)的保單調性和給出了其誤差分析。最后通過數(shù)據(jù)實例，說明了它較穩(wěn)定和保單調的特點。

關鍵詞：有理樣條；參數(shù)；保單調

中圖分類號：O241.5文獻標志碼：A[WT]文章編號：1672-1098（2014）02-0075-04

有理插值在逼近理論中有著重要的作用，Hermite插值是其中典型的方法。然而生成的曲線雖然具有較好的光滑性，但容易產(chǎn)生不必要的震蕩，并且有時還會破壞原函數(shù)的單調性[1-2]。所以本文詳細敘述構造一個分母分子均為二次的分段有理插值函數(shù)（即2/2型）的過程，它具有非常好的保單調性并得以驗證，而且是含有可調參數(shù)的。因為通常的有理插值樣條， 初始條件一旦確定， 曲線的形狀也就隨之固定了。帶有可調參數(shù)的有理插值樣條， 可以通過調整相應子區(qū)間上的可調參數(shù)， 從而對曲線進行局部的調整。用含參數(shù)分段有理函數(shù)進行插值可解決穩(wěn)定性和保單調性問題。

1 有理插值函數(shù)的構造

2 插值函數(shù)的保單調性

1. 2/2型的分段有理插值曲線；

數(shù)據(jù)二下兩種插值曲線的比較通過圖1～圖2可知，能明顯看出來二次多項式插值曲線雖然有良好的光滑性，但是破壞了原數(shù)據(jù)單調的性質，并且圖1中二次多項式插值曲線有明顯的震蕩，不穩(wěn)定。而本文所構造的2/2型的分段有理插值曲線則同原數(shù)據(jù)有著一致的單調性，并且曲線變化穩(wěn)定，因此通過數(shù)據(jù)實驗更有力地說明了其穩(wěn)定性和保單調性的特點。5

小結針對Hermite插值的不穩(wěn)定性，構造了分母分子均為二次的分段有理插值函數(shù)（即2/2型），數(shù)值實驗驗證了此有理插值的保單調性，而且適當?shù)卣{節(jié)可調參數(shù)，可以達到曲線的保形性。不過此插值卻不能達到C1連續(xù)， 若為了解決此問題， 可以在Δi=0的區(qū)間上， 按照Hermite插值供述構造Si（x），但是后者所定義的S（x）卻會失去了保單調性。所以，本文所構造的插值還有許多不足，需要繼續(xù)改進。

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（責任編輯：何學華）